Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle frazioni algebriche, pensata per imparare a determinare correttamente le condizioni di esistenza, semplificare le frazioni, eseguire operazioni ed evitare gli errori più frequenti.
In ogni esercizio il punto centrale non è soltanto eseguire i calcoli, ma capire perché ogni passaggio è lecito. Le frazioni algebriche, infatti, dipendono in modo essenziale dal denominatore: prima di trasformarle, bisogna sempre stabilire per quali valori esse hanno significato.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Determinare le condizioni di esistenza della frazione:
\[ \frac{x+1}{x-3} \]
Risultato
\[ x\neq 3 \]
Svolgimento
Una frazione algebrica è definita soltanto quando il denominatore è diverso da zero. Dobbiamo quindi imporre:
\[ x-3\neq 0. \]
Risolvendo la condizione otteniamo:
\[ x\neq 3. \]
Questo significa che la frazione è definita per tutti i numeri reali tranne \(3\).
Il dominio è quindi:
\[ \mathbb{R}\setminus\{3\}. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Determinare il dominio della frazione:
\[ \frac{2x-1}{x^2-9} \]
Risultato
\[ x\neq -3, \qquad x\neq 3 \]
Svolgimento
Il denominatore della frazione deve essere diverso da zero:
\[ x^2-9\neq 0. \]
Per studiare questa condizione scomponiamo il polinomio:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
La condizione diventa quindi:
\[ (x-3)(x+3)\neq 0. \]
Un prodotto è diverso da zero se e solo se nessuno dei fattori è nullo. Dobbiamo dunque imporre:
\[ x-3\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+3\neq 0. \]
Otteniamo:
\[ x\neq 3, \qquad x\neq -3. \]
Il dominio della frazione è:
\[ \mathbb{R}\setminus\{-3,3\}. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Semplificare la frazione:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} \]
Risultato
\[ \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2 \]
Svolgimento
Per semplificare una frazione algebrica dobbiamo prima scomporre numeratore e denominatore in fattori.
Il numeratore è una differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Il denominatore è un quadrato perfetto:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]
La frazione diventa quindi:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}. \]
Prima di semplificare dobbiamo imporre la condizione di esistenza:
\[ (x+2)^2\neq 0. \]
Da cui:
\[ x+2\neq 0, \qquad x\neq -2. \]
Ora possiamo semplificare il fattore comune \(x+2\):
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}. \]
Quindi:
\[ \frac{x^2-4}{x^2+4x+4} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x\neq -2. \]
La condizione \(x\neq -2\) deve essere conservata anche dopo la semplificazione.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Semplificare:
\[ \frac{3x^2}{6x} \]
Risultato
\[ \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0 \]
Svolgimento
Anche quando una frazione algebrica sembra molto semplice, il primo controllo riguarda sempre il denominatore. In questo caso il denominatore è:
\[ 6x. \]
Una frazione è definita soltanto se il denominatore è diverso da zero, quindi dobbiamo imporre:
\[ 6x\neq 0. \]
Poiché \(6\) è diverso da zero, il prodotto \(6x\) si annulla soltanto quando \(x=0\). Pertanto:
\[ x\neq 0. \]
Ora possiamo passare alla semplificazione. Scriviamo il numeratore mettendo in evidenza i fattori:
\[ 3x^2=3\cdot x\cdot x. \]
Anche il denominatore può essere scritto come:
\[ 6x=6\cdot x. \]
Quindi:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{3\cdot x\cdot x}{6\cdot x}. \]
Il fattore \(x\) compare sia al numeratore sia al denominatore. Possiamo semplificarlo perché abbiamo già stabilito che \(x\neq 0\). Se \(x\) fosse uguale a zero, infatti, il denominatore iniziale si annullerebbe e la frazione non avrebbe significato.
Rimane:
\[ \frac{3x}{6}. \]
Ora semplifichiamo il coefficiente numerico:
\[ \frac{3x}{6}=\frac{x}{2}. \]
Dunque:
\[ \frac{3x^2}{6x} = \frac{x}{2}, \qquad x\neq 0. \]
La condizione \(x\neq 0\) deve essere conservata. Infatti la frazione iniziale non è definita per \(x=0\), mentre l'espressione \(\frac{x}{2}\) sarebbe definita anche per \(x=0\). Senza la condizione di esistenza, quindi, perderemmo un'informazione essenziale.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} \]
Risultato
\[ \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5 \]
Svolgimento
Per semplificare una frazione algebrica dobbiamo trasformare numeratore e denominatore in prodotti. Solo in questo modo possiamo riconoscere eventuali fattori comuni.
Consideriamo il numeratore:
\[ x^2+5x. \]
I due termini hanno in comune il fattore \(x\). Raccogliendolo, otteniamo:
\[ x^2+5x=x(x+5). \]
Consideriamo ora il denominatore:
\[ x^2-25. \]
Si tratta di una differenza di quadrati, perché:
\[ 25=5^2. \]
Quindi:
\[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5). \]
La frazione si può allora riscrivere così:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}. \]
Prima di semplificare il fattore comune \(x+5\), dobbiamo determinare le condizioni di esistenza della frazione iniziale. Il denominatore deve essere diverso da zero:
\[ x^2-25\neq 0. \]
Usando la scomposizione appena trovata, questa condizione diventa:
\[ (x-5)(x+5)\neq 0. \]
Un prodotto è diverso da zero se nessuno dei suoi fattori è nullo. Dunque:
\[ x-5\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+5\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 5 \qquad \text{e} \qquad x\neq -5. \]
Ora possiamo semplificare il fattore comune \(x+5\):
\[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x}{x-5}. \]
Quindi:
\[ \frac{x^2+5x}{x^2-25} = \frac{x}{x-5}, \qquad x\neq -5,\ 5. \]
Il valore \(x=-5\) deve restare escluso anche se il fattore \(x+5\) è stato eliminato dalla scrittura finale. La semplificazione cambia la forma della frazione, ma non modifica il dominio della frazione iniziale.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} \]
Risultato
\[ \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3 \]
Svolgimento
Per semplificare correttamente la frazione dobbiamo prima scomporre numeratore e denominatore.
Partiamo dal numeratore:
\[ x^2-3x. \]
Entrambi i termini contengono il fattore \(x\). Raccogliendo \(x\), otteniamo:
\[ x^2-3x=x(x-3). \]
Consideriamo ora il denominatore:
\[ x^2-6x+9. \]
Questo trinomio è un quadrato perfetto. Infatti:
\[ (x-3)^2=x^2-6x+9. \]
Quindi:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]
La frazione diventa:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x(x-3)}{(x-3)^2}. \]
Prima di semplificare dobbiamo imporre la condizione di esistenza. Il denominatore iniziale non può essere uguale a zero:
\[ x^2-6x+9\neq 0. \]
Poiché:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \]
la condizione diventa:
\[ (x-3)^2\neq 0. \]
Un quadrato è diverso da zero se e solo se la sua base è diversa da zero. Dunque:
\[ x-3\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 3. \]
Ora possiamo semplificare un fattore \(x-3\):
\[ \frac{x(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x}{x-3}. \]
Otteniamo quindi:
\[ \frac{x^2-3x}{x^2-6x+9} = \frac{x}{x-3}, \qquad x\neq 3. \]
La condizione \(x\neq 3\) non è un dettaglio secondario: per \(x=3\) il denominatore della frazione iniziale diventa zero, quindi quel valore non può essere ammesso.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Ridurre allo stesso denominatore:
\[ \frac{2}{x} \qquad \text{e} \qquad \frac{3}{x+1} \]
Risultato
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{e} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Svolgimento
Ridurre due frazioni allo stesso denominatore significa trasformarle in frazioni equivalenti aventi un denominatore comune. Questa operazione è indispensabile, per esempio, quando si vogliono sommare o sottrarre frazioni algebriche.
I denominatori delle due frazioni sono:
\[ x \qquad \text{e} \qquad x+1. \]
Prima di costruire il denominatore comune, determiniamo le condizioni di esistenza. Dobbiamo imporre:
\[ x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
La seconda condizione equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Quindi le condizioni complessive sono:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Poiché i denominatori \(x\) e \(x+1\) non hanno fattori comuni, il minimo comune denominatore è il loro prodotto:
\[ x(x+1). \]
Consideriamo la prima frazione:
\[ \frac{2}{x}. \]
Per ottenere il denominatore \(x(x+1)\), dobbiamo moltiplicare denominatore e numeratore per il fattore mancante \(x+1\):
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}. \]
Consideriamo ora la seconda frazione:
\[ \frac{3}{x+1}. \]
In questo caso il fattore mancante è \(x\), quindi:
\[ \frac{3}{x+1} = \frac{3x}{x(x+1)}. \]
Le due frazioni ridotte allo stesso denominatore sono dunque:
\[ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} \qquad \text{e} \qquad \frac{3x}{x(x+1)}, \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Le condizioni di esistenza garantiscono che i fattori usati nei denominatori non siano nulli. Per questo motivo le trasformazioni effettuate producono frazioni equivalenti nel dominio comune.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} \]
Risultato
\[ \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2 \]
Svolgimento
Per sommare due frazioni algebriche con denominatori diversi, dobbiamo prima ridurle allo stesso denominatore. Prima di effettuare qualunque trasformazione, però, determiniamo le condizioni di esistenza.
I denominatori sono:
\[ x-2 \qquad \text{e} \qquad x+2. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+2\neq 0. \]
Da queste condizioni otteniamo:
\[ x\neq 2 \qquad \text{e} \qquad x\neq -2. \]
Il denominatore comune più conveniente è il prodotto dei due denominatori:
\[ (x-2)(x+2). \]
Nella prima frazione manca il fattore \(x+2\). Moltiplichiamo quindi numeratore e denominatore per \(x+2\):
\[ \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}. \]
Nella seconda frazione manca invece il fattore \(x-2\). Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(x-2\):
\[ \frac{3}{x+2} = \frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Ora le due frazioni hanno lo stesso denominatore, quindi possiamo sommare i numeratori e conservare il denominatore comune:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{x+2+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ x+2+3(x-2)=x+2+3x-6. \]
Riduciamo i termini simili:
\[ x+2+3x-6=4x-4. \]
Quindi:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)}. \]
Possiamo raccogliere \(4\) al numeratore:
\[ 4x-4=4(x-1). \]
Pertanto:
\[ \frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+2} = \frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}, \qquad x\neq -2,\ 2. \]
Non ci sono ulteriori semplificazioni, perché il fattore \(x-1\) non compare nel denominatore. Le condizioni \(x\neq -2\) e \(x\neq 2\) devono invece restare indicate, perché provengono dai denominatori iniziali.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} \]
Risultato
\[ \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Svolgimento
L'espressione contiene una differenza tra frazioni algebriche. Come sempre, iniziamo dalle condizioni di esistenza, cioè dai valori che non possono essere assegnati alla variabile.
I denominatori sono:
\[ x+1 \qquad \text{e} \qquad x-1. \]
Dobbiamo imporre:
\[ x+1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x-1\neq 0. \]
Quindi:
\[ x\neq -1 \qquad \text{e} \qquad x\neq 1. \]
Il denominatore comune è:
\[ (x+1)(x-1). \]
Nella prima frazione manca il fattore \(x-1\), quindi:
\[ \frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Nella seconda frazione manca il fattore \(x+1\), quindi:
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}. \]
Ora possiamo sottrarre i numeratori. È importante conservare le parentesi, perché il segno meno si distribuisce su tutto il numeratore della seconda frazione:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ x(x-1)-(x+1)=x^2-x-x-1. \]
Riduciamo i termini simili:
\[ x^2-x-x-1=x^2-2x-1. \]
Otteniamo quindi:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}. \]
Il numeratore non contiene né il fattore \(x+1\) né il fattore \(x-1\), quindi non è possibile semplificare.
Pertanto:
\[ \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x-1} = \frac{x^2-2x-1}{(x+1)(x-1)}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} \]
Risultato
\[ 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0 \]
Svolgimento
In un prodotto tra frazioni algebriche conviene quasi sempre scomporre i polinomi prima di moltiplicare. In questo modo possiamo riconoscere subito eventuali fattori comuni e semplificare i calcoli.
Prima, però, determiniamo le condizioni di esistenza. I denominatori presenti sono:
\[ x \qquad \text{e} \qquad x+1. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
La seconda condizione equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Dunque le condizioni di esistenza sono:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Consideriamo ora il prodotto:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
Il numeratore \(x^2-1\) è una differenza di quadrati:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Sostituendo questa scomposizione, otteniamo:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot \frac{2x}{x+1}. \]
A questo punto possiamo semplificare il fattore \(x+1\), che compare al numeratore della prima frazione e al denominatore della seconda.
Questa semplificazione è lecita perché nel dominio abbiamo imposto \(x+1\neq 0\), cioè \(x\neq -1\).
Possiamo inoltre semplificare il fattore \(x\), che compare al denominatore della prima frazione e al numeratore della seconda. Anche questa operazione è lecita perché abbiamo imposto \(x\neq 0\).
Dopo le semplificazioni resta:
\[ 2(x-1). \]
Quindi:
\[ \frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{2x}{x+1} = 2(x-1), \qquad x\neq -1,\ 0. \]
Anche se il risultato finale è un polinomio, le condizioni di esistenza non devono essere dimenticate: l'espressione iniziale non era definita per \(x=0\) e per \(x=-1\).
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} \]
Risultato
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Svolgimento
L'espressione contiene una divisione tra frazioni algebriche. In questi casi bisogna controllare non soltanto che i denominatori siano diversi da zero, ma anche che la frazione divisore sia diversa da zero.
Il denominatore della prima frazione è:
\[ x^2-2x. \]
Scomponiamolo raccogliendo \(x\):
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Quindi dobbiamo imporre:
\[ x(x-2)\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq 2. \]
Anche il denominatore della seconda frazione è \(x\), quindi ritroviamo la condizione:
\[ x\neq 0. \]
Ora dobbiamo considerare un'ulteriore condizione: la frazione \(\frac{x+2}{x}\) è il divisore. Poiché non si può dividere per zero, deve valere:
\[ \frac{x+2}{x}\neq 0. \]
Nel dominio in cui \(x\neq 0\), una frazione è uguale a zero se e solo se è uguale a zero il suo numeratore. Dobbiamo quindi imporre:
\[ x+2\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq -2. \]
Le condizioni complessive sono:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Ora possiamo trasformare la divisione in moltiplicazione per la frazione reciproca:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
Scomponiamo i polinomi presenti:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
e
\[ x^2-2x=x(x-2). \]
Sostituendo, otteniamo:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}\cdot \frac{x}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}\cdot \frac{x}{x+2}. \]
A questo punto possiamo semplificare i fattori comuni. Il fattore \(x-2\) compare al numeratore e al denominatore, il fattore \(x+2\) compare al numeratore e al denominatore, e lo stesso accade per \(x\).
Tutte queste semplificazioni sono lecite perché abbiamo escluso i valori che renderebbero nulli tali fattori:
\[ x\neq 2,\qquad x\neq -2,\qquad x\neq 0. \]
Dopo le semplificazioni rimane:
\[ 1. \]
Dunque:
\[ \frac{x^2-4}{x^2-2x}:\frac{x+2}{x} = 1, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Il risultato finale è una costante, ma l'espressione iniziale non era definita per \(x=-2\), \(x=0\) e \(x=2\). Per questo motivo le condizioni di esistenza devono restare indicate.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} \]
Risultato
\[ \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Svolgimento
Per semplificare una frazione algebrica dobbiamo prima scomporre numeratore e denominatore in fattori. Soltanto dopo questa operazione possiamo individuare fattori comuni da semplificare.
Consideriamo il numeratore:
\[ x^2+2x+1. \]
Questo trinomio è il quadrato del binomio \(x+1\), infatti:
\[ (x+1)^2=x^2+2x+1. \]
Quindi:
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Consideriamo ora il denominatore:
\[ x^2-1. \]
Si tratta di una differenza di quadrati:
\[ x^2-1=x^2-1^2. \]
Applicando la formula della differenza di quadrati otteniamo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
La frazione diventa:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}. \]
Prima di semplificare il fattore comune \(x+1\), dobbiamo determinare le condizioni di esistenza della frazione iniziale:
\[ x^2-1\neq 0. \]
Usando la scomposizione:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
otteniamo:
\[ (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Un prodotto è diverso da zero se e solo se nessuno dei fattori è nullo. Quindi:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 1 \qquad \text{e} \qquad x\neq -1. \]
Ora possiamo semplificare un fattore \(x+1\):
\[ \frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}. \]
Pertanto:
\[ \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{x-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Il valore \(x=-1\) deve restare escluso anche se il fattore \(x+1\) è stato semplificato. Infatti la frazione iniziale non era definita per \(x=-1\).
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} \]
Risultato
\[ \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1 \]
Svolgimento
L'espressione contiene una somma tra frazioni algebriche. Per sommare frazioni con denominatori diversi, dobbiamo prima portarle allo stesso denominatore.
Prima però determiniamo le condizioni di esistenza. I denominatori sono:
\[ x-1 \qquad \text{e} \qquad x^2-1. \]
Dobbiamo imporre:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x^2-1\neq 0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Quindi le condizioni diventano:
\[ x-1\neq 0 \qquad \text{e} \qquad (x-1)(x+1)\neq 0. \]
Da qui otteniamo:
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Il denominatore comune più conveniente è:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
La seconda frazione ha già questo denominatore:
\[ \frac{x}{x^2-1}. \]
La prima frazione invece ha denominatore \(x-1\). Per ottenere il denominatore \((x-1)(x+1)\), dobbiamo moltiplicare numeratore e denominatore per \(x+1\):
\[ \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Ora possiamo sommare:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{2(x+1)+x}{(x-1)(x+1)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ 2(x+1)+x=2x+2+x. \]
Riduciamo i termini simili:
\[ 2x+2+x=3x+2. \]
Quindi:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)}. \]
Poiché \((x-1)(x+1)=x^2-1\), possiamo anche scrivere:
\[ \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x+2}{x^2-1}. \]
Pertanto:
\[ \frac{2}{x-1}+\frac{x}{x^2-1} = \frac{3x+2}{x^2-1}, \qquad x\neq -1,\ 1. \]
Non possiamo semplificare ulteriormente, perché il numeratore \(3x+2\) non contiene fattori comuni con il denominatore.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Semplificare l'espressione:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} \]
Risultato
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2 \]
Svolgimento
L'espressione contiene una parentesi con una differenza tra frazioni algebriche e poi un prodotto. Prima di eseguire i calcoli, dobbiamo determinare le condizioni di esistenza.
I denominatori presenti sono:
\[ x+2,\qquad x,\qquad x-2. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x+2\neq 0,\qquad x\neq 0,\qquad x-2\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 2. \]
Ora semplifichiamo prima la parentesi:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}. \]
Il denominatore comune è:
\[ x(x+2). \]
Nella prima frazione manca il fattore \(x\), quindi:
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{x^2}{x(x+2)}. \]
Nella seconda frazione manca il fattore \(x+2\), quindi:
\[ \frac{2}{x} = \frac{2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Sottraendo le due frazioni otteniamo:
\[ \frac{x}{x+2}-\frac{2}{x} = \frac{x^2-2(x+2)}{x(x+2)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ x^2-2(x+2)=x^2-2x-4. \]
Quindi la parentesi è uguale a:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}. \]
L'espressione iniziale diventa:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x(x+2)}\cdot \frac{x(x+2)}{x-2}. \]
Ora possiamo semplificare il fattore comune \(x(x+2)\), che compare al denominatore della prima frazione e al numeratore della seconda.
Questa semplificazione è lecita perché nelle condizioni di esistenza abbiamo già escluso \(x=0\) e \(x=-2\), cioè i valori che annullerebbero quei fattori.
Rimane:
\[ \frac{x^2-2x-4}{x-2}. \]
Non possiamo semplificare ulteriormente con \(x-2\), perché il numeratore \(x^2-2x-4\) non ha \(x-2\) come fattore. Infatti, sostituendo \(x=2\), si ottiene:
\[ 2^2-2\cdot 2-4=4-4-4=-4\neq 0. \]
Dunque:
\[ \left(\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x}\right)\cdot \frac{x(x+2)}{x-2} = \frac{x^2-2x-4}{x-2}, \qquad x\neq -2,\ 0,\ 2. \]
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Risolvere l'equazione fratta:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2 \]
Risultato
\[ S=\{7\} \]
Svolgimento
In un'equazione fratta il primo passaggio consiste sempre nel determinare le condizioni di esistenza. Infatti i valori che annullano i denominatori non possono essere soluzioni dell'equazione.
In questo caso il denominatore è:
\[ x-3. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x-3\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 3. \]
Ora possiamo risolvere l'equazione:
\[ \frac{x+1}{x-3}=2. \]
Moltiplichiamo entrambi i membri per \(x-3\). Questa operazione è lecita perché stiamo lavorando nel dominio dell'equazione, dove \(x-3\neq 0\).
Otteniamo:
\[ x+1=2(x-3). \]
Sviluppiamo il secondo membro:
\[ x+1=2x-6. \]
Portiamo i termini con \(x\) da una parte e i termini noti dall'altra:
\[ 1+6=2x-x. \]
Quindi:
\[ 7=x. \]
Abbiamo trovato il valore \(x=7\). Ora dobbiamo verificare che rispetti la condizione di esistenza.
Poiché:
\[ 7\neq 3, \]
il valore trovato è accettabile.
Pertanto:
\[ S=\{7\}. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Risolvere l'equazione fratta:
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{2}{x-1} \]
Risultato
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
Prima di risolvere l'equazione, determiniamo le condizioni di esistenza. Il denominatore è \(x-1\), quindi deve essere diverso da zero:
\[ x-1\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 1. \]
Nel dominio dell'equazione i due membri hanno lo stesso denominatore:
\[ x-1. \]
Poiché questo denominatore è diverso da zero, possiamo uguagliare i numeratori:
\[ x=2. \]
A questo punto dobbiamo controllare se il valore trovato è compatibile con la condizione di esistenza.
La condizione richiede:
\[ x\neq 1. \]
Poiché \(2\neq 1\), il valore \(x=2\) è accettabile.
Quindi l'insieme delle soluzioni è:
\[ S=\{2\}. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere l'equazione fratta:
\[ \frac{x+2}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \]
Risultato
\[ S=\varnothing \]
Svolgimento
Prima di risolvere l'equazione dobbiamo determinare le condizioni di esistenza. Anche se i denominatori sono uguali, non possiamo ignorare questo passaggio.
Il denominatore comune è:
\[ x-1. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x-1\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 1. \]
Nel dominio dell'equazione il denominatore \(x-1\) è diverso da zero. Possiamo quindi uguagliare i numeratori:
\[ x+2=3x. \]
Portiamo i termini con \(x\) da una parte:
\[ 2=3x-x. \]
Quindi:
\[ 2=2x. \]
Dividendo per \(2\), otteniamo:
\[ x=1. \]
Il valore trovato deve però essere confrontato con la condizione di esistenza. Avevamo imposto:
\[ x\neq 1. \]
Il valore \(x=1\) non è quindi accettabile, perché annulla il denominatore iniziale:
\[ 1-1=0. \]
Di conseguenza il valore trovato deve essere scartato.
L'equazione non ha soluzioni:
\[ S=\varnothing. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere l'equazione fratta:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1 \]
Risultato
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\} \]
Svolgimento
Iniziamo dalle condizioni di esistenza. I denominatori presenti nell'equazione sono:
\[ x \qquad \text{e} \qquad x+1. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+1\neq 0. \]
La seconda condizione equivale a:
\[ x\neq -1. \]
Dunque:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
Ora risolviamo l'equazione:
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=1. \]
Il denominatore comune è:
\[ x(x+1). \]
Nel dominio dell'equazione questo prodotto è diverso da zero. Possiamo quindi moltiplicare entrambi i membri per \(x(x+1)\).
Moltiplicando il primo termine per \(x(x+1)\), otteniamo:
\[ \frac{1}{x}\cdot x(x+1)=x+1. \]
Moltiplicando il secondo termine per \(x(x+1)\), otteniamo:
\[ \frac{1}{x+1}\cdot x(x+1)=x. \]
Moltiplicando il secondo membro per \(x(x+1)\), otteniamo:
\[ 1\cdot x(x+1)=x(x+1). \]
L'equazione diventa quindi:
\[ x+1+x=x(x+1). \]
Sommiamo i termini simili al primo membro:
\[ 2x+1=x(x+1). \]
Sviluppiamo il secondo membro:
\[ 2x+1=x^2+x. \]
Portiamo tutti i termini al secondo membro:
\[ 0=x^2+x-2x-1. \]
Riducendo i termini simili:
\[ 0=x^2-x-1. \]
Quindi dobbiamo risolvere:
\[ x^2-x-1=0. \]
Applichiamo la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \]
In questo caso:
\[ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1. \]
Perciò:
\[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}. \]
Semplificando:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}. \]
Quindi:
\[ x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. \]
Dobbiamo ora verificare che i valori trovati siano compatibili con le condizioni di esistenza. Le condizioni erano:
\[ x\neq 0, \qquad x\neq -1. \]
I due valori
\[ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \qquad \text{e} \qquad \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
non sono né \(0\) né \(-1\), quindi sono entrambi accettabili.
Pertanto:
\[ S= \left\{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} \]
Risultato
\[ 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3 \]
Svolgimento
L'espressione contiene un prodotto tra frazioni algebriche. Prima di eseguire il prodotto, conviene scomporre tutti i polinomi in fattori. Tuttavia, le condizioni di esistenza devono essere determinate a partire dai denominatori dell'espressione iniziale.
I denominatori sono:
\[ x^2-4 \qquad \text{e} \qquad x-3. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x^2-4\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x-3\neq 0. \]
Scomponiamo il primo denominatore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Quindi la condizione \(x^2-4\neq 0\) diventa:
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un prodotto è diverso da zero se nessuno dei fattori è nullo. Dunque:
\[ x-2\neq 0 \qquad \text{e} \qquad x+2\neq 0. \]
Da cui:
\[ x\neq 2 \qquad \text{e} \qquad x\neq -2. \]
Dalla seconda condizione otteniamo invece:
\[ x-3\neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x\neq 3. \]
Le condizioni di esistenza complessive sono quindi:
\[ x\neq -2,\qquad x\neq 2,\qquad x\neq 3. \]
Ora passiamo alla semplificazione. Scomponiamo il numeratore della prima frazione:
\[ x^2-5x+6. \]
Cerchiamo due numeri il cui prodotto sia \(6\) e la cui somma sia \(-5\). Tali numeri sono \(-2\) e \(-3\). Quindi:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Inoltre, come già visto:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
L'espressione diventa:
\[ \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x+2}{x-3}. \]
A questo punto possiamo semplificare i fattori comuni.
Il fattore \(x-2\) compare al numeratore e al denominatore della prima frazione. Possiamo semplificarlo perché abbiamo escluso \(x=2\).
Il fattore \(x+2\) compare al denominatore della prima frazione e al numeratore della seconda. Possiamo semplificarlo perché abbiamo escluso \(x=-2\).
Il fattore \(x-3\) compare al numeratore della prima frazione e al denominatore della seconda. Possiamo semplificarlo perché abbiamo escluso \(x=3\).
Dopo queste semplificazioni non rimane alcun fattore variabile:
\[ 1. \]
Pertanto:
\[ \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\cdot \frac{x+2}{x-3} = 1, \qquad x\neq -2,\ 2,\ 3. \]
Anche se il risultato finale è la costante \(1\), non possiamo dimenticare le condizioni di esistenza. L'espressione iniziale, infatti, non è definita per \(x=-2\), \(x=2\) e \(x=3\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Semplificare l'espressione:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} \]
Risultato
\[ 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1 \]
Svolgimento
Questa espressione contiene prima una differenza tra frazioni algebriche e poi una divisione per un'altra frazione. Per questo motivo le condizioni di esistenza devono essere determinate con particolare attenzione.
I denominatori presenti sono:
\[ x^2-1,\qquad x-1,\qquad x+1. \]
Dobbiamo quindi imporre:
\[ x^2-1\neq 0,\qquad x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Quindi le condizioni sui denominatori portano a:
\[ x\neq 1 \qquad \text{e} \qquad x\neq -1. \]
C'è però un'ulteriore condizione. La frazione
\[ \frac{x}{x+1} \]
è il divisore dell'espressione. Dividere per una frazione significa moltiplicare per la sua reciproca, ma questo è possibile soltanto se la frazione divisore è diversa da zero.
Dobbiamo quindi imporre:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
Nel dominio in cui \(x+1\neq 0\), una frazione è uguale a zero se e solo se il numeratore è uguale a zero. Perciò dobbiamo escludere anche:
\[ x=0. \]
Le condizioni complessive sono:
\[ x\neq -1,\qquad x\neq 0,\qquad x\neq 1. \]
Ora lavoriamo sulla parentesi:
\[ \frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}. \]
Scomponiamo il denominatore della prima frazione:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Quindi:
\[ \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)}. \]
Nel dominio dell'espressione sappiamo che \(x+1\neq 0\). Possiamo quindi semplificare il fattore comune \(x+1\):
\[ \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}. \]
La parentesi diventa:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}. \]
La differenza tra due frazioni uguali è zero:
\[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=0. \]
L'espressione iniziale si riduce quindi a:
\[ 0:\frac{x}{x+1}. \]
Per le condizioni di esistenza abbiamo imposto che:
\[ \frac{x}{x+1}\neq 0. \]
Quindi la divisione è lecita e il risultato è:
\[ 0. \]
Pertanto:
\[ \left(\frac{x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1}\right):\frac{x}{x+1} = 0, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Il risultato finale è zero, ma l'espressione iniziale non è definita per \(x=-1\), \(x=0\) e \(x=1\). Questi valori devono quindi restare esclusi.