Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle equazioni parametriche, pensata per imparare non solo a trovare la soluzione, ma soprattutto a discutere correttamente tutti i casi possibili al variare del parametro.
In ogni esercizio analizzeremo con attenzione quando è possibile dividere, quali valori del parametro devono essere esclusi e in quali situazioni l'equazione diventa determinata, impossibile oppure indeterminata.
Ricordiamo l'idea fondamentale: nelle equazioni parametriche non bisogna mai trattare il parametro come un numero certamente diverso da zero. Prima di dividere o semplificare un'espressione che contiene il parametro, occorre sempre verificare per quali valori essa può annullarsi.
Per esempio, nell'equazione:
\[ (a-1)x=3 \]
non possiamo dividere subito per \(a-1\), perché:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
e la divisione per zero non è ammessa.
Per questo motivo la risoluzione di un'equazione parametrica richiede quasi sempre una discussione dei casi.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ ax=6 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Svolgimento
L'incognita dell'equazione è \(x\), mentre \(a\) è un parametro reale.
L'equazione è:
\[ ax=6 \]
Il coefficiente dell'incognita \(x\) è \(a\).
Non possiamo dividere immediatamente entrambi i membri per \(a\), perché il parametro potrebbe assumere il valore:
\[ a=0 \]
e la divisione per zero non è definita.
Dobbiamo quindi distinguere due casi.
Caso \(a\ne0\)
Se:
\[ a\ne0 \]
allora possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per \(a\):
\[ x=\frac{6}{a} \]
Per ogni valore fissato del parametro \(a\) con \(a\ne0\), l'equazione ammette un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{6}{a}\right\} \]
Caso \(a=0\)
Se invece:
\[ a=0 \]
sostituiamo questo valore del parametro nell'equazione iniziale:
\[ 0\cdot x=6 \]
cioè:
\[ 0=6 \]
Questa uguaglianza è falsa, perché zero non è uguale a sei.
Non esiste quindi alcun valore reale di \(x\) che renda vera l'equazione.
L'equazione è dunque impossibile.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-2)x=4 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Svolgimento
L'incognita dell'equazione è \(x\), mentre \(a\) è un parametro reale.
L'equazione è:
\[ (a-2)x=4 \]
Il coefficiente dell'incognita \(x\) è:
\[ a-2 \]
Prima di dividere entrambi i membri per \(a-2\), dobbiamo controllare quando questa quantità si annulla.
Risolviamo quindi:
\[ a-2=0 \]
Otteniamo:
\[ a=2 \]
Dobbiamo dunque discutere separatamente i due casi.
Caso \(a\ne2\)
Se:
\[ a\ne2 \]
allora:
\[ a-2\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a-2\):
\[ x=\frac{4}{a-2} \]
L'equazione ammette dunque un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{4}{a-2}\right\} \]
Caso \(a=2\)
Se invece:
\[ a=2 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (2-2)x=4 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=4 \]
quindi:
\[ 0=4 \]
Questa uguaglianza è falsa.
Non esiste alcun valore reale di \(x\) che soddisfi l'equazione.
L'equazione è quindi impossibile.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a+1)x=0 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{0\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
L'equazione è:
\[ (a+1)x=0 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a+1 \]
Prima di dividere per questa quantità, dobbiamo verificare quando può annullarsi.
Risolviamo quindi:
\[ a+1=0 \]
Otteniamo:
\[ a=-1 \]
Distinguiamo dunque due casi.
Caso \(a\ne-1\)
Se:
\[ a\ne-1 \]
allora:
\[ a+1\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a+1\):
\[ x=0 \]
L'equazione ammette quindi un'unica soluzione:
\[ S=\{0\} \]
Caso \(a=-1\)
Se invece:
\[ a=-1 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (-1+1)x=0 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=0 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera, indipendentemente dal valore assegnato a \(x\).
Ogni numero reale soddisfa quindi l'equazione.
L'equazione è dunque indeterminata.
Pertanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-3)x=a+1 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne3 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \\ a=3 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-3)x=a+1 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a-3 \]
Prima di dividere per questa quantità, dobbiamo verificare quando si annulla.
Risolviamo:
\[ a-3=0 \]
Otteniamo:
\[ a=3 \]
Dobbiamo quindi discutere separatamente i due casi.
Caso \(a\ne3\)
Se:
\[ a\ne3 \]
allora:
\[ a-3\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a-3\):
\[ x=\frac{a+1}{a-3} \]
L'equazione ammette dunque un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{a+1}{a-3}\right\} \]
Caso \(a=3\)
Se invece:
\[ a=3 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (3-3)x=3+1 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=4 \]
quindi:
\[ 0=4 \]
Questa uguaglianza è falsa.
L'equazione è quindi impossibile.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-2)x=2a-4 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a-2 \]
Prima di dividere per questa quantità, dobbiamo verificare quando si annulla.
Risolviamo quindi:
\[ a-2=0 \]
da cui:
\[ a=2 \]
Dobbiamo distinguere due casi.
Caso \(a\ne2\)
Se:
\[ a\ne2 \]
allora possiamo dividere entrambi i membri per \(a-2\):
\[ x=\frac{2a-4}{a-2} \]
Osserviamo ora che al numeratore possiamo raccogliere il fattore comune \(2\):
\[ 2a-4=2(a-2) \]
Otteniamo quindi:
\[ x=\frac{2(a-2)}{a-2} \]
Poiché nel caso che stiamo considerando vale:
\[ a-2\ne0 \]
possiamo semplificare:
\[ x=2 \]
L'equazione ammette dunque un'unica soluzione:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=2\)
Se invece:
\[ a=2 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (2-2)x=2\cdot2-4 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=0 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera.
Qualunque numero reale soddisfa dunque l'equazione.
L'equazione è quindi indeterminata.
Pertanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a \ne \pm 1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a^2-1)x=a+1 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a^2-1 \]
Prima di dividere per questa quantità, dobbiamo verificare quando si annulla.
Risolviamo quindi:
\[ a^2-1=0 \]
Si tratta di una differenza di quadrati:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Otteniamo dunque:
\[ (a-1)(a+1)=0 \]
Da cui:
\[ a=1 \]
oppure:
\[ a=-1 \]
Dobbiamo quindi discutere tre casi distinti.
Caso \(a\ne\pm1\)
Se:
\[ a\ne1 \qquad \text{e} \qquad a\ne-1 \]
allora:
\[ a^2-1\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a^2-1\):
\[ x=\frac{a+1}{a^2-1} \]
Scomponiamo ora il denominatore:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Otteniamo:
\[ x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)} \]
Poiché nel caso che stiamo considerando vale:
\[ a+1\ne0 \]
possiamo semplificare il fattore \(a+1\):
\[ x=\frac{1}{a-1} \]
L'equazione ammette quindi un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{1}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Se:
\[ a=1 \]
sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ (1^2-1)x=1+1 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=2 \]
quindi:
\[ 0=2 \]
Questa uguaglianza è impossibile.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Caso \(a=-1\)
Se invece:
\[ a=-1 \]
sostituiamo nell'equazione:
\[ ((-1)^2-1)x=-1+1 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=0 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera.
Ogni numero reale soddisfa quindi l'equazione.
Pertanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-1)x+2=a \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-1)x+2=a \]
Per prima cosa isoliamo il termine contenente l'incognita.
Sottraiamo \(2\) da entrambi i membri:
\[ (a-1)x=a-2 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a-1 \]
Dobbiamo verificare quando questo coefficiente si annulla.
Risolviamo:
\[ a-1=0 \]
Otteniamo:
\[ a=1 \]
Distinguiamo quindi due casi.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
allora possiamo dividere entrambi i membri per \(a-1\):
\[ x=\frac{a-2}{a-1} \]
L'equazione ammette dunque un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{a-2}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Se invece:
\[ a=1 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (1-1)x+2=1 \]
cioè:
\[ 0\cdot x+2=1 \]
quindi:
\[ 2=1 \]
Questa uguaglianza è falsa.
L'equazione è dunque impossibile.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Soluzione
Per ogni valore reale di \( a \): \[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a+2)x=a(x+1) \]
Nel secondo membro compare un prodotto. Applichiamo la proprietà distributiva:
\[ a(x+1)=ax+a \]
L'equazione diventa quindi:
\[ (a+2)x=ax+a \]
Sviluppiamo ora il primo membro:
\[ ax+2x=ax+a \]
Portiamo tutti i termini contenenti \(x\) al primo membro.
Sottraiamo \(ax\) da entrambi i membri:
\[ ax+2x-ax=a \]
I termini \(ax\) si eliminano:
\[ 2x=a \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\):
\[ x=\frac{a}{2} \]
In questo esercizio non compare alcuna condizione sul parametro, perché il coefficiente dell'incognita dopo le semplificazioni è il numero \(2\), che non si annulla mai.
L'equazione ammette quindi sempre una e una sola soluzione reale.
Pertanto:
\[ S=\left\{\frac{a}{2}\right\} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne4 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=4 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-4)x=2a-8 \]
Il coefficiente dell'incognita \(x\) è:
\[ a-4 \]
Prima di dividere per \(a-4\), dobbiamo verificare quando questa quantità si annulla.
Risolviamo:
\[ a-4=0 \]
Otteniamo:
\[ a=4 \]
Dobbiamo quindi distinguere due casi.
Caso \(a\ne4\)
Se:
\[ a\ne4 \]
allora:
\[ a-4\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a-4\):
\[ x=\frac{2a-8}{a-4} \]
Scomponiamo il numeratore raccogliendo \(2\):
\[ 2a-8=2(a-4) \]
Quindi:
\[ x=\frac{2(a-4)}{a-4} \]
Poiché stiamo lavorando nel caso \(a\ne4\), possiamo semplificare il fattore \(a-4\):
\[ x=2 \]
Dunque:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=4\)
Se invece:
\[ a=4 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (4-4)x=2\cdot4-8 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=8-8 \]
quindi:
\[ 0\cdot x=0 \]
L'uguaglianza:
\[ 0=0 \]
è sempre vera, indipendentemente dal valore di \(x\).
Quindi l'equazione è indeterminata e ogni numero reale è soluzione:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne-3 & \Rightarrow S=\{a-3\} \\ a=-3 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a+3)x=a^2-9 \]
Il coefficiente dell'incognita \(x\) è:
\[ a+3 \]
Prima di dividere per \(a+3\), dobbiamo stabilire quando questo coefficiente si annulla:
\[ a+3=0 \]
da cui:
\[ a=-3 \]
Distinguiamo quindi i casi.
Caso \(a\ne-3\)
Se:
\[ a\ne-3 \]
allora:
\[ a+3\ne0 \]
Possiamo dividere entrambi i membri per \(a+3\):
\[ x=\frac{a^2-9}{a+3} \]
Scomponiamo il numeratore come differenza di quadrati:
\[ a^2-9=(a-3)(a+3) \]
Otteniamo:
\[ x=\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} \]
Poiché nel caso \(a\ne-3\) vale \(a+3\ne0\), possiamo semplificare:
\[ x=a-3 \]
Pertanto:
\[ S=\{a-3\} \]
Caso \(a=-3\)
Se invece:
\[ a=-3 \]
sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ (-3+3)x=(-3)^2-9 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=9-9 \]
quindi:
\[ 0\cdot x=0 \]
Questa uguaglianza è vera per ogni valore reale di \(x\).
L'equazione è quindi indeterminata:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a \ne 2 \ \text{e}\ a \ne -2 & \Rightarrow S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a^2-4)x=a-2 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a^2-4 \]
Prima di dividere per questa quantità, dobbiamo verificare quando si annulla.
Risolviamo quindi:
\[ a^2-4=0 \]
Scomponiamo come differenza di quadrati:
\[ a^2-4=(a-2)(a+2) \]
Otteniamo:
\[ (a-2)(a+2)=0 \]
Da cui:
\[ a=2 \]
oppure:
\[ a=-2 \]
Dobbiamo quindi discutere tre casi distinti.
Caso \(a\ne2\) e \(a\ne-2\)
Se:
\[ a\ne2 \qquad \text{e} \qquad a\ne-2 \]
allora:
\[ a^2-4\ne0 \]
Possiamo dividere entrambi i membri per \(a^2-4\):
\[ x=\frac{a-2}{a^2-4} \]
Sostituiamo la scomposizione del denominatore:
\[ x=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)} \]
Poiché nel caso considerato vale:
\[ a-2\ne0 \]
possiamo semplificare il fattore \(a-2\):
\[ x=\frac{1}{a+2} \]
L'equazione ammette quindi un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{1}{a+2}\right\} \]
Caso \(a=2\)
Se:
\[ a=2 \]
sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ (2^2-4)x=2-2 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera.
L'equazione è quindi indeterminata e ogni numero reale è soluzione:
\[ S=\mathbb{R} \]
Caso \(a=-2\)
Se invece:
\[ a=-2 \]
sostituiamo nell'equazione:
\[ ((-2)^2-4)x=-2-2 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=-4 \]
quindi:
\[ 0=-4 \]
Questa uguaglianza è impossibile.
L'equazione non ammette soluzioni.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-1)(x-2)=0 \]
Si tratta di un prodotto uguale a zero.
Ricordiamo la legge di annullamento del prodotto:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{oppure} \ B=0 \]
Nel nostro caso i due fattori sono:
\[ a-1 \]
e:
\[ x-2 \]
Tuttavia bisogna fare attenzione: il parametro \(a\) non è l'incognita dell'equazione. L'incognita è soltanto \(x\).
Per questo motivo dobbiamo discutere i valori del parametro.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
allora:
\[ a-1\ne0 \]
Il primo fattore non può quindi annullarsi.
Affinché il prodotto sia nullo, deve allora annullarsi il secondo fattore:
\[ x-2=0 \]
Da cui:
\[ x=2 \]
Pertanto:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=1\)
Se invece:
\[ a=1 \]
il primo fattore diventa:
\[ a-1=0 \]
L'equazione assume quindi la forma:
\[ 0\cdot(x-2)=0 \]
cioè:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera, indipendentemente dal valore di \(x\).
Ogni numero reale soddisfa quindi l'equazione.
Pertanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne-2 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=-2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a+2)(x-1)=a+2 \]
Il fattore \(a+2\) compare in entrambi i membri, ma non possiamo semplificarlo subito senza discutere il caso in cui si annulla.
Studiamo quindi:
\[ a+2=0 \]
da cui:
\[ a=-2 \]
Distinguiamo due casi.
Caso \(a\ne-2\)
Se:
\[ a\ne-2 \]
allora:
\[ a+2\ne0 \]
Possiamo dividere entrambi i membri per \(a+2\):
\[ x-1=1 \]
Aggiungiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ x=2 \]
Quindi:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=-2\)
Se invece:
\[ a=-2 \]
sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ (-2+2)(x-1)=-2+2 \]
cioè:
\[ 0\cdot(x-1)=0 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera, indipendentemente dal valore di \(x\).
L'equazione è quindi indeterminata e ogni numero reale è soluzione:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Soluzione
\[ S=\{a\} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-1)x=a(x-1) \]
Sviluppiamo entrambi i membri.
Il primo membro è:
\[ (a-1)x=ax-x \]
Il secondo membro è:
\[ a(x-1)=ax-a \]
L'equazione diventa:
\[ ax-x=ax-a \]
Sottraiamo \(ax\) da entrambi i membri:
\[ ax-x-ax=ax-a-ax \]
cioè:
\[ -x=-a \]
Moltiplichiamo entrambi i membri per \(-1\):
\[ x=a \]
In questo esercizio non è necessario distinguere casi particolari, perché dopo la semplificazione il coefficiente dell'incognita è \(-1\), che non si annulla mai.
Quindi, per ogni valore reale del parametro \(a\), l'equazione ammette un'unica soluzione:
\[ S=\{a\} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Soluzione
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Per \(a=1\) l'equazione non è definita.
Svolgimento
In questa equazione il parametro compare al denominatore:
\[ \frac{x}{a-1}=2 \]
Prima di risolvere, dobbiamo imporre la condizione di esistenza del denominatore.
Il denominatore non può essere nullo:
\[ a-1\ne0 \]
quindi:
\[ a\ne1 \]
Se \(a=1\), l'equazione non ha significato, perché comparirebbe una divisione per zero.
Per \(a\ne1\), invece, possiamo moltiplicare entrambi i membri per \(a-1\):
\[ x=2(a-1) \]
Sviluppiamo:
\[ x=2a-2 \]
Pertanto:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{2a-2\} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Soluzione
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Per \(a=-2\) l'equazione non è definita.
Svolgimento
In questa equazione il parametro compare al denominatore:
\[ \frac{x-1}{a+2}=3 \]
Prima di risolvere l'equazione, dobbiamo stabilire per quali valori del parametro essa ha significato.
Il denominatore non può essere uguale a zero:
\[ a+2\ne0 \]
quindi:
\[ a\ne-2 \]
Se \(a=-2\), l'equazione non è definita, perché comparirebbe una divisione per zero.
Supponiamo quindi:
\[ a\ne-2 \]
In questo caso possiamo moltiplicare entrambi i membri per \(a+2\):
\[ x-1=3(a+2) \]
Sviluppiamo il secondo membro:
\[ x-1=3a+6 \]
Aggiungiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ x=3a+7 \]
Pertanto:
\[ a\ne-2 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a+7\} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\{2\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-1)x=2a-2 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a-1 \]
Prima di dividere per \(a-1\), dobbiamo verificare quando questo coefficiente si annulla:
\[ a-1=0 \]
quindi:
\[ a=1 \]
Dobbiamo distinguere due casi.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
allora:
\[ a-1\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a-1\):
\[ x=\frac{2a-2}{a-1} \]
Scomponiamo il numeratore raccogliendo il fattore comune \(2\):
\[ 2a-2=2(a-1) \]
Quindi:
\[ x=\frac{2(a-1)}{a-1} \]
Poiché nel caso considerato \(a-1\ne0\), possiamo semplificare:
\[ x=2 \]
Dunque:
\[ S=\{2\} \]
Caso \(a=1\)
Se invece:
\[ a=1 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (1-1)x=2\cdot1-2 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=0 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è vera per ogni valore reale di \(x\).
L'equazione è quindi indeterminata:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Il coefficiente dell'incognita \(x\) è:
\[ a+1 \]
Prima di dividere per \(a+1\), dobbiamo controllare quando questo coefficiente si annulla:
\[ a+1=0 \]
quindi:
\[ a=-1 \]
Distinguiamo due casi.
Caso \(a\ne-1\)
Se:
\[ a\ne-1 \]
allora:
\[ a+1\ne0 \]
Possiamo dividere entrambi i membri per \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Scomponiamo il numeratore come differenza di quadrati:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Otteniamo:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Poiché nel caso considerato \(a+1\ne0\), possiamo semplificare il fattore \(a+1\):
\[ x=a-1 \]
Pertanto:
\[ S=\{a-1\} \]
Caso \(a=-1\)
Se invece:
\[ a=-1 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
quindi:
\[ 0\cdot x=0 \]
Questa uguaglianza è vera per ogni valore reale di \(x\).
L'equazione è dunque indeterminata:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ ax+a=2x+2 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{-1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ ax+a=2x+2 \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) al primo membro e i termini senza \(x\) al secondo membro.
Sottraiamo \(2x\) da entrambi i membri:
\[ ax-2x+a=2 \]
Sottraiamo ora \(a\) da entrambi i membri:
\[ ax-2x=2-a \]
Raccogliamo \(x\) al primo membro:
\[ x(a-2)=2-a \]
Osserviamo che:
\[ 2-a=-(a-2) \]
Quindi l'equazione diventa:
\[ x(a-2)=-(a-2) \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a-2 \]
Dobbiamo quindi distinguere il caso in cui \(a-2\ne0\) dal caso in cui \(a-2=0\).
Caso \(a\ne2\)
Se:
\[ a\ne2 \]
allora:
\[ a-2\ne0 \]
Possiamo dividere entrambi i membri per \(a-2\):
\[ x=-1 \]
Quindi:
\[ S=\{-1\} \]
Caso \(a=2\)
Se invece:
\[ a=2 \]
sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ 2x+2=2x+2 \]
Questa uguaglianza è vera per ogni valore reale di \(x\).
L'equazione è quindi indeterminata:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvi e discuti l'equazione:
\[ (a-1)x=a+3 \]
Soluzione
\[ \begin{cases} a\ne1 & \Rightarrow S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \\ a=1 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Svolgimento
Consideriamo l'equazione:
\[ (a-1)x=a+3 \]
Il coefficiente dell'incognita \(x\) dipende dal parametro \(a\). Per questo motivo non possiamo risolvere immediatamente l'equazione dividendo per \(a-1\): dobbiamo prima verificare quando questo coefficiente si annulla.
Studiamo quindi la condizione:
\[ a-1=0 \]
da cui otteniamo:
\[ a=1 \]
Dobbiamo quindi distinguere due casi.
Caso \(a\ne1\)
Se:
\[ a\ne1 \]
allora:
\[ a-1\ne0 \]
Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a-1\):
\[ x=\frac{a+3}{a-1} \]
In questo caso l'equazione ammette un'unica soluzione.
Pertanto:
\[ S=\left\{\dfrac{a+3}{a-1}\right\} \]
Caso \(a=1\)
Se invece:
\[ a=1 \]
sostituiamo questo valore nell'equazione iniziale:
\[ (1-1)x=1+3 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=4 \]
Otteniamo quindi:
\[ 0=4 \]
Questa uguaglianza è impossibile, perché zero non può essere uguale a quattro.
Non esiste quindi alcun numero reale che soddisfi l'equazione.
L'equazione è dunque impossibile.
Pertanto:
\[ S=\varnothing \]
Conclusioni
Le equazioni parametriche di primo grado permettono di capire come il comportamento di un'equazione cambi al variare di un parametro. A differenza delle equazioni numeriche tradizionali, non basta svolgere i calcoli meccanicamente: è necessario analizzare con attenzione i valori del parametro che possono annullare il coefficiente dell'incognita.
In molti esercizi abbiamo visto che:
\[ ax+b=0 \]
si comporta in modo diverso a seconda del valore del coefficiente \(a\):
- se \(a\ne0\), l'equazione ammette una sola soluzione;
- se \(a=0\), l'equazione può diventare impossibile oppure indeterminata.
Per questo motivo, nello studio delle equazioni parametriche è fondamentale:
- individuare il coefficiente dell'incognita;
- determinare quando tale coefficiente si annulla;
- discutere separatamente tutti i casi possibili.
Questo tipo di ragionamento non è utile soltanto nelle equazioni di primo grado: rappresenta una tecnica fondamentale che verrà utilizzata anche nello studio di sistemi, disequazioni, funzioni e problemi più avanzati di algebra.