Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sul valore assoluto, pensata per imparare a usare correttamente la definizione di modulo, il suo significato geometrico e le principali proprietà operative.
In ogni esercizio il valore assoluto non viene trattato come una semplice regola meccanica per “togliere il segno meno”, ma come una quantità che misura una distanza. Per questo motivo ogni passaggio viene giustificato con attenzione, distinguendo i casi in cui l'espressione dentro il modulo è positiva, nulla oppure negativa.
Gli esercizi partono dal calcolo diretto di valori assoluti numerici e arrivano gradualmente a espressioni letterali, distanze sulla retta reale, semplificazioni con moduli e prime equazioni con valore assoluto.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ |7| \]
Risultato
\[ |7|=7 \]
Svolgimento
Il valore assoluto di un numero reale misura la sua distanza da \(0\) sulla retta reale. Poiché una distanza non può essere negativa, il valore assoluto è sempre un numero maggiore o uguale a zero.
In questo caso il numero dentro il valore assoluto è \(7\). Poiché:
\[ 7>0, \]
dobbiamo applicare il primo caso della definizione:
\[ |x|=x \qquad \text{se } x\geq 0. \]
Dunque:
\[ |7|=7. \]
Geometricamente, questo significa che il numero \(7\) si trova a distanza \(7\) da \(0\) sulla retta reale.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ |-9| \]
Risultato
\[ |-9|=9 \]
Svolgimento
Il numero dentro il valore assoluto è \(-9\), cioè un numero negativo.
In questo caso dobbiamo applicare il secondo ramo della definizione di valore assoluto:
\[ |x|=-x \qquad \text{se } x<0. \]
Qui \(x=-9\). Quindi:
\[ |-9|=-(-9). \]
Poiché l'opposto di \(-9\) è \(9\), otteniamo:
\[ |-9|=9. \]
Questo non significa che il valore assoluto “cambia sempre il segno”. Significa piuttosto che restituisce la distanza del numero da \(0\). Il numero \(-9\) si trova a \(9\) unità da \(0\), quindi il suo valore assoluto è \(9\).
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ |0| \]
Risultato
\[ |0|=0 \]
Svolgimento
Il valore assoluto di \(0\) è \(0\), perché \(0\) ha distanza nulla da se stesso.
Possiamo anche verificarlo direttamente dalla definizione. Poiché:
\[ 0\geq 0, \]
si applica il primo caso:
\[ |x|=x \qquad \text{se } x\geq 0. \]
Sostituendo \(x=0\), otteniamo:
\[ |0|=0. \]
Questo esempio è importante perché mostra che il valore assoluto non restituisce sempre un numero positivo, ma un numero non negativo. Infatti \(0\) non è positivo: è nullo.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ |3-8| \]
Risultato
\[ |3-8|=5 \]
Svolgimento
Prima di applicare il valore assoluto, dobbiamo calcolare l'espressione che si trova al suo interno.
Abbiamo:
\[ 3-8=-5. \]
Quindi l'espressione diventa:
\[ |3-8|=|-5|. \]
Il numero \(-5\) è negativo. Per definizione, se \(x<0\), allora:
\[ |x|=-x. \]
Applicando questa regola a \(x=-5\), otteniamo:
\[ |-5|=-(-5)=5. \]
Dunque:
\[ |3-8|=5. \]
L'errore da evitare è scrivere subito \(|3-8|=3-8\). Questo sarebbe sbagliato, perché prima bisogna capire se l'espressione interna è positiva, nulla oppure negativa.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ |-4|+|6|-|{-2}| \]
Risultato
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8 \]
Svolgimento
L'espressione contiene più valori assoluti. Conviene calcolarli uno alla volta, osservando il segno dei numeri che compaiono all'interno dei moduli.
Consideriamo il primo valore assoluto:
\[ |-4|. \]
Poiché \(-4\) è negativo, il suo valore assoluto è il suo opposto:
\[ |-4|=4. \]
Consideriamo ora:
\[ |6|. \]
Poiché \(6\) è positivo, il valore assoluto coincide con il numero stesso:
\[ |6|=6. \]
Infine:
\[ |{-2}|. \]
Poiché \(-2\) è negativo, abbiamo:
\[ |{-2}|=2. \]
Sostituiamo questi valori nell'espressione iniziale:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=4+6-2. \]
Ora eseguiamo i calcoli:
\[ 4+6-2=10-2=8. \]
Quindi:
\[ |-4|+|6|-|{-2}|=8. \]
Questo esercizio mostra che il valore assoluto va calcolato prima delle operazioni esterne. Solo dopo aver eliminato correttamente i moduli possiamo eseguire somme e sottrazioni.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ |2-7|+|-3| \]
Risultato
\[ |2-7|+|-3|=8 \]
Svolgimento
Per calcolare correttamente l'espressione dobbiamo prima semplificare ciò che si trova all'interno dei valori assoluti.
Consideriamo il primo modulo:
\[ |2-7|. \]
Eseguiamo la sottrazione:
\[ 2-7=-5. \]
Quindi:
\[ |2-7|=|-5|. \]
Poiché \(-5\) è negativo, il suo valore assoluto è:
\[ |-5|=5. \]
Consideriamo ora il secondo valore assoluto:
\[ |-3|. \]
Anche \(-3\) è negativo, quindi:
\[ |-3|=3. \]
Sostituendo questi risultati nell'espressione iniziale, otteniamo:
\[ |2-7|+|-3|=5+3. \]
Eseguendo la somma:
\[ 5+3=8. \]
Dunque:
\[ |2-7|+|-3|=8. \]
Dal punto di vista geometrico, i valori assoluti stanno rappresentando distanze sulla retta reale. Le distanze sono sempre quantità non negative, per questo i moduli vengono trasformati in numeri positivi o nulli.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ |x| \qquad \text{sapendo che } x<0 \]
Risultato
\[ |x|=-x \]
Svolgimento
L'espressione contiene una variabile, quindi non possiamo calcolare direttamente il valore assoluto come abbiamo fatto negli esercizi numerici. Dobbiamo invece usare la definizione.
Il testo ci dice che:
\[ x<0. \]
Questo significa che \(x\) è un numero negativo.
Per definizione:
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{se } x\geq 0,\\ -x & \text{se } x<0. \end{cases} \]
Poiché ci troviamo nel caso \(x<0\), dobbiamo applicare il secondo ramo della definizione:
\[ |x|=-x. \]
È importante capire il significato di questa scrittura. Se \(x\) è negativo, allora \(-x\) è positivo. Per esempio, se:
\[ x=-4, \]
allora:
\[ |x|=-(-4)=4. \]
Quindi:
\[ |x|=-x \qquad \text{quando } x<0. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ |x-3| \qquad \text{sapendo che } x>3 \]
Risultato
\[ |x-3|=x-3 \]
Svolgimento
Per eliminare il valore assoluto dobbiamo studiare il segno dell'espressione che si trova al suo interno.
All'interno del modulo compare:
\[ x-3. \]
Il testo ci dice che:
\[ x>3. \]
Sottraendo \(3\) da entrambi i membri della disequazione otteniamo:
\[ x-3>0. \]
Quindi l'espressione dentro il valore assoluto è positiva.
Quando una quantità è positiva oppure nulla, il valore assoluto coincide con la quantità stessa:
\[ |a|=a \qquad \text{se } a\geq 0. \]
Applicando questa proprietà con \(a=x-3\), otteniamo:
\[ |x-3|=x-3. \]
Geometricamente, questo significa che per valori di \(x\) maggiori di \(3\), la distanza tra \(x\) e \(3\) coincide semplicemente con \(x-3\).
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ |x-3| \qquad \text{sapendo che } x<3 \]
Risultato
\[ |x-3|=3-x \]
Svolgimento
Anche in questo esercizio dobbiamo studiare il segno dell'espressione che compare dentro il modulo.
L'espressione è:
\[ x-3. \]
Il testo ci dice che:
\[ x<3. \]
Sottraendo \(3\) da entrambi i membri, otteniamo:
\[ x-3<0. \]
Dunque l'espressione dentro il valore assoluto è negativa.
Quando una quantità è negativa, il valore assoluto è uguale al suo opposto:
\[ |a|=-a \qquad \text{se } a<0. \]
Applicando questa regola a \(a=x-3\), otteniamo:
\[ |x-3|=-(x-3). \]
Ora eliminiamo la parentesi cambiando il segno a tutti i termini:
\[ -(x-3)=-x+3. \]
Possiamo anche scrivere:
\[ -x+3=3-x. \]
Quindi:
\[ |x-3|=3-x. \]
Questo risultato è coerente con l'interpretazione geometrica del valore assoluto. Se \(x\) si trova a sinistra di \(3\) sulla retta reale, la distanza tra \(x\) e \(3\) è data da \(3-x\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ |{-3}\cdot 4| \]
Risultato
\[ |{-3}\cdot 4|=12 \]
Svolgimento
Possiamo risolvere l'esercizio in due modi diversi.
Il primo metodo consiste nel calcolare prima il prodotto dentro il valore assoluto.
Abbiamo:
\[ -3\cdot 4=-12. \]
Quindi:
\[ |{-3}\cdot 4|=|-12|. \]
Poiché \(-12\) è negativo:
\[ |-12|=12. \]
Otteniamo dunque:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Possiamo però usare anche la proprietà del valore assoluto del prodotto:
\[ |ab|=|a|\cdot |b|. \]
Applicandola, otteniamo:
\[ |{-3}\cdot 4|=|{-3}|\cdot |4|. \]
Ora:
\[ |{-3}|=3 \qquad \text{e} \qquad |4|=4. \]
Quindi:
\[ |{-3}\cdot 4|=3\cdot 4=12. \]
I due metodi conducono allo stesso risultato:
\[ |{-3}\cdot 4|=12. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| \]
Risultato
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4 \]
Svolgimento
Anche in questo esercizio possiamo procedere in due modi diversi.
Il primo metodo consiste nel calcolare prima la divisione che compare all'interno del valore assoluto.
Abbiamo:
\[ \frac{-12}{3}=-4. \]
L'espressione diventa quindi:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=|-4|. \]
Poiché \(-4\) è negativo, il suo valore assoluto è il suo opposto:
\[ |-4|=4. \]
Dunque:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Possiamo però usare anche la proprietà del valore assoluto del quoziente:
\[ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|} \qquad \text{con } b\neq 0. \]
Applicando questa proprietà, otteniamo:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right| = \frac{|-12|}{|3|}. \]
Ora:
\[ |-12|=12 \qquad \text{e} \qquad |3|=3. \]
Quindi:
\[ \frac{|-12|}{|3|} = \frac{12}{3}=4. \]
Anche con questo metodo otteniamo:
\[ \left|\frac{-12}{3}\right|=4. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ \sqrt{(-5)^2} \]
Risultato
\[ \sqrt{(-5)^2}=5 \]
Svolgimento
Questo esercizio è molto importante perché permette di chiarire una delle proprietà fondamentali del valore assoluto:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Molti studenti scrivono erroneamente:
\[ \sqrt{x^2}=x, \]
ma questa uguaglianza non è vera per tutti i numeri reali. La radice quadrata principale restituisce sempre un numero non negativo.
Nel nostro caso:
\[ \sqrt{(-5)^2}=|-5|. \]
Ora calcoliamo il valore assoluto:
\[ |-5|=5. \]
Quindi:
\[ \sqrt{(-5)^2}=5. \]
Possiamo anche verificare il risultato direttamente:
\[ (-5)^2=25. \]
Pertanto:
\[ \sqrt{25}=5. \]
Il risultato è \(5\), non \(-5\), perché la radice quadrata principale è sempre non negativa.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Calcolare la distanza tra i numeri:
\[ -2 \qquad \text{e} \qquad 5 \]
Risultato
\[ 7 \]
Svolgimento
La distanza tra due numeri reali \(a\) e \(b\) si calcola mediante il valore assoluto della loro differenza:
\[ |a-b|. \]
In questo esercizio i due numeri sono:
\[ a=-2 \qquad \text{e} \qquad b=5. \]
Possiamo quindi scrivere:
\[ |-2-5|. \]
Eseguiamo la sottrazione:
\[ -2-5=-7. \]
Otteniamo:
\[ |-7|. \]
Poiché \(-7\) è negativo:
\[ |-7|=7. \]
Dunque la distanza tra \(-2\) e \(5\) è:
\[ 7. \]
Geometricamente, questo significa che sulla retta reale occorrono \(7\) unità per andare da \(-2\) a \(5\).
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ |x|^2 \]
Risultato
\[ |x|^2=x^2 \]
Svolgimento
Una proprietà fondamentale del valore assoluto afferma che:
\[ |x|^2=x^2. \]
Questa uguaglianza è vera per ogni numero reale \(x\).
Per capire perché, dobbiamo distinguere due casi.
Primo caso: \(x\geq 0\).
In questo caso:
\[ |x|=x. \]
Elevando al quadrato:
\[ |x|^2=x^2. \]
Secondo caso: \(x<0\).
In questo caso:
\[ |x|=-x. \]
Elevando al quadrato:
\[ |x|^2=(-x)^2. \]
Ma il quadrato di un numero e il quadrato del suo opposto coincidono:
\[ (-x)^2=x^2. \]
Quindi anche in questo caso:
\[ |x|^2=x^2. \]
Possiamo dunque concludere che:
\[ |x|^2=x^2 \]
per ogni numero reale \(x\).
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ |x|=4 \]
Risultato
\[ S=\{-4,4\} \]
Svolgimento
L'equazione:
\[ |x|=4 \]
chiede di trovare tutti i numeri che hanno distanza \(4\) da \(0\) sulla retta reale.
Esistono due numeri con questa proprietà:
\[ 4 \qquad \text{e} \qquad -4. \]
Infatti:
\[ |4|=4 \]
e:
\[ |-4|=4. \]
Possiamo quindi scrivere:
\[ x=4 \qquad \text{oppure} \qquad x=-4. \]
L'insieme delle soluzioni è dunque:
\[ S=\{-4,4\}. \]
In generale, quando:
\[ |x|=a \qquad \text{con } a>0, \]
le soluzioni sono:
\[ x=\pm a. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ |x|=0 \]
Risultato
\[ S=\{0\} \]
Svolgimento
Il valore assoluto di un numero rappresenta la sua distanza da \(0\) sulla retta reale.
L'equazione:
\[ |x|=0 \]
chiede quindi di trovare tutti i numeri che hanno distanza nulla da \(0\).
Esiste un solo numero con questa proprietà:
\[ x=0. \]
Infatti:
\[ |0|=0. \]
Nessun altro numero soddisfa l'equazione, perché il valore assoluto di un numero diverso da zero è sempre strettamente positivo.
Possiamo quindi concludere che:
\[ S=\{0\}. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ |x|=-3 \]
Risultato
\[ S=\varnothing \]
Svolgimento
Il valore assoluto di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero. Infatti:
\[ |x|\geq 0 \]
per ogni numero reale \(x\).
Nell'equazione:
\[ |x|=-3 \]
il secondo membro è negativo.
Questo è impossibile, perché una distanza non può essere negativa.
Non esiste quindi alcun numero reale il cui valore assoluto sia uguale a \(-3\).
Pertanto l'equazione non ha soluzioni:
\[ S=\varnothing. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ |x-2|=5 \]
Risultato
\[ S=\{-3,7\} \]
Svolgimento
L'equazione:
\[ |x-2|=5 \]
esprime una distanza. In particolare, \(|x-2|\) rappresenta la distanza tra \(x\) e \(2\) sulla retta reale.
L'equazione chiede quindi di trovare tutti i numeri che distano \(5\) unità da \(2\).
Sulla retta reale esistono due possibilità:
- il numero si trova \(5\) unità a destra di \(2\);
- il numero si trova \(5\) unità a sinistra di \(2\).
Dal punto di vista algebrico, questo significa risolvere le due equazioni:
\[ x-2=5 \]
oppure:
\[ x-2=-5. \]
Risolviamo la prima:
\[ x-2=5. \]
Sommando \(2\) a entrambi i membri:
\[ x=7. \]
Risolviamo ora la seconda:
\[ x-2=-5. \]
Sommando \(2\) a entrambi i membri:
\[ x=-3. \]
Le soluzioni dell'equazione sono quindi:
\[ x=-3 \qquad \text{oppure} \qquad x=7. \]
Pertanto:
\[ S=\{-3,7\}. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ |2x-1|=7 \]
Risultato
\[ S=\left\{-3,4\right\} \]
Svolgimento
Quando un'equazione ha la forma:
\[ |A|=k \qquad \text{con } k>0, \]
dobbiamo considerare due possibilità:
\[ A=k \]
oppure:
\[ A=-k. \]
Nel nostro caso:
\[ A=2x-1 \qquad \text{e} \qquad k=7. \]
Dobbiamo quindi risolvere le due equazioni:
\[ 2x-1=7 \]
oppure:
\[ 2x-1=-7. \]
Risolviamo la prima:
\[ 2x-1=7. \]
Sommiamo \(1\) a entrambi i membri:
\[ 2x=8. \]
Dividendo per \(2\):
\[ x=4. \]
Passiamo ora alla seconda equazione:
\[ 2x-1=-7. \]
Sommiamo \(1\):
\[ 2x=-6. \]
Dividendo per \(2\):
\[ x=-3. \]
Le soluzioni dell'equazione sono quindi:
\[ x=-3 \qquad \text{oppure} \qquad x=4. \]
Pertanto:
\[ S=\left\{-3,4\right\}. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ |x+4|=|x-2| \]
Risultato
\[ S=\{-1\} \]
Svolgimento
L'equazione:
\[ |x+4|=|x-2| \]
mette a confronto due distanze.
Il termine:
\[ |x+4|=|x-(-4)| \]
rappresenta la distanza tra \(x\) e \(-4\).
Il termine:
\[ |x-2| \]
rappresenta invece la distanza tra \(x\) e \(2\).
L'equazione chiede quindi di trovare il punto della retta reale che ha la stessa distanza da \(-4\) e da \(2\).
Intuitivamente, questo punto è il punto medio tra \(-4\) e \(2\).
Calcoliamo ora la soluzione in modo algebrico.
Eleviamo al quadrato entrambi i membri:
\[ |x+4|^2=|x-2|^2. \]
Poiché:
\[ |a|^2=a^2, \]
otteniamo:
\[ (x+4)^2=(x-2)^2. \]
Sviluppiamo entrambi i quadrati:
\[ x^2+8x+16=x^2-4x+4. \]
Eliminiamo \(x^2\) da entrambi i membri:
\[ 8x+16=-4x+4. \]
Portiamo i termini con \(x\) al primo membro e i termini noti al secondo:
\[ 8x+4x=4-16. \]
Otteniamo:
\[ 12x=-12. \]
Dividendo per \(12\):
\[ x=-1. \]
Verifichiamo:
\[ |-1+4|=|3|=3 \]
e:
\[ |-1-2|=|-3|=3. \]
I due membri coincidono, quindi la soluzione è corretta.
Pertanto:
\[ S=\{-1\}. \]