Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti su monomi e polinomi, pensata per comprendere in modo rigoroso le strutture fondamentali dell’algebra elementare. Gli esercizi affrontano gradualmente il riconoscimento dei monomi, il calcolo del grado, le operazioni tra monomi e polinomi, i prodotti notevoli e le prime tecniche di scomposizione.
Ogni svolgimento è costruito passo dopo passo, con spiegazioni che chiariscono non soltanto i calcoli da eseguire, ma anche il motivo per cui determinate regole possono essere applicate.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la seguente espressione è un monomio:
\[ 5x^2y^3 \]
Risultato
Sì, è un monomio.
Svolgimento
Un monomio è un’espressione ottenuta come prodotto tra un coefficiente numerico e potenze di variabili aventi esponenti interi non negativi.
Nell’espressione:
\[ 5x^2y^3 \]
il coefficiente numerico è \(5\), mentre le variabili sono \(x\) e \(y\).
Gli esponenti delle variabili sono:
\[ 2 \qquad \text{e} \qquad 3. \]
Entrambi sono numeri interi non negativi. Non compaiono né radicali né esponenti negativi o frazionari.
Pertanto l’espressione soddisfa tutte le condizioni richieste per essere un monomio.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se:
\[ \frac{3}{x} \]
è un monomio.
Risultato
No, non è un monomio.
Svolgimento
Per verificare se un’espressione è un monomio conviene riscriverla utilizzando le proprietà delle potenze.
Si osserva infatti che:
\[ \frac{3}{x}=3x^{-1}. \]
Compare quindi la potenza:
\[ x^{-1}, \]
il cui esponente è negativo.
Un monomio può contenere soltanto esponenti interi non negativi. La presenza di un esponente negativo viola dunque la definizione stessa di monomio.
Per questo motivo:
\[ \frac{3}{x} \]
non è un monomio.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Determinare il grado del monomio:
\[ -7x^3y^2z \]
Risultato
Il grado del monomio è \(6\).
Svolgimento
Il grado totale di un monomio non nullo si ottiene sommando gli esponenti di tutte le variabili presenti nella parte letterale.
Nel monomio:
\[ -7x^3y^2z \]
le variabili compaiono con i seguenti esponenti:
\[ x^3, \qquad y^2, \qquad z^1. \]
L’esponente della variabile \(z\) è implicitamente \(1\), poiché:
\[ z=z^1. \]
Si sommano quindi gli esponenti:
\[ 3+2+1=6. \]
Il monomio ha dunque grado totale:
\[ 6. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se i seguenti monomi sono simili:
\[ 4x^2y^3 \qquad \text{e} \qquad -9x^2y^3 \]
Risultato
Sì, i due monomi sono simili.
Svolgimento
Due monomi si dicono simili quando possiedono esattamente la stessa parte letterale. Ciò significa che devono comparire le stesse variabili con gli stessi esponenti.
Nel primo monomio la parte letterale è:
\[ x^2y^3. \]
Nel secondo monomio compare esattamente la stessa parte letterale:
\[ x^2y^3. \]
Cambiano soltanto i coefficienti numerici, che sono rispettivamente:
\[ 4 \qquad \text{e} \qquad -9. \]
Poiché la parte letterale coincide perfettamente, i due monomi sono simili.
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4) \]
Risultato
\[ -10x^5y^5 \]
Svolgimento
Nel prodotto tra monomi si moltiplicano dapprima i coefficienti numerici e successivamente si applicano le proprietà delle potenze alle variabili uguali.
Si calcolano quindi i coefficienti:
\[ 2\cdot(-5)=-10. \]
Per le variabili si utilizza la proprietà :
\[ x^a\cdot x^b=x^{a+b}. \]
Per la variabile \(x\) si ottiene:
\[ x^3\cdot x^2=x^{3+2}=x^5. \]
Per la variabile \(y\):
\[ y\cdot y^4=y^{1+4}=y^5. \]
Unendo tutti i fattori:
\[ (2x^3y)(-5x^2y^4)=-10x^5y^5. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y} \]
Risultato
\[ 4x^3y^2 \]
Svolgimento
Nella divisione tra monomi si dividono prima i coefficienti numerici e poi si applica la proprietà delle potenze:
\[ \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}. \]
Si inizia dai coefficienti:
\[ \frac{12}{3}=4. \]
Per la variabile \(x\):
\[ \frac{x^5}{x^2}=x^{5-2}=x^3. \]
Per la variabile \(y\):
\[ \frac{y^3}{y}=y^{3-1}=y^2. \]
Tutti gli esponenti ottenuti restano non negativi, quindi il risultato è ancora un monomio.
Si ottiene così:
\[ \frac{12x^5y^3}{3x^2y}=4x^3y^2. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Ridurre il seguente polinomio:
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-1 \]
Risultato
\[ 5x^2-x+6 \]
Svolgimento
Ridurre un polinomio significa sommare tra loro i termini simili, cioè quelli che possiedono la stessa parte letterale.
Si osserva che:
\[ 3x^2 \qquad \text{e} \qquad 2x^2 \]
sono termini simili, perché entrambi contengono \(x^2\). La loro somma è:
\[ 3x^2+2x^2=5x^2. \]
Anche:
\[ -5x \qquad \text{e} \qquad 4x \]
sono termini simili. Sommando i coefficienti si ottiene:
\[ -5x+4x=-x. \]
Infine si sommano i termini costanti:
\[ 7-1=6. \]
Il polinomio ridotto è quindi:
\[ 5x^2-x+6. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Determinare il grado del polinomio:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
Risultato
Il grado del polinomio è \(5\).
Svolgimento
Il grado di un polinomio non nullo coincide con il massimo grado dei monomi che lo compongono.
Nel polinomio:
\[ 4x^5-2x^3+x-9 \]
il termine di grado più elevato è:
\[ 4x^5, \]
poiché contiene la potenza \(x^5\).
Gli altri termini hanno grado inferiore:
\[ -2x^3 \]
ha grado \(3\),
\[ x \]
ha grado \(1\), mentre:
\[ -9 \]
è un termine costante e quindi ha grado \(0\).
Il grado massimo presente è dunque:
\[ 5. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Sviluppare:
\[ (x+3)(x+5) \]
Risultato
\[ x^2+8x+15 \]
Svolgimento
Per sviluppare il prodotto di due binomi si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Si moltiplica quindi ogni termine del primo binomio per ciascun termine del secondo:
\[ (x+3)(x+5)=x(x+5)+3(x+5). \]
Si eseguono ora i prodotti:
\[ x(x+5)=x^2+5x, \]
e:
\[ 3(x+5)=3x+15. \]
Sommando i risultati:
\[ x^2+5x+3x+15. \]
I termini:
\[ 5x \qquad \text{e} \qquad 3x \]
sono simili e possono essere sommati:
\[ 5x+3x=8x. \]
Si ottiene così:
\[ (x+3)(x+5)=x^2+8x+15. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Sviluppare:
\[ (2x-1)(x+4) \]
Risultato
\[ 2x^2+7x-4 \]
Svolgimento
Anche in questo caso si utilizza la proprietà distributiva.
Si moltiplica ogni termine del primo binomio per ogni termine del secondo:
\[ (2x-1)(x+4)=2x(x+4)-1(x+4). \]
Si sviluppano ora i prodotti:
\[ 2x(x+4)=2x^2+8x, \]
mentre:
\[ -1(x+4)=-x-4. \]
Sommando tutto:
\[ 2x^2+8x-x-4. \]
I termini:
\[ 8x \qquad \text{e} \qquad -x \]
sono simili. La loro somma è:
\[ 8x-x=7x. \]
Il risultato finale è quindi:
\[ 2x^2+7x-4. \]
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Sviluppare:
\[ (x+2)^2 \]
Risultato
\[ x^2+4x+4 \]
Svolgimento
L’espressione:
\[ (x+2)^2 \]
rappresenta il quadrato di un binomio.
È importante ricordare che il quadrato di una somma non si ottiene elevando semplicemente al quadrato ciascun termine. Vale infatti la formula:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]
Nel nostro caso:
\[ a=x, \qquad b=2. \]
Sostituendo nella formula:
\[ (x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2. \]
Si calcolano ora i singoli termini:
\[ 2\cdot x\cdot2=4x, \]
e:
\[ 2^2=4. \]
Si ottiene quindi:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Sviluppare:
\[ (x-5)^2 \]
Risultato
\[ x^2-10x+25 \]
Svolgimento
L’espressione:
\[ (x-5)^2 \]
è il quadrato di una differenza.
Si applica quindi la formula:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
In questo caso:
\[ a=x, \qquad b=5. \]
Sostituendo:
\[ (x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2. \]
Si eseguono ora i calcoli:
\[ 2\cdot x\cdot5=10x, \]
e:
\[ 5^2=25. \]
Pertanto:
\[ (x-5)^2=x^2-10x+25. \]
Esercizio 13 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ (x+3)(x-3) \]
Risultato
\[ x^2-9 \]
Svolgimento
Il prodotto:
\[ (x+3)(x-3) \]
è formato dalla somma e dalla differenza degli stessi due termini.
In questi casi si applica il prodotto notevole chiamato differenza di quadrati:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Nel nostro caso:
\[ a=x, \qquad b=3. \]
Applicando direttamente la formula:
\[ (x+3)(x-3)=x^2-3^2. \]
Poiché:
\[ 3^2=9, \]
si ottiene:
\[ x^2-9. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Sviluppare:
\[ (2x-3)^2 \]
Risultato
\[ 4x^2-12x+9 \]
Svolgimento
Anche questa espressione rappresenta il quadrato di una differenza.
Si applica quindi:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
In questo caso:
\[ a=2x, \qquad b=3. \]
Sostituendo:
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2(2x)(3)+3^2. \]
Si calcolano ora i vari termini.
Il quadrato del primo termine è:
\[ (2x)^2=4x^2. \]
Il doppio prodotto vale:
\[ 2(2x)(3)=12x. \]
Infine:
\[ 3^2=9. \]
Pertanto:
\[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \]
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Determinare il valore numerico del polinomio:
\[ P(x)=2x^2-3x+1 \]
per:
\[ x=4. \]
Risultato
\[ 21 \]
Svolgimento
Calcolare il valore numerico di un polinomio significa sostituire alla variabile il numero assegnato.
Si sostituisce quindi:
\[ x=4 \]
nell’espressione:
\[ P(x)=2x^2-3x+1. \]
Si ottiene:
\[ P(4)=2\cdot4^2-3\cdot4+1. \]
Si calcola dapprima la potenza:
\[ 4^2=16. \]
Pertanto:
\[ P(4)=2\cdot16-12+1. \]
Si eseguono ora le operazioni:
\[ 2\cdot16=32, \]
e quindi:
\[ 32-12+1=21. \]
Il valore numerico richiesto è dunque:
\[ 21. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Determinare gli zeri del polinomio:
\[ x^2-7x+12 \]
Risultato
\[ x=3, \qquad x=4 \]
Svolgimento
Determinare gli zeri di un polinomio significa trovare i valori della variabile che annullano il polinomio stesso.
Occorre quindi risolvere l’equazione:
\[ x^2-7x+12=0. \]
Si cerca una scomposizione del trinomio nella forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Sviluppando il prodotto si ottiene:
\[ x^2-(a+b)x+ab. \]
Confrontando con:
\[ x^2-7x+12, \]
bisogna trovare due numeri tali che:
\[ a+b=7 \]
e contemporaneamente:
\[ ab=12. \]
I numeri che soddisfano entrambe le condizioni sono:
\[ 3 \qquad \text{e} \qquad 4. \]
Pertanto:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Si ottiene quindi:
\[ x-3=0 \qquad \text{oppure} \qquad x-4=0. \]
Le soluzioni sono:
\[ x=3, \qquad x=4. \]
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Verificare se:
\[ x=2 \]
è uno zero del polinomio:
\[ P(x)=x^3-4x^2+x+6. \]
Risultato
Sì, \(2\) è uno zero del polinomio.
Svolgimento
Un numero reale è uno zero di un polinomio se, sostituendolo alla variabile, il valore del polinomio risulta uguale a zero.
Occorre quindi calcolare:
\[ P(2). \]
Si sostituisce \(x=2\):
\[ P(2)=2^3-4\cdot2^2+2+6. \]
Si eseguono ora le potenze:
\[ 2^3=8, \qquad 2^2=4. \]
Pertanto:
\[ P(2)=8-4\cdot4+2+6. \]
Si calcola il prodotto:
\[ 4\cdot4=16. \]
Si ottiene quindi:
\[ P(2)=8-16+2+6. \]
Sommando:
\[ 8-16=-8, \]
e successivamente:
\[ -8+2+6=0. \]
Poiché:
\[ P(2)=0, \]
il numero \(2\) è effettivamente uno zero del polinomio.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Eseguire la divisione mediante Ruffini:
\[ x^3-6x^2+11x-6 \]
diviso per:
\[ x-1. \]
Risultato
Quoziente:
\[ x^2-5x+6 \]
Resto:
\[ 0 \]
Svolgimento
Nella regola di Ruffini si utilizza il valore:
\[ r=1, \]
poiché il divisore è:
\[ x-1. \]
Si scrivono i coefficienti del polinomio:
\[ 1, \qquad -6, \qquad 11, \qquad -6. \]
Si costruisce quindi lo schema di Ruffini:
\[ \begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Il numero finale ottenuto è:
\[ 0, \]
che rappresenta il resto della divisione.
I coefficienti:
\[ 1, \qquad -5, \qquad 6 \]
formano invece il polinomio quoziente:
\[ x^2-5x+6. \]
Pertanto:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Scomporre:
\[ x^2-9x+20 \]
Risultato
\[ (x-4)(x-5) \]
Svolgimento
Si vuole scrivere il trinomio nella forma:
\[ (x-a)(x-b). \]
Sviluppando il prodotto:
\[ (x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab. \]
Confrontando con:
\[ x^2-9x+20, \]
occorre trovare due numeri tali che:
\[ a+b=9 \]
e:
\[ ab=20. \]
I numeri richiesti sono:
\[ 4 \qquad \text{e} \qquad 5. \]
Si ottiene quindi:
\[ x^2-9x+20=(x-4)(x-5). \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Scomporre completamente:
\[ x^3-6x^2+11x-6. \]
Risultato
\[ (x-1)(x-2)(x-3) \]
Svolgimento
Si cercano anzitutto eventuali zeri interi del polinomio.
Poiché il termine noto è:
\[ -6, \]
i possibili zeri interi devono appartenere all’insieme dei divisori di \(6\):
\[ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6. \]
Si verifica che:
\[ P(1)=0. \]
Ciò significa che:
\[ x-1 \]
è un fattore del polinomio.
Applicando la regola di Ruffini si ottiene:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6). \]
Rimane ora da scomporre il trinomio:
\[ x^2-5x+6. \]
Si cercano due numeri con somma \(5\) e prodotto \(6\). Tali numeri sono:
\[ 2 \qquad \text{e} \qquad 3. \]
Pertanto:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La scomposizione completa del polinomio è dunque:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]