Le disequazioni di grado superiore sono disequazioni polinomiali in cui compare un polinomio di grado almeno \(3\). Risolverle significa determinare per quali valori della variabile il polinomio assume valori positivi, negativi, non negativi oppure non positivi.
A differenza delle disequazioni lineari o quadratiche, non esiste una formula generale immediata che permetta di ottenere la soluzione in un unico passaggio. Il problema si basa invece sullo studio del segno di un prodotto di fattori.
Per questo motivo, il passaggio fondamentale consiste quasi sempre nella scomposizione del polinomio:
\[ \text{scomporre il polinomio} \]
Una volta ottenuta la fattorizzazione, la disequazione si riduce allo studio del segno dei singoli fattori e alla costruzione del grafico dei segni.
Indice
- Che cos'è una disequazione di grado superiore
- Forma generale
- Principio fondamentale dello studio del segno
- Metodo generale di risoluzione
- Molteplicità delle radici e cambiamento di segno
- Disequazioni fattorizzabili
- Disequazioni con radici multiple
- Disequazioni con fattori quadratici
- Disequazioni di grado dispari
- Disequazioni di grado pari
- Metodo del grafico dei segni
- Errori più comuni
- Esercizi svolti
Che cos'è una disequazione di grado superiore
Una disequazione di grado superiore è una disequazione della forma:
\[ P(x)>0, \qquad P(x)\geq0, \qquad P(x)<0, \qquad P(x)\leq0 \]
dove \(P(x)\) è un polinomio di grado almeno \(3\).
Per esempio:
\[ x^3-4x>0 \]
oppure:
\[ x^4-5x^2+4\leq0 \]
oppure ancora:
\[ x^5-2x^4-3x^3\geq0. \]
In tutti questi casi il problema consiste nello stabilire in quali intervalli della retta reale il polinomio assume il segno richiesto.
Forma generale
Una disequazione polinomiale di grado \(n\) può essere scritta nella forma:
\[ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \gtrless 0 \]
con:
\[ a_n\neq0. \]
Il grado della disequazione coincide con il grado del polinomio.
Per esempio:
\[ x^5-3x^2+1>0 \]
è una disequazione di quinto grado.
Principio fondamentale dello studio del segno
Il principio fondamentale è il seguente:
il segno di un prodotto dipende dal segno dei suoi fattori.
Di conseguenza, per risolvere una disequazione polinomiale è essenziale comprendere come varia il segno dei singoli fattori nei diversi intervalli della retta reale.
Per esempio:
\[ (x-2)(x+1)>0 \]
è verificata quando:
- entrambi i fattori sono positivi;
- oppure entrambi sono negativi.
Per questo motivo la strategia generale consiste nel:
- scomporre il polinomio;
- studiare il segno di ogni fattore;
- combinare i segni ottenuti.
Metodo generale di risoluzione
Il procedimento standard per risolvere una disequazione di grado superiore si articola in cinque passaggi fondamentali.
1. Portare tutto a sinistra
La disequazione deve essere scritta nella forma:
\[ P(x)\gtrless0. \]
2. Scomporre il polinomio
Si cerca di fattorizzare il polinomio:
\[ P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\dots \]
Le tecniche principali sono:
- raccoglimento a fattor comune;
- prodotti notevoli;
- regola di Ruffini;
- ricerca delle radici;
- sostituzioni.
3. Determinare gli zeri
Si trovano i valori che annullano ciascun fattore.
4. Costruire il grafico dei segni
Gli zeri dividono la retta reale in intervalli. In ciascun intervallo il segno del polinomio rimane costante.
5. Selezionare gli intervalli richiesti
Si scelgono infine gli intervalli in cui il polinomio soddisfa la disequazione assegnata.
Molteplicità delle radici e cambiamento di segno
Un aspetto fondamentale nello studio delle disequazioni polinomiali riguarda la molteplicità delle radici.
Consideriamo:
\[ (x-1)^2. \]
La radice:
\[ x=1 \]
ha molteplicità \(2\).
In questo caso il segno del polinomio non cambia attraversando la radice.
Infatti:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
sia a sinistra sia a destra di \(1\).
Al contrario, una radice di molteplicità dispari produce un cambiamento di segno.
Per esempio:
\[ (x-1)^3 \]
cambia segno attraversando:
\[ x=1. \]
In generale:
- radice di molteplicità pari \(\Rightarrow\) il segno non cambia;
- radice di molteplicità dispari \(\Rightarrow\) il segno cambia.
Disequazioni fattorizzabili
Consideriamo la disequazione:
\[ x^3-4x>0. \]
Scomposizione
Raccogliamo \(x\):
\[ x(x^2-4)>0. \]
Scomponiamo ora la differenza di quadrati:
\[ x(x-2)(x+2)>0. \]
Studio del segno
Gli zeri del polinomio sono:
\[ -2,\qquad0,\qquad2. \]
Costruiamo il grafico dei segni:
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Poiché vogliamo:
\[ x(x-2)(x+2)>0, \]
otteniamo:
\[ (-2,0)\cup(2,+\infty). \]
Disequazioni con radici multiple
Consideriamo:
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0. \]
Gli zeri sono:
\[ x=1 \]
con molteplicità \(2\), e:
\[ x=-3 \]
con molteplicità \(1\).
Attraversando \(x=-3\) il segno cambia, mentre attraversando \(x=1\) il segno rimane invariato.
Il grafico dei segni risulta quindi:
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,1)\) | \(+\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
Poiché la disequazione è:
\[ (x-1)^2(x+3)\geq0, \]
includiamo anche gli zeri:
\[ [-3,+\infty). \]
Disequazioni con fattori quadratici
Non tutti i fattori di un polinomio sono necessariamente lineari.
Consideriamo:
\[ (x^2-4)(x^2+1)>0. \]
Il secondo fattore:
\[ x^2+1 \]
è sempre positivo per ogni numero reale:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Di conseguenza il segno della disequazione dipende esclusivamente dal fattore:
\[ x^2-4. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Otteniamo quindi:
\[ (x-2)(x+2)>0, \]
la cui soluzione è:
\[ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty). \]
Disequazioni di grado dispari
I polinomi di grado dispari con coefficiente principale positivo soddisfano:
\[ P(x)\to-\infty \qquad \text{per} \qquad x\to-\infty \]
e:
\[ P(x)\to+\infty \qquad \text{per} \qquad x\to+\infty. \]
Questo comportamento permette spesso di prevedere il segno globale del polinomio.
Per esempio:
\[ x^3-1 \]
è negativo a sinistra della radice \(x=1\) e positivo a destra.
Disequazioni di grado pari
I polinomi di grado pari con coefficiente principale positivo verificano invece:
\[ P(x)\to+\infty \]
sia per:
\[ x\to-\infty \]
sia per:
\[ x\to+\infty. \]
Questo spiega perché il grafico dei segni di tali polinomi tende spesso a iniziare e terminare con lo stesso segno.
Metodo del grafico dei segni
Il grafico dei segni rappresenta lo strumento centrale nella risoluzione delle disequazioni polinomiali.
Il procedimento consiste nel:
- ordinare gli zeri del polinomio;
- dividere la retta reale negli intervalli corrispondenti;
- determinare il segno dei singoli fattori;
- moltiplicare i segni ottenuti.
È importante ricordare che:
- una radice di molteplicità dispari produce inversione di segno;
- una radice di molteplicità pari non produce cambiamento di segno.
Errori più comuni
Dimenticare di scomporre completamente
Molti errori derivano da fattorizzazioni incomplete del polinomio.
Ignorare la molteplicità delle radici
Una radice doppia non produce inversione di segno.
Sbagliare il segno negli intervalli
Conviene sempre verificare il segno mediante valori di prova.
Includere erroneamente gli zeri
Nelle disequazioni strette:
\[ >,\qquad< \]
gli zeri non appartengono alla soluzione.
Nelle disequazioni:
\[ \geq,\qquad\leq \]
gli zeri devono invece essere inclusi.
Esercizi svolti
Esempio 1. Risolvere:
\[ x^3-x^2-6x>0. \]
Scomposizione
Raccogliamo \(x\):
\[ x(x^2-x-6)>0. \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ x(x-3)(x+2)>0. \]
Studio del segno
Gli zeri sono:
\[ -2,\qquad0,\qquad3. \]
Il grafico dei segni fornisce:
\[ (-2,0)\cup(3,+\infty). \]
Esempio 2. Risolvere:
\[ x^4-5x^2+4\leq0. \]
Sostituzione
Poniamo:
\[ y=x^2. \]
Otteniamo:
\[ y^2-5y+4\leq0. \]
Scomponiamo:
\[ (y-1)(y-4)\leq0. \]
Quindi:
\[ 1\leq y\leq4. \]
Sostituendo nuovamente:
\[ 1\leq x^2\leq4. \]
Otteniamo:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2]. \]
Le disequazioni di grado superiore si risolvono attraverso lo studio del segno dei polinomi.
L'idea fondamentale consiste nel trasformare il polinomio in un prodotto di fattori e analizzare il comportamento del segno nei diversi intervalli della retta reale.
Per questo motivo risultano fondamentali:
- la scomposizione dei polinomi;
- lo studio delle radici;
- la molteplicità degli zeri;
- il grafico dei segni.
Una volta compresi questi strumenti, anche disequazioni apparentemente molto complesse possono essere affrontate in modo sistematico, rigoroso e ordinato.