Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle disequazioni logaritmiche, pensata per imparare a gestire correttamente dominio, monotonia della funzione logaritmica, cambio di verso e intersezione finale con le condizioni di esistenza.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[\log_2(x-1)>3\]
Risultato
\[(9,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. Il logaritmo è definito solo se l’argomento è positivo:
\(x - 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > 1\).
Quindi il dominio è \(\mathcal{D} = (1, +\infty)\).
La base è \(2 > 1\), perciò la funzione logaritmica è crescente. Il verso della disequazione rimane uguale:
\(\log_2(x-1) > 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x > 9\).
Intersezione con il dominio: \(x > 9\) è già incluso in \(x > 1\), quindi la soluzione è \((9, +\infty)\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[\log_3(2x+1)\leq 2\]
Risultato
\[\left(-\frac{1}{2},4\right]\]
Svolgimento
Dominio. L’argomento deve essere positivo:
\(2x + 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -\frac{1}{2}\).
Quindi \(\mathcal{D} = \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
Base \(3 > 1\), dunque funzione crescente, verso conservato:
\(\log_3(2x+1) \leq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x+1 \leq 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x \leq 8 \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4\).
Intersezione con il dominio: \(x > -\frac{1}{2}\) e \(x \leq 4\), cioè \(\left(-\frac{1}{2}, 4\right]\).
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[\log_{1/2}(x+4)>-1\]
Risultato
\[(-4,-2)\]
Svolgimento
Dominio. \(x + 4 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x > -4\).
Quindi \(\mathcal{D} = (-4, +\infty)\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), dunque funzione decrescente, il verso della disequazione si inverte:
\(\log_{1/2}(x+4) > -1 \quad \Longleftrightarrow \quad x+4 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \quad \Longrightarrow \quad x < -2\).
Intersezione con il dominio: \(-4 < x < -2\), cioè \((-4, -2)\).
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[\log_{1/3}(5-x)\leq 1\]
Risultato
\[\left(-\infty,\frac{14}{3}\right]\]
Svolgimento
Dominio. \(5 - x > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 5\).
Base \(\frac{1}{3} < 1\), dunque decrescente, verso invertito:
\(\log_{1/3}(5-x) \leq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 5-x \geq \frac{1}{3}\).
\(-x \geq \frac{1}{3} - 5 = -\frac{14}{3}\). Moltiplicando per -1 (cambio verso): \(x \leq \frac{14}{3}\).
Intersezione con dominio: \(\left(-\infty, \frac{14}{3}\right]\).
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[\log_2(x-1)+\log_2(x-3)>3\]
Risultato
\[(5,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. Entrambi gli argomenti positivi: \(x-1>0\) e \(x-3>0\) quindi \(x>3\).
Proprietà del prodotto: \(\log_2[(x-1)(x-3)] > 3\).
Base 2>1: \((x-1)(x-3) > 8 \iff x^2 - 4x - 5 > 0 \iff (x-5)(x+1) > 0\).
Soluzioni: \(x < -1\) oppure \(x > 5\).
Intersezione con dominio (\(x>3\)): \((5, +\infty)\).
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[\log_3(x+2)-\log_3(x-1)<1\]
Risultato
\[\left(\frac{5}{2},+\infty\right)\]
Svolgimento
Dominio. \(x+2>0\) e \(x-1>0\) quindi \(x>1\).
Proprietà del quoziente: \(\log_3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) < 1\).
Base 3>1: \(\frac{x+2}{x-1} < 3\).
Poiché \(x-1>0\), moltiplichiamo senza cambiare verso: \(x+2 < 3(x-1) \iff x > \frac{5}{2}\).
Intersezione con dominio: \(\left(\frac{5}{2}, +\infty\right)\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[\log_5(2x+1)\geq \log_5(x+4)\]
Risultato
\[[3,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. \(x > -\frac{1}{2}\).
Base 5>1, crescente: \(2x+1 \geq x+4 \iff x \geq 3\).
Intersezione con dominio: \([3, +\infty)\).
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[\log_{1/2}(x+5) < \log_{1/2}(3x-1)\]
Risultato
\[\left(\frac{1}{3},3\right)\]
Svolgimento
Dominio. \(x+5>0\) e \(3x-1>0\) quindi \(x > \frac{1}{3}\).
Base \(\frac12 < 1\), decrescente: verso invertito.
\(x+5 > 3x-1 \iff 6 > 2x \iff x < 3\).
Intersezione con dominio: \(\left(\frac{1}{3}, 3\right)\).
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[\log_2 x + \log_4 x \geq 6\]
Risultato
\[[16,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. \(x > 0\).
\(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}\). Posto \(t = \log_2 x\):
\(t + \frac{t}{2} \geq 6 \iff \frac{3t}{2} \geq 6 \iff t \geq 4 \iff x \geq 16\).
Intersezione con dominio: \([16, +\infty)\).
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[\log_3 x - \log_9 x < 2\]
Risultato
\[(0,81)\]
Svolgimento
Dominio. \(x > 0\).
\(\log_9 x = \frac{\log_3 x}{2}\). Posto \(t = \log_3 x\):
\(t - \frac{t}{2} < 2 \iff \frac{t}{2} < 2 \iff t < 4 \iff x < 81\).
Intersezione: \((0, 81)\).
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 \leq 0\]
Risultato
\[[4,8]\]
Svolgimento
Dominio. \(x > 0\).
Posto \(t = \log_2 x\): \(t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3) \leq 0\).
Il prodotto è negativo o nullo tra le radici: \(2 \leq t \leq 3\).
Quindi \(4 \leq x \leq 8\).
Intersezione con dominio: \([4, 8]\).
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[(\log_3 x)^2 - 1 > 0\]
Risultato
\[\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. \(x > 0\).
Posto \(t = \log_3 x\): \(t^2 - 1 > 0 \iff (t-1)(t+1) > 0\).
Soluzioni: \(t < -1\) o \(t > 1\).
Quindi \(x < \frac{1}{3}\) oppure \(x > 3\).
Intersezione con dominio: \(\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(3,+\infty)\).
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 2 \geq 0\]
Risultato
\[\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. \(x > 0\).
Posto \(t = \log_2 x\): \(2t^2 - 3t - 2 = (2t+1)(t-2) \geq 0\).
Soluzioni: \(t \leq -\frac{1}{2}\) oppure \(t \geq 2\).
Quindi \(x \leq 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) oppure \(x \geq 4\).
Intersezione con dominio: \(\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\cup[4,+\infty)\).
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[\log_2(x^2-5x+6)\geq 1\]
Risultato
\[(-\infty,1]\cup[4,+\infty)\]
Svolgimento
Dominio. \(x^2-5x+6 > 0 \iff (x-2)(x-3)>0 \iff (-\infty,2)\cup(3,+\infty)\).
Base 2>1: \(x^2-5x+6 \geq 2 \iff x^2-5x+4 \geq 0 \iff (x-1)(x-4)\geq 0\).
Soluzioni: \(x\leq 1\) oppure \(x\geq 4\).
Intersezione con dominio: \((-\infty,1]\cup[4,+\infty)\).
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[\log_3(x^2-4)<2\]
Risultato
\[(-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\]
Svolgimento
Dominio. \(x^2-4 > 0 \iff (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\).
Base 3>1: \(x^2-4 < 9 \iff x^2 < 13 \iff -\sqrt{13} < x < \sqrt{13}\).
Intersezione con dominio: \((-\sqrt{13},-2)\cup(2,\sqrt{13})\).
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[\log_2(x+1)+\log_2(x-2)\leq \log_2(2x+3)\]
Risultato
\[\left(2,\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\]
Svolgimento
Dominio. \(x+1>0\), \(x-2>0\), \(2x+3>0\), dunque la condizione più restrittiva è \(x>2\).
Proprietà del prodotto: \(\log_2[(x+1)(x-2)] \leq \log_2(2x+3)\).
Base 2>1: \((x+1)(x-2) \leq 2x+3 \iff x^2 - 3x - 5 \leq 0\).
Radici: \(\frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\). Soluzione tra le radici.
Intersezione con \(x>2\): \(\left(2, \frac{3+\sqrt{29}}{2}\right]\).
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[\log_{1/2}(x^2-1)\geq -2\]
Risultato
\[[-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\]
Svolgimento
Dominio. \(x^2-1 > 0 \iff x \in (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\).
Base \(\frac{1}{2} < 1\), funzione decrescente, verso invertito:
\[x^2-1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \iff x^2 \leq 5 \iff -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]
Intersezione con il dominio: i valori \(\pm 1\) sono esclusi perché l'argomento si annulla, mentre \(x = -\sqrt{5}\) e \(x = \sqrt{5}\) appartengono al dominio (l'argomento vale 4) e soddisfano la disequazione con uguaglianza. L'insieme delle soluzioni è quindi \([-\sqrt{5},-1)\cup(1,\sqrt{5}]\).
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[\log_2(x-1)<\log_4(3x+1)\]
Risultato
\[(1,5)\]
Svolgimento
Dominio. \(x>1\).
\(\log_4(3x+1) = \frac{1}{2}\log_2(3x+1)\).
Si arriva a: \((x-1)^2 < 3x+1 \iff x^2 - 5x < 0 \iff x(x-5) < 0 \iff 0 < x < 5\).
Intersezione con dominio: \((1,5)\).
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[\log_3(x+1)+\log_3(5-x)\geq 1\]
Risultato
\[[2-\sqrt{6},\ 2+\sqrt{6}]\]
Svolgimento
Dominio. \(-1 < x < 5\).
Proprietà del prodotto: \(\log_3[(x+1)(5-x)] \geq 1 \iff (x+1)(5-x) \geq 3\).
\(-x^2 + 4x + 2 \geq 0 \iff x^2 - 4x - 2 \leq 0\).
Radici: \(2 \pm \sqrt{6}\). Soluzione tra le radici, interamente contenuta nel dominio.
Quindi \([2-\sqrt{6}, 2+\sqrt{6}]\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[\log_2(x^2-4x+3)\leq \log_2(2x+3)\]
Risultato
\[[0,1)\cup(3,6]\]
Svolgimento
Dominio. \(x^2-4x+3 > 0\) e \(2x+3 > 0\) \(\implies\) \(\left(-\frac{3}{2},1\right)\cup(3,+\infty)\).
Base 2>1: \(x^2-4x+3 \leq 2x+3 \iff x^2-6x \leq 0 \iff x(x-6)\leq 0\).
Soluzione: \(0 \leq x \leq 6\).
Intersezione con il dominio: \([0,1)\cup(3,6]\).