Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle equazioni esponenziali, pensata per imparare non solo a trovare il risultato, ma soprattutto a riconoscere il metodo da applicare. In ogni esercizio analizzeremo la struttura dell'equazione, capiremo quale trasformazione conviene usare e svolgeremo tutti i passaggi senza saltare passaggi intermedi.
Ricordiamo il principio fondamentale: se \(a>0\) e \(a\ne1\), allora:
\[ a^u=a^v \quad \Longleftrightarrow \quad u=v \]
Questa proprietà significa che, quando due potenze hanno la stessa base positiva e diversa da \(1\), l'uguaglianza tra le potenze equivale all'uguaglianza tra gli esponenti. Per questo motivo, in molti esercizi il primo obiettivo sarà trasformare entrambi i membri in potenze aventi la stessa base.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^x=16 \]
Soluzione
\[ S=\{4\} \]
Svolgimento
L'equazione è esponenziale perché l'incognita \(x\) compare all'esponente:
\[ 2^x=16 \]
Il primo membro è già una potenza di base \(2\). Per poter confrontare gli esponenti, dobbiamo scrivere anche il secondo membro come potenza di \(2\).
Osserviamo che:
\[ 16=2^4 \]
infatti:
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \]
Sostituendo \(16\) con \(2^4\), l'equazione diventa:
\[ 2^x=2^4 \]
Ora i due membri sono potenze con la stessa base \(2\). Poiché:
\[ 2>0 \quad \text{e} \quad 2\ne1 \]
possiamo applicare l'iniettività della funzione esponenziale e uguagliare gli esponenti:
\[ x=4 \]
Pertanto:
\[ S=\{4\} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 3^x=81 \]
Soluzione
\[ S=\{4\} \]
Svolgimento
Anche questa è un'equazione esponenziale, perché l'incognita \(x\) si trova nell'esponente.
Il primo membro è una potenza di base \(3\):
\[ 3^x \]
Per usare il metodo della stessa base, dobbiamo riscrivere anche il secondo membro come potenza di \(3\).
Calcoliamo le potenze successive di \(3\):
\[ 3^1=3,\qquad 3^2=9,\qquad 3^3=27,\qquad 3^4=81 \]
Dunque:
\[ 81=3^4 \]
L'equazione può quindi essere riscritta come:
\[ 3^x=3^4 \]
A questo punto le basi sono uguali. Non stiamo cancellando il \(3\) in modo meccanico: stiamo usando il fatto che la funzione esponenziale di base \(3\) è iniettiva.
Quindi gli esponenti devono essere uguali:
\[ x=4 \]
La soluzione è:
\[ S=\{4\} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 5^{x-1}=25 \]
Soluzione
\[ S=\{3\} \]
Svolgimento
Il primo membro è una potenza di base \(5\), ma l'esponente non è semplicemente \(x\): è \(x-1\).
Questo non cambia il metodo. Dobbiamo comunque provare a scrivere il secondo membro come potenza della stessa base.
Poiché:
\[ 25=5^2 \]
possiamo riscrivere l'equazione nella forma:
\[ 5^{x-1}=5^2 \]
Ora abbiamo due potenze con la stessa base \(5\). Poiché:
\[ 5>0 \quad \text{e} \quad 5\ne1 \]
possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ x-1=2 \]
Questa non è più un'equazione esponenziale, ma una semplice equazione lineare. Aggiungiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ x=2+1 \]
quindi:
\[ x=3 \]
Pertanto:
\[ S=\{3\} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^{2x+1}=32 \]
Soluzione
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
L'equazione contiene una potenza di base \(2\):
\[ 2^{2x+1} \]
Il secondo membro è il numero \(32\). Prima di poter confrontare gli esponenti, dobbiamo scrivere \(32\) come potenza di \(2\).
Poiché:
\[ 32=2^5 \]
l'equazione diventa:
\[ 2^{2x+1}=2^5 \]
Le due potenze hanno la stessa base positiva e diversa da \(1\). Possiamo quindi uguagliare gli esponenti:
\[ 2x+1=5 \]
Ora risolviamo l'equazione lineare ottenuta. Sottraiamo \(1\) da entrambi i membri:
\[ 2x=5-1 \]
quindi:
\[ 2x=4 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\):
\[ x=2 \]
Pertanto:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 4^x=64 \]
Soluzione
\[ S=\{3\} \]
Svolgimento
Il primo membro è una potenza di base \(4\):
\[ 4^x \]
Per risolvere l'equazione con il metodo della stessa base, dobbiamo scrivere anche il secondo membro come potenza di \(4\).
Osserviamo che:
\[ 64=4^3 \]
infatti:
\[ 4^3=4\cdot4\cdot4=64 \]
L'equazione diventa quindi:
\[ 4^x=4^3 \]
Ora le due potenze hanno la stessa base \(4\). Poiché \(4>0\) e \(4\ne1\), possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ x=3 \]
Pertanto:
\[ S=\{3\} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 9^x=3^{x+2} \]
Soluzione
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
In questa equazione le basi non coincidono: nel primo membro compare la base \(9\), mentre nel secondo compare la base \(3\).
Tuttavia il numero \(9\) può essere scritto come potenza di \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Riscriviamo quindi il primo membro:
\[ 9^x=(3^2)^x \]
Applichiamo ora la proprietà della potenza di una potenza:
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Otteniamo così:
\[ (3^2)^x=3^{2x} \]
L'equazione iniziale diventa quindi:
\[ 3^{2x}=3^{x+2} \]
Ora i due membri sono potenze con la stessa base positiva e diversa da \(1\). Possiamo quindi uguagliare gli esponenti:
\[ 2x=x+2 \]
Sottraiamo \(x\) da entrambi i membri:
\[ 2x-x=2 \]
quindi:
\[ x=2 \]
Pertanto:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 8^x=4^{x+1} \]
Soluzione
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono due basi diverse:
\[ 8 \quad \text{e} \quad 4 \]
Prima di confrontare gli esponenti, dobbiamo cercare una base comune.
Osserviamo che sia \(8\) sia \(4\) sono potenze di \(2\):
\[ 8=2^3 \]
e:
\[ 4=2^2 \]
Riscriviamo quindi entrambi i membri.
Per il primo membro:
\[ 8^x=(2^3)^x \]
Applicando la proprietà della potenza di una potenza otteniamo:
\[ (2^3)^x=2^{3x} \]
Per il secondo membro:
\[ 4^{x+1}=(2^2)^{x+1} \]
Applicando nuovamente la stessa proprietà:
\[ (2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)} \]
L'equazione diventa:
\[ 2^{3x}=2^{2(x+1)} \]
Ora le basi coincidono, quindi possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ 3x=2(x+1) \]
Sviluppiamo il secondo membro:
\[ 3x=2x+2 \]
Sottraiamo \(2x\) da entrambi i membri:
\[ 3x-2x=2 \]
quindi:
\[ x=2 \]
Pertanto:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=8 \]
Soluzione
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
Nel primo membro compare il prodotto di due potenze con la stessa base:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2} \]
Quando si moltiplicano potenze aventi la stessa base, si mantiene la base e si sommano gli esponenti:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Applicando questa proprietà otteniamo:
\[ 2^{x+1}\cdot2^{x-2}=2^{(x+1)+(x-2)} \]
Semplifichiamo ora l'esponente:
\[ (x+1)+(x-2)=x+1+x-2=2x-1 \]
Quindi il primo membro diventa:
\[ 2^{2x-1} \]
L'equazione assume così la forma:
\[ 2^{2x-1}=8 \]
Scriviamo ora anche \(8\) come potenza di \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Otteniamo:
\[ 2^{2x-1}=2^3 \]
Poiché le basi coincidono, uguagliamo gli esponenti:
\[ 2x-1=3 \]
Aggiungiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ 2x=4 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\):
\[ x=2 \]
La soluzione è:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}}=27 \]
Soluzione
\[ S=\mathbb{R} \]
Svolgimento
Nel primo membro compare un quoziente di potenze con la stessa base:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} \]
Quando si dividono potenze aventi la stessa base, si mantiene la base e si sottraggono gli esponenti:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \qquad (a\ne0) \]
Applichiamo questa proprietà:
\[ \frac{3^{x+2}}{3^{x-1}} = 3^{(x+2)-(x-1)} \]
Semplifichiamo con attenzione l'esponente:
\[ (x+2)-(x-1)=x+2-x+1 \]
quindi:
\[ (x+2)-(x-1)=3 \]
Il primo membro diventa dunque:
\[ 3^3 \]
Poiché:
\[ 3^3=27 \]
l'equazione iniziale si riduce a:
\[ 27=27 \]
Questa uguaglianza è sempre vera e non impone alcuna condizione sull'incognita \(x\).
Ogni numero reale soddisfa quindi l'equazione.
Pertanto:
\[ S=\mathbb{R} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 5^{2x}=125\cdot5^x \]
Soluzione
\[ S=\{3\} \]
Svolgimento
Nel secondo membro compare il numero \(125\) moltiplicato per una potenza di \(5\). Per lavorare con un'unica base, riscriviamo \(125\) come potenza di \(5\).
Poiché:
\[ 125=5^3 \]
otteniamo:
\[ 125\cdot5^x=5^3\cdot5^x \]
Ora utilizziamo la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Quindi:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{3+x} \]
cioè:
\[ 5^3\cdot5^x=5^{x+3} \]
L'equazione iniziale diventa:
\[ 5^{2x}=5^{x+3} \]
Ora le basi coincidono, quindi possiamo uguagliare gli esponenti:
\[ 2x=x+3 \]
Sottraiamo \(x\) da entrambi i membri:
\[ 2x-x=3 \]
quindi:
\[ x=3 \]
Pertanto:
\[ S=\{3\} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Soluzione
\[ S=\{0,2\} \]
Svolgimento
In questa equazione non possiamo risolvere direttamente uguagliando le basi, perché l'incognita compare in più termini:
\[ 2^{2x}-5\cdot2^x+4=0 \]
Tuttavia osserviamo una struttura importante:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Questo significa che l'equazione può essere interpretata come un'equazione di secondo grado nella quantità \(2^x\).
Introduciamo quindi la sostituzione:
\[ t=2^x \]
Poiché una potenza di base positiva è sempre positiva, dobbiamo imporre:
\[ t>0 \]
Sostituendo nell'equazione otteniamo:
\[ t^2-5t+4=0 \]
Ora non abbiamo più un'equazione esponenziale, ma una normale equazione di secondo grado.
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto uguale a \(4\) e somma uguale a \(-5\). Questi numeri sono \(-1\) e \(-4\).
Possiamo quindi scomporre il trinomio:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
L'equazione diventa:
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
Un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo. Otteniamo quindi:
\[ t-1=0 \]
oppure:
\[ t-4=0 \]
Da cui:
\[ t=1 \]
oppure:
\[ t=4 \]
Entrambi i valori sono positivi, quindi rispettano la condizione \(t>0\).
Torniamo ora alla variabile iniziale.
Se:
\[ t=1 \]
allora:
\[ 2^x=1 \]
Ricordiamo che:
\[ 1=2^0 \]
quindi:
\[ 2^x=2^0 \]
da cui:
\[ x=0 \]
Se invece:
\[ t=4 \]
allora:
\[ 2^x=4 \]
Poiché:
\[ 4=2^2 \]
otteniamo:
\[ 2^x=2^2 \]
quindi:
\[ x=2 \]
Le soluzioni finali sono:
\[ S=\{0,2\} \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 3^{2x}-10\cdot3^x+9=0 \]
Soluzione
\[ S=\{0,2\} \]
Svolgimento
Anche in questa equazione compare una struttura simile a quella di un trinomio di secondo grado.
Infatti:
\[ 3^{2x}=(3^x)^2 \]
Introduciamo quindi la sostituzione:
\[ t=3^x \]
Poiché una potenza positiva è sempre positiva:
\[ t>0 \]
Sostituendo nell'equazione otteniamo:
\[ t^2-10t+9=0 \]
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto uguale a \(9\) e somma uguale a \(-10\). Questi numeri sono \(-1\) e \(-9\).
Possiamo quindi scomporre:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
L'equazione diventa:
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
Un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo. Otteniamo quindi:
\[ t=1 \]
oppure:
\[ t=9 \]
Entrambe le soluzioni rispettano la condizione \(t>0\).
Torniamo ora alla variabile iniziale.
Se:
\[ t=1 \]
allora:
\[ 3^x=1 \]
Siccome:
\[ 1=3^0 \]
otteniamo:
\[ 3^x=3^0 \]
quindi:
\[ x=0 \]
Se invece:
\[ t=9 \]
allora:
\[ 3^x=9 \]
Poiché:
\[ 9=3^2 \]
otteniamo:
\[ 3^x=3^2 \]
da cui:
\[ x=2 \]
Le soluzioni finali sono:
\[ S=\{0,2\} \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Risolvi l'equazione:
\[ 4^x-6\cdot2^x+8=0 \]
Soluzione
\[ S=\{1,2\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono sia \(4^x\) sia \(2^x\). Per poter utilizzare una sostituzione, dobbiamo prima esprimere tutto in funzione della stessa base.
Osserviamo che:
\[ 4=2^2 \]
quindi:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Applicando la proprietà della potenza di una potenza:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Inoltre:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
L'equazione iniziale diventa quindi:
\[ (2^x)^2-6\cdot2^x+8=0 \]
Introduciamo ora la sostituzione:
\[ t=2^x \]
con la condizione:
\[ t>0 \]
Otteniamo così:
\[ t^2-6t+8=0 \]
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto uguale a \(8\) e somma uguale a \(-6\). Questi numeri sono \(-2\) e \(-4\).
Possiamo quindi scomporre:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
L'equazione diventa:
\[ (t-2)(t-4)=0 \]
Da cui:
\[ t=2 \]
oppure:
\[ t=4 \]
Entrambe le soluzioni sono positive, quindi accettabili.
Torniamo alla variabile iniziale.
Se:
\[ t=2 \]
allora:
\[ 2^x=2 \]
cioè:
\[ 2^x=2^1 \]
da cui:
\[ x=1 \]
Se invece:
\[ t=4 \]
allora:
\[ 2^x=4 \]
Poiché:
\[ 4=2^2 \]
otteniamo:
\[ 2^x=2^2 \]
quindi:
\[ x=2 \]
Le soluzioni finali sono:
\[ S=\{1,2\} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^{x+1}+2^x=24 \]
Soluzione
\[ S=\{3\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono due potenze con la stessa base \(2\), ma con esponenti diversi:
\[ 2^{x+1} \quad \text{e} \quad 2^x \]
L'idea è riscrivere entrambe le potenze in funzione della stessa quantità, cioè \(2^x\).
Osserviamo che:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
Poiché:
\[ 2^1=2 \]
otteniamo:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Sostituiamo questa espressione nell'equazione iniziale:
\[ 2\cdot2^x+2^x=24 \]
Ora i due termini del primo membro hanno il fattore comune \(2^x\). Possiamo quindi raccoglierlo:
\[ 2^x(2+1)=24 \]
Calcoliamo la somma tra parentesi:
\[ 2+1=3 \]
L'equazione diventa:
\[ 3\cdot2^x=24 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(3\):
\[ 2^x=8 \]
Scriviamo ora \(8\) come potenza di \(2\):
\[ 8=2^3 \]
Otteniamo:
\[ 2^x=2^3 \]
Poiché le basi coincidono, uguagliamo gli esponenti:
\[ x=3 \]
La soluzione è:
\[ S=\{3\} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvi l'equazione:
\[ 3^{x+2}-3^x=72 \]
Soluzione
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono due potenze con la stessa base \(3\), ma con esponenti diversi:
\[ 3^{x+2} \quad \text{e} \quad 3^x \]
L'idea è riscrivere \(3^{x+2}\) in modo da mettere in evidenza il fattore comune \(3^x\).
Usando la proprietà:
\[ a^{m+n}=a^m\cdot a^n \]
possiamo scrivere:
\[ 3^{x+2}=3^x\cdot3^2 \]
Poiché:
\[ 3^2=9 \]
segue:
\[ 3^{x+2}=9\cdot3^x \]
Sostituiamo nell'equazione iniziale:
\[ 9\cdot3^x-3^x=72 \]
I due termini del primo membro hanno il fattore comune \(3^x\). Raccogliamo:
\[ 3^x(9-1)=72 \]
Calcoliamo:
\[ 9-1=8 \]
Quindi:
\[ 8\cdot3^x=72 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(8\):
\[ 3^x=9 \]
Ora scriviamo \(9\) come potenza di \(3\):
\[ 9=3^2 \]
Otteniamo:
\[ 3^x=3^2 \]
Poiché le basi coincidono, uguagliamo gli esponenti:
\[ x=2 \]
Pertanto:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^{x+2}-2^{x+1}=8 \]
Soluzione
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono due potenze di base \(2\):
\[ 2^{x+2} \quad \text{e} \quad 2^{x+1} \]
Per semplificare l'espressione, conviene riscrivere entrambe in funzione di \(2^x\).
Per la prima potenza:
\[ 2^{x+2}=2^x\cdot2^2 \]
Poiché:
\[ 2^2=4 \]
otteniamo:
\[ 2^{x+2}=4\cdot2^x \]
Per la seconda potenza:
\[ 2^{x+1}=2^x\cdot2^1 \]
e quindi:
\[ 2^{x+1}=2\cdot2^x \]
Sostituiamo queste espressioni nell'equazione iniziale:
\[ 4\cdot2^x-2\cdot2^x=8 \]
Raccogliamo il fattore comune \(2^x\):
\[ 2^x(4-2)=8 \]
Calcoliamo:
\[ 4-2=2 \]
Quindi:
\[ 2\cdot2^x=8 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\):
\[ 2^x=4 \]
Scriviamo \(4\) come potenza di \(2\):
\[ 4=2^2 \]
Dunque:
\[ 2^x=2^2 \]
Uguagliando gli esponenti:
\[ x=2 \]
La soluzione è:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvi l'equazione:
\[ 2^x+2^{-x}=\frac{5}{2} \]
Soluzione
\[ S=\{-1,1\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono due potenze collegate tra loro:
\[ 2^x \quad \text{e} \quad 2^{-x} \]
La presenza dell'esponente negativo suggerisce di usare la proprietà:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]
Applicandola otteniamo:
\[ 2^{-x}=\frac{1}{2^x} \]
L'equazione diventa quindi:
\[ 2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2} \]
A questo punto compare ripetutamente la quantità \(2^x\). Introduciamo quindi la sostituzione:
\[ t=2^x \]
Poiché una potenza di base positiva è sempre positiva, dobbiamo ricordare che:
\[ t>0 \]
Inoltre:
\[ \frac{1}{2^x}=\frac{1}{t} \]
L'equazione si trasforma in:
\[ t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \]
Per eliminare il denominatore moltiplichiamo entrambi i membri per \(2t\).
Questa operazione è lecita perché \(t>0\), quindi:
\[ 2t\ne0 \]
Otteniamo:
\[ 2t\left(t+\frac{1}{t}\right)=2t\cdot\frac{5}{2} \]
Sviluppiamo il primo membro:
\[ 2t\cdot t+2t\cdot\frac{1}{t}=5t \]
cioè:
\[ 2t^2+2=5t \]
Portiamo tutti i termini al primo membro:
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ 2t^2-5t+2=(2t-1)(t-2) \]
L'equazione diventa:
\[ (2t-1)(t-2)=0 \]
Per la legge di annullamento del prodotto:
\[ 2t-1=0 \]
oppure:
\[ t-2=0 \]
Nel primo caso:
\[ 2t=1 \]
quindi:
\[ t=\frac{1}{2} \]
Nel secondo caso:
\[ t=2 \]
Entrambi i valori rispettano la condizione \(t>0\).
Torniamo ora alla variabile iniziale.
Se:
\[ t=\frac{1}{2} \]
allora:
\[ 2^x=\frac{1}{2} \]
Poiché:
\[ \frac{1}{2}=2^{-1} \]
otteniamo:
\[ 2^x=2^{-1} \]
quindi:
\[ x=-1 \]
Se invece:
\[ t=2 \]
allora:
\[ 2^x=2 \]
cioè:
\[ 2^x=2^1 \]
da cui:
\[ x=1 \]
Le soluzioni finali sono:
\[ S=\{-1,1\} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvi l'equazione:
\[ 3^x=7 \]
Soluzione
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Svolgimento
In questa equazione l'incognita \(x\) compare all'esponente:
\[ 3^x=7 \]
Il primo membro è una potenza di base \(3\). Per usare il metodo della stessa base, dovremmo riuscire a scrivere anche \(7\) come potenza di \(3\).
Tuttavia \(7\) non è una potenza intera di \(3\). Infatti:
\[ 3^1=3 \]
mentre:
\[ 3^2=9 \]
Il numero \(7\) si trova tra \(3\) e \(9\), ma non coincide con una potenza intera di \(3\).
Questo non significa che l'equazione sia impossibile. Significa soltanto che la soluzione non si ottiene con un esponente intero semplice.
Per determinare l'esponente a cui bisogna elevare \(3\) per ottenere \(7\), usiamo il logaritmo in base \(3\).
Per definizione:
\[ \log_3 7 \]
è proprio l'esponente a cui bisogna elevare \(3\) per ottenere \(7\).
Quindi:
\[ 3^x=7 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\log_3 7 \]
La soluzione è:
\[ S=\{\log_3 7\} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvi l'equazione:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Soluzione
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Svolgimento
L'equazione è esponenziale perché l'incognita compare nell'esponente:
\[ 2^{3x-1}=5 \]
Il primo membro è una potenza di base \(2\). Se il secondo membro fosse una potenza di \(2\), potremmo uguagliare direttamente gli esponenti.
Tuttavia \(5\) non è una potenza intera di \(2\). Infatti:
\[ 2^2=4 \]
mentre:
\[ 2^3=8 \]
Il numero \(5\) è compreso tra \(4\) e \(8\), quindi la soluzione esiste, ma non è un numero intero.
Per isolare l'esponente \(3x-1\), usiamo il logaritmo in base \(2\). Applicando il logaritmo in base \(2\) a entrambi i membri otteniamo:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=\log_2 5 \]
Il logaritmo in base \(2\) e l'esponenziale di base \(2\) sono operazioni inverse. Per questo motivo:
\[ \log_2\left(2^{3x-1}\right)=3x-1 \]
L'equazione diventa quindi:
\[ 3x-1=\log_2 5 \]
Ora non abbiamo più un'equazione esponenziale, ma una semplice equazione lineare nell'incognita \(x\).
Aggiungiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ 3x=1+\log_2 5 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(3\):
\[ x=\frac{1+\log_2 5}{3} \]
La soluzione è:
\[ S=\left\{\frac{1+\log_2 5}{3}\right\} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvi l'equazione:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
Soluzione
\[ S=\{1\} \]
Svolgimento
In questa equazione compaiono due potenze diverse:
\[ 4^x \quad \text{e} \quad 2^x \]
La presenza di \(4^x\) e \(2^x\) suggerisce di riscrivere tutto in funzione della stessa quantità.
Poiché:
\[ 4=2^2 \]
possiamo trasformare \(4^x\) nel seguente modo:
\[ 4^x=(2^2)^x \]
Applicando la proprietà della potenza di una potenza:
\[ (2^2)^x=2^{2x} \]
Inoltre:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2 \]
Quindi:
\[ 4^x=(2^x)^2 \]
L'equazione iniziale:
\[ 4^x+2^x-6=0 \]
diventa:
\[ (2^x)^2+2^x-6=0 \]
A questo punto la struttura è simile a quella di un'equazione di secondo grado. Introduciamo quindi la sostituzione:
\[ t=2^x \]
Poiché una potenza di base positiva è sempre positiva, dobbiamo imporre:
\[ t>0 \]
Sostituendo otteniamo:
\[ t^2+t-6=0 \]
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto uguale a \(-6\) e somma uguale a \(1\). Questi numeri sono \(3\) e \(-2\).
Possiamo quindi scomporre:
\[ t^2+t-6=(t+3)(t-2) \]
L'equazione diventa:
\[ (t+3)(t-2)=0 \]
Per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori deve essere nullo. Otteniamo:
\[ t+3=0 \]
oppure:
\[ t-2=0 \]
Nel primo caso:
\[ t=-3 \]
Nel secondo caso:
\[ t=2 \]
Ricordiamo però la condizione della sostituzione:
\[ t>0 \]
Il valore:
\[ t=-3 \]
deve essere scartato, perché non può esistere alcun numero reale \(x\) tale che:
\[ 2^x=-3 \]
Resta quindi solo:
\[ t=2 \]
Torniamo alla variabile iniziale. Poiché:
\[ t=2^x \]
dalla condizione \(t=2\) otteniamo:
\[ 2^x=2 \]
cioè:
\[ 2^x=2^1 \]
Poiché le basi coincidono, uguagliamo gli esponenti:
\[ x=1 \]
La soluzione finale è:
\[ S=\{1\} \]