La regola di Ruffini è un procedimento che permette di dividere rapidamente un polinomio per un binomio di primo grado della forma \(x-a\). A prima vista può sembrare soltanto un algoritmo di calcolo abbreviato, ma il suo significato è molto più profondo: essa è una forma compatta della divisione tra polinomi e, allo stesso tempo, uno strumento che collega il valore di un polinomio in un punto, il resto della divisione e la presenza di fattori lineari.
Proprio per questo motivo, la regola di Ruffini non va studiata come una semplice tecnica meccanica. Essa permette di comprendere in modo concreto tre idee fondamentali dell'algebra: la divisione tra polinomi, il teorema del resto e il teorema del fattore.
- Divisione di un polinomio per \(x-a\)
- Idea fondamentale della regola di Ruffini
- Enunciato della regola di Ruffini
- Esempio di applicazione della regola di Ruffini
- Dimostrazione della regola di Ruffini
- Teorema del resto
- Teorema del fattore
- Uso della regola di Ruffini per scomporre un polinomio
- Il caso dei coefficienti mancanti
- Ruffini e radici razionali
- Ruffini non trova tutte le radici
- Divisione per \(ax+b\)
- Esempio con divisore non monico
Divisione di un polinomio per \(x-a\)
Sia \(P(x)\) un polinomio a coefficienti reali, o più in generale a coefficienti in un campo, e sia \(a\) un numero fissato. Dividere \(P(x)\) per \(x-a\) significa cercare un polinomio \(Q(x)\) e una costante \(r\) tali che
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r. \]
Poiché \(x-a\) ha grado \(1\), il resto deve avere grado minore di \(1\), quindi è necessariamente una costante. La regola di Ruffini serve a determinare rapidamente il quoziente \(Q(x)\) e il resto \(r\), senza svolgere ogni volta l'intera divisione lunga tra polinomi, quando il divisore è un binomio di primo grado monico.
Idea fondamentale della regola di Ruffini
Consideriamo un polinomio di grado \(n\):
\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0, \]
con \(c_n\neq 0\). Se dividiamo \(P(x)\) per \(x-a\), il quoziente avrà grado \(n-1\). Scriviamolo nella forma
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Sostituendo l'espressione di \(Q(x)\) nella relazione \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) e sviluppando il prodotto, si ottiene:
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1} \\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots \\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Confrontando i coefficienti con quelli di \(P(x)\), si ottiene il sistema di relazioni
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{n-2}=c_{n-1}+ab_{n-1},\\ b_{n-3}=c_{n-2}+ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ b_0=c_1+ab_1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Queste relazioni sono il cuore della regola di Ruffini. Il procedimento consiste nel portare giù il primo coefficiente e poi moltiplicare ogni coefficiente ottenuto per \(a\), sommando il risultato al coefficiente successivo.
Enunciato della regola di Ruffini
Sia \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0\) un polinomio di grado \(n\). Per dividere \(P(x)\) per \(x-a\), si considerano ordinatamente i coefficienti \(c_n,\ c_{n-1},\ \ldots,\ c_1,\ c_0\) e si costruisce la successione
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{k-1}=c_k+ab_k \quad \text{per } k=n-1,n-2,\ldots,1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Allora \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), dove
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Il numero \(r\) è il resto della divisione.
Esempio di applicazione della regola di Ruffini
Dividiamo \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-5\) per \(x-2\). In questo caso \(a=2\) e i coefficienti del polinomio sono \(2,\ -3,\ 4,\ -5\). Applicando la regola:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5\\ & & 4 & 2 & 12\\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \end{array} \]
I primi tre numeri dell'ultima riga sono i coefficienti del quoziente, mentre l'ultimo è il resto. Dunque \(Q(x)=2x^2+x+6\) e \(r=7\), ovvero
\[ 2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7. \]
Dimostrazione della regola di Ruffini
La regola di Ruffini non è un trucco: è la scrittura abbreviata del confronto dei coefficienti nella divisione \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\).
Per il teorema della divisione tra polinomi esistono un unico quoziente \(Q(x)\) e un unico resto \(r\) tali che \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\). Poiché il divisore ha grado \(1\), il quoziente ha grado \(n-1\). Scriviamo quindi
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Sviluppando \((x-a)Q(x)\):
\[ \begin{aligned} (x-a)Q(x) ={}& xQ(x)-aQ(x)\\ ={}& b_{n-1}x^n+b_{n-2}x^{n-1}+\cdots+b_1x^2+b_0x\\ &-ab_{n-1}x^{n-1}-ab_{n-2}x^{n-2}-\cdots-ab_1x-ab_0. \end{aligned} \]
Sommando il resto \(r\), otteniamo
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1}\\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots\\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Poiché due polinomi sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti, confrontando con \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) si ottiene:
\[ \begin{cases} c_n=b_{n-1},\\ c_{n-1}=b_{n-2}-ab_{n-1},\\ c_{n-2}=b_{n-3}-ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ c_1=b_0-ab_1,\\ c_0=r-ab_0. \end{cases} \]
Risolvendo rispetto alle \(b_k\) si ricavano precisamente le relazioni della regola di Ruffini.
Teorema del resto
Il teorema del resto afferma che il resto della divisione di \(P(x)\) per \(x-a\) è uguale a \(P(a)\).
Dimostrazione. Da \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), ponendo \(x=a\) si ottiene \(P(a)=(a-a)Q(a)+r=r\). Dunque il resto coincide con il valore del polinomio nel punto \(a\).
Teorema del fattore
Dal teorema del resto si ottiene immediatamente il teorema del fattore: \(x-a\) divide \(P(x)\) se e solo se \(P(a)=0\).
\[ x-a \text{ divide } P(x) \quad \Longleftrightarrow \quad P(a)=0. \]
Dimostrazione. Da \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) e dal teorema del resto sappiamo che \(r=P(a)\). Se \(x-a\) divide \(P(x)\), allora \(r=0\), quindi \(P(a)=0\). Viceversa, se \(P(a)=0\), allora \(r=0\) e quindi \(P(x)=(x-a)Q(x)\), cioè \(x-a\) è un fattore di \(P(x)\). Le due implicazioni dimostrano l'equivalenza.
Uso della regola di Ruffini per scomporre un polinomio
Uno degli usi principali della regola di Ruffini consiste nella scomposizione dei polinomi. Se si trova un numero \(a\) tale che \(P(a)=0\), allora per il teorema del fattore \(x-a\) divide \(P(x)\). La regola di Ruffini permette poi di ricavare il quoziente, cioè il fattore complementare nella fattorizzazione.
Consideriamo \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). Provando \(x=2\):
\[ P(2)=8-16+2+6=0. \]
Dunque \(x-2\) è un fattore. Applichiamo Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]
Si ottiene \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\). Poiché \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\), la fattorizzazione completa è
\[ x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1). \]
Il caso dei coefficienti mancanti
Quando si applica la regola di Ruffini, è fondamentale scrivere tutti i coefficienti del polinomio, compresi quelli dei termini mancanti. Un termine mancante corrisponde a un coefficiente nullo.
Consideriamo il polinomio \(P(x)=x^4-3x^2+2x-1\). In questo polinomio manca il termine di grado \(3\). Per applicare correttamente Ruffini bisogna scrivere
\[ P(x)=x^4+0x^3-3x^2+2x-1, \]
con coefficienti \(1,\ 0,\ -3,\ 2,\ -1\). Omettere lo zero significherebbe alterare la posizione dei coefficienti e ottenere una divisione errata.
Ruffini e radici razionali
Nella pratica, la regola di Ruffini viene spesso usata insieme alla ricerca delle radici razionali di un polinomio. Se un polinomio ha coefficienti interi, le eventuali radici razionali non sono arbitrarie: sono vincolate dai coefficienti del polinomio.
In particolare, se \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) ha coefficienti interi e \(\dfrac{p}{q}\), ridotta ai minimi termini, è una radice razionale di \(P(x)\), allora \(p\) divide il termine noto \(c_0\) e \(q\) divide il coefficiente direttivo \(c_n\). Nel caso monico (\(c_n=1\)), ogni radice razionale deve essere un divisore intero del termine noto.
Dimostrazione (Criterio delle Radici Razionali). Supponiamo che \(P\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=0\), con \(p\) e \(q\) interi primi tra loro e \(q\neq 0\). Allora
\[ c_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+c_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+c_1\frac{p}{q}+c_0=0. \]
Moltiplicando per \(q^n\):
\[ c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+c_1pq^{n-1}+c_0q^n=0. \]
Portando \(c_0q^n\) al secondo membro, il membro sinistro è divisibile per \(p\), quindi anche \(c_0q^n\) lo è. Poiché \(p\) e \(q^n\) sono primi tra loro, segue che \(p\mid c_0\). Analogamente, isolando \(c_np^n\), si ottiene che \(q\mid c_n\).
Esempio Completo (Scomposizione con Ruffini). Scomponiamo \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Poiché il polinomio è monico, le eventuali radici intere sono divisori del termine noto \(-6\):
\[ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6. \]
Calcoliamo \(P(1)=1-6+11-6=0\). Quindi \(x-1\) è un fattore. Applichiamo Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6\\ & & 1 & -5 & 6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Si ottiene \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Poiché \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), la fattorizzazione completa è
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]
Ruffini non trova tutte le radici
È importante evitare un equivoco frequente: la regola di Ruffini non è un metodo universale per trovare tutte le radici di un polinomio. Essa permette di dividere un polinomio per un binomio della forma \(x-a\) e di scomporlo quando si conosce una radice \(a\), ma non consente di individuare automaticamente radici irrazionali o complesse.
Se un polinomio non ha radici razionali, la ricerca sistematica tra i divisori del termine noto non porta ad alcun risultato. Ad esempio, \(x^2+1\) non ha radici reali e non può essere scomposto in fattori lineari reali.
Divisione per \(ax+b\)
La regola di Ruffini riguarda la divisione per un binomio monico \(x-a\). Un binomio generico \(ax+b\) con \(a\neq 0\) può però essere riscritto come
\[ ax+b=a\!\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right), \]
la cui radice è \(x=-\dfrac{b}{a}\). Per verificare se \(ax+b\) divide \(P(x)\) è quindi sufficiente controllare se \(P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0\).
Bisogna però fare attenzione: dividere per \(ax+b\) non è la stessa cosa che dividere per \(x+\dfrac{b}{a}\), perché i due divisori differiscono per il fattore costante \(a\). La radice è la stessa, ma il quoziente cambia di conseguenza.
Esempio con divisore non monico
Dividiamo \(P(x)=2x^2-3x-2\) per \(2x+1\). Il divisore si annulla in \(x=-\dfrac{1}{2}\). Verifichiamo:
\[ P\!\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2=0. \]
Quindi \(2x+1\) divide \(P(x)\). Infatti \(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\). Per applicare Ruffini si passa al binomio monico \(x+\dfrac{1}{2}\): la divisione produce un quoziente diverso da quello rispetto a \(2x+1\), ma il controllo sulla divisibilità avviene nello stesso punto \(x=-\dfrac{1}{2}\).
La regola di Ruffini è molto più di una scorciatoia di calcolo. Essa nasce dalla divisione tra polinomi e riassume in forma operativa il confronto dei coefficienti nella divisione per un binomio di primo grado.
Il suo significato teorico emerge soprattutto attraverso il teorema del resto e il teorema del fattore. Dividere un polinomio per \(x-a\), calcolare \(P(a)\), stabilire se \(a\) è una radice e verificare se \(x-a\) è un fattore sono aspetti diversi della stessa struttura algebrica.
Per questo motivo, Ruffini non va ricordato soltanto come una tabella da completare, ma come un ponte tra calcolo e teoria: da un lato semplifica la divisione tra polinomi, dall'altro permette di leggere la fattorizzazione di un polinomio attraverso le sue radici.