Le equazioni parametriche sono equazioni nelle quali, oltre all'incognita, compare una o più lettere che rappresentano valori non fissati. Queste lettere si chiamano parametri.
Per esempio:
\[ (a-1)x=2 \]
è un'equazione parametrica nell'incognita \(x\), con parametro \(a\).
La presenza del parametro cambia profondamente il modo di risolvere l'equazione. Infatti non si cerca una sola soluzione numerica, ma si studia come cambia l'insieme delle soluzioni al variare del parametro.
In altre parole, un'equazione parametrica non pone soltanto la domanda:
“qual è il valore dell'incognita?”
ma anche:
“per quali valori del parametro l'equazione ha una soluzione, nessuna soluzione oppure infinite soluzioni?”
Che cos'è un parametro
Un parametro è una lettera che compare in un'equazione ma non viene considerata come incognita principale.
Nell'equazione:
\[ ax+1=0 \]
l'incognita è \(x\), mentre \(a\) è un parametro.
Questo significa che \(a\) può assumere diversi valori reali e, per ciascun valore di \(a\), si ottiene un'equazione diversa.
Per esempio:
se \(a=2\), l'equazione diventa:
\[ 2x+1=0 \]
se \(a=-1\), diventa:
\[ -x+1=0 \]
se \(a=0\), diventa:
\[ 1=0 \]
Quest'ultimo caso mostra subito perché i parametri devono essere trattati con attenzione: alcuni valori possono cambiare completamente la natura dell'equazione.
Equazione parametrica di primo grado
Consideriamo una forma generale:
\[ A(a)x=B(a) \]
dove \(A(a)\) e \(B(a)\) sono espressioni dipendenti dal parametro \(a\).
La risoluzione dipende dal coefficiente dell'incognita \(x\), cioè da \(A(a)\).
Se:
\[ A(a)\ne0 \]
allora possiamo dividere entrambi i membri per \(A(a)\), ottenendo:
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Se invece:
\[ A(a)=0 \]
non possiamo dividere per \(A(a)\). In questo caso bisogna sostituire il valore del parametro nell'equazione e verificare cosa rimane.
Il punto centrale: non dividere mai per una quantità che può essere zero
L'errore più comune nelle equazioni parametriche consiste nel dividere per un'espressione che dipende dal parametro senza controllare quando essa si annulla.
Per esempio, dall'equazione:
\[ (a-1)x=2 \]
sarebbe scorretto scrivere immediatamente:
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
senza prima osservare che:
\[ a-1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=1 \]
Infatti, se \(a=1\), l'equazione diventa:
\[ 0\cdot x=2 \]
cioè:
\[ 0=2 \]
impossibile.
Quindi la formula:
\[ x=\frac{2}{a-1} \]
è valida solo per:
\[ a\ne1 \]
Discussione dei casi
Risolvere un'equazione parametrica significa spesso fare una discussione, cioè separare i valori del parametro in casi distinti.
La discussione serve a capire:
- per quali valori del parametro l'equazione è determinata;
- per quali valori è impossibile;
- per quali valori è indeterminata.
Nel caso di un'equazione di primo grado:
\[ A(a)x=B(a) \]
abbiamo tre possibilità.
Caso \(A(a)\ne0\)
L'equazione ammette un'unica soluzione:
\[ x=\frac{B(a)}{A(a)} \]
Caso \(A(a)=0\) e \(B(a)\ne0\)
L'equazione diventa:
\[ 0\cdot x=B(a) \]
con \(B(a)\ne0\). Quindi si ottiene un'uguaglianza falsa:
\[ 0=B(a) \]
e l'equazione è impossibile.
Caso \(A(a)=0\) e \(B(a)=0\)
L'equazione diventa:
\[ 0\cdot x=0 \]
cioè:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è sempre vera, quindi ogni numero reale è soluzione.
In questo caso l'equazione è indeterminata:
\[ S=\mathbb{R} \]
Primo esempio svolto
Risolviamo e discutiamo l'equazione:
\[ ax=4 \]
L'incognita è \(x\), mentre \(a\) è un parametro reale.
Il coefficiente di \(x\) è \(a\). Dobbiamo distinguere due casi.
Caso \(a\ne0\)
Se \(a\ne0\), possiamo dividere entrambi i membri per \(a\):
\[ x=\frac{4}{a} \]
Quindi, per \(a\ne0\), l'equazione ha un'unica soluzione:
\[ S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \]
Caso \(a=0\)
Se \(a=0\), l'equazione diventa:
\[ 0\cdot x=4 \]
cioè:
\[ 0=4 \]
Questa uguaglianza è falsa. Dunque l'equazione non ha soluzioni:
\[ S=\varnothing \]
Riassumendo:
\[ \begin{cases} a\ne0 & \Rightarrow S=\left\{\frac{4}{a}\right\} \\ a=0 & \Rightarrow S=\varnothing \end{cases} \]
Secondo esempio svolto
Risolviamo e discutiamo:
\[ (a-2)x=a-2 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a-2 \]
Prima di dividere per \(a-2\), dobbiamo capire quando questo coefficiente si annulla:
\[ a-2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=2 \]
Caso \(a\ne2\)
Se \(a\ne2\), allora \(a-2\ne0\). Possiamo quindi dividere entrambi i membri per \(a-2\):
\[ x=\frac{a-2}{a-2} \]
Poiché \(a-2\ne0\), la frazione vale:
\[ x=1 \]
Quindi:
\[ S=\{1\} \]
Caso \(a=2\)
Se \(a=2\), sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ (2-2)x=2-2 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=0 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
Questa uguaglianza è vera per ogni valore di \(x\). Dunque:
\[ S=\mathbb{R} \]
Riassumendo:
\[ \begin{cases} a\ne2 & \Rightarrow S=\{1\} \\ a=2 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Terzo esempio svolto
Risolviamo e discutiamo:
\[ (a+1)x=a^2-1 \]
Il coefficiente dell'incognita è:
\[ a+1 \]
Dobbiamo distinguere il caso in cui questo coefficiente è diverso da zero dal caso in cui si annulla.
Risolviamo:
\[ a+1=0 \quad \Longleftrightarrow \quad a=-1 \]
Caso \(a\ne-1\)
Se \(a\ne-1\), allora \(a+1\ne0\). Possiamo dividere entrambi i membri per \(a+1\):
\[ x=\frac{a^2-1}{a+1} \]
Ora scomponiamo il numeratore:
\[ a^2-1=(a-1)(a+1) \]
Quindi:
\[ x=\frac{(a-1)(a+1)}{a+1} \]
Poiché stiamo lavorando nel caso \(a\ne-1\), abbiamo \(a+1\ne0\), quindi possiamo semplificare:
\[ x=a-1 \]
Pertanto:
\[ S=\{a-1\} \]
Caso \(a=-1\)
Se \(a=-1\), sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ (-1+1)x=(-1)^2-1 \]
cioè:
\[ 0\cdot x=1-1 \]
quindi:
\[ 0=0 \]
L'equazione è vera per ogni valore reale di \(x\). Dunque:
\[ S=\mathbb{R} \]
Riassumendo:
\[ \begin{cases} a\ne-1 & \Rightarrow S=\{a-1\} \\ a=-1 & \Rightarrow S=\mathbb{R} \end{cases} \]
Equazioni parametriche con parametro al denominatore
In alcune equazioni il parametro compare al denominatore. In questi casi il primo passo non è risolvere l'equazione, ma stabilire per quali valori del parametro l'equazione ha significato.
Consideriamo:
\[ \frac{x}{a-1}=3 \]
Il denominatore non può essere nullo, quindi dobbiamo imporre:
\[ a-1\ne0 \]
cioè:
\[ a\ne1 \]
Solo per \(a\ne1\) l'equazione è definita. In tale caso possiamo moltiplicare entrambi i membri per \(a-1\):
\[ x=3(a-1) \]
quindi:
\[ x=3a-3 \]
Riassumendo:
\[ a\ne1 \quad \Rightarrow \quad S=\{3a-3\} \]
Per:
\[ a=1 \]
l'equazione non è definita, perché il denominatore sarebbe nullo.
Equazioni parametriche di secondo grado
Le equazioni parametriche possono anche essere di secondo grado. In questo caso il parametro può influenzare il discriminante e quindi il numero di soluzioni reali.
Consideriamo una forma generale:
\[ Ax^2+Bx+C=0 \]
dove almeno uno tra \(A\), \(B\), \(C\) dipende da un parametro.
Se \(A\ne0\), l'equazione è di secondo grado e si studia il discriminante:
\[ \Delta=B^2-4AC \]
A seconda del segno di \(\Delta\), si hanno tre casi:
- se \(\Delta>0\), l'equazione ha due soluzioni reali distinte;
- se \(\Delta=0\), l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti;
- se \(\Delta<0\), l'equazione non ha soluzioni reali.
Se invece \(A=0\), l'equazione non è più di secondo grado e deve essere studiata come equazione di primo grado.
Esempio di equazione parametrica di secondo grado
Discutiamo l'equazione:
\[ x^2-2x+a=0 \]
In questo caso il parametro \(a\) compare nel termine noto.
Il coefficiente di \(x^2\) è \(1\), quindi l'equazione è sempre di secondo grado.
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot a \]
cioè:
\[ \Delta=4-4a \]
Raccogliamo \(4\):
\[ \Delta=4(1-a) \]
Il numero di soluzioni reali dipende dal segno di \(1-a\).
Caso \(\Delta>0\)
Abbiamo:
\[ 4(1-a)>0 \]
Poiché \(4>0\), il segno dipende da \(1-a\):
\[ 1-a>0 \]
quindi:
\[ a<1 \]
Per \(a<1\), l'equazione ha due soluzioni reali distinte.
Caso \(\Delta=0\)
Abbiamo:
\[ 4(1-a)=0 \]
cioè:
\[ 1-a=0 \]
quindi:
\[ a=1 \]
Per \(a=1\), l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti.
Caso \(\Delta<0\)
Abbiamo:
\[ 4(1-a)<0 \]
quindi:
\[ 1-a<0 \]
da cui:
\[ a>1 \]
Per \(a>1\), l'equazione non ha soluzioni reali.
Riassumendo:
\[ \begin{cases} a<1 & \text{due soluzioni reali distinte} \\ a=1 & \text{due soluzioni reali coincidenti} \\ a>1 & \text{nessuna soluzione reale} \end{cases} \]
Osservazione finale
Le equazioni parametriche richiedono un modo di ragionare più attento rispetto alle equazioni numeriche. Il parametro non è un semplice simbolo decorativo: può modificare il grado dell'equazione, annullare coefficienti, rendere impossibile una divisione o cambiare il numero di soluzioni.
Per questo motivo il metodo corretto non consiste nel risolvere meccanicamente, ma nel discutere i casi.
In particolare, ogni volta che una quantità dipende dal parametro, bisogna chiedersi se possa annullarsi. Solo dopo questa verifica è possibile dividere, semplificare o applicare le formule risolutive in modo rigoroso.
Comprendere le equazioni parametriche significa quindi imparare a leggere un'equazione non come un singolo problema, ma come una famiglia di problemi, uno per ogni valore del parametro.