Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sul prodotto cartesiano, sviluppati con rigore teorico e attenzione alla comprensione concettuale. Gli esercizi guidano dalla costruzione delle coppie ordinate fino allo studio di sottoinsiemi, relazioni e interpretazioni geometriche nel piano.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Siano \( A = \{1,2\} \) e \( B = \{a,b\} \). Determinare il prodotto cartesiano \( A \times B \).
Risultato
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \]
Svolgimento
Definizione formale
\[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A,\ y \in B\} \]
Interpretazione
Ogni elemento di \(A\) viene associato a tutti gli elementi di \(B\). Il processo è completo quando sono state generate tutte le combinazioni possibili.
Costruzione
Con \(1\):
\[(1,a),(1,b)\]
Con \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Conclusione
L’insieme finale è l’unione di tutte le coppie costruite.
Osservazione
L’ordine è fondamentale: \((1,a)\neq(a,1)\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Siano \( A = \{0,1\} \) e \( B = \{2,3,4\} \). Determinare \( A \times B \) e la sua cardinalità.
Risultato
\[ A \times B = \{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \]
\[ |A \times B| = 6 \]
Svolgimento
Struttura del problema
Ogni elemento di \(A\) genera un “blocco” di coppie con tutti gli elementi di \(B\).
Costruzione
Con \(0\):
\[(0,2),(0,3),(0,4)\]
Con \(1\):
\[(1,2),(1,3),(1,4)\]
Cardinalità
\[ |A \times B| = |A|\cdot|B| = 2\cdot3 = 6 \]
Interpretazione
Il prodotto cartesiano crea una struttura “a griglia”: ogni scelta della prima coordinata è indipendente dalla seconda.
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{-1,1\} \) e \( B = \{0,2\} \). Determinare \( A \times B \) e interpretarlo nel piano cartesiano.
Risultato
\[ A \times B = \{(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)\} \]
Svolgimento
Costruzione
Con \(-1\):
\[(-1,0),(-1,2)\]
Con \(1\):
\[(1,0),(1,2)\]
Interpretazione geometrica
Le coppie rappresentano punti nel piano. L’insieme forma i vertici di un rettangolo.
Osservazione fondamentale
\[ A \times B \neq B \times A \]
Cambiando l’ordine degli insiemi si ottengono punti diversi.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{x\} \). Determinare \( A \times B \).
Risultato
\[ A \times B = \{(1,x),(2,x),(3,x)\} \]
Svolgimento
Analisi
L’insieme \(B\) contiene un solo elemento: questo vincola la seconda coordinata.
Costruzione
\[ (1,x),(2,x),(3,x) \]
Interpretazione
Tutte le coppie hanno la stessa seconda coordinata.
Cardinalità
\[ |A \times B| = 3 \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{a,b\} \) e \( B = \varnothing \). Determinare \( A \times B \).
Risultato
\[ A \times B = \varnothing \]
Svolgimento
Definizione
Serve un elemento \(y \in B\) per costruire una coppia.
Osservazione
\(B\) è vuoto, nessuna scelta possibile.
Conclusione
Non esistono coppie:
\[ A \times B = \varnothing \]
Proprietà generale
\[ A \times \varnothing = \varnothing \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{a,b\} \). Determinare il sottoinsieme di \( A \times B \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x > 1\} \]
Risultato
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Svolgimento
Comprensione della condizione
La condizione \(x > 1\) seleziona solo alcuni elementi di \(A\).
Selezione
\[ A = \{1,2,3\} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x \in \{2,3\} \]
Costruzione
Con \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Con \(3\):
\[(3,a),(3,b)\]
Interpretazione
Il vincolo agisce solo sulla prima coordinata, dunque si selezionano intere “colonne”.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x = y\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Svolgimento
Significato della condizione
La relazione \(x = y\) impone che le due coordinate coincidano.
Verifica elemento per elemento
Possibili coppie:
\((1,1)\) ✔
\((1,2)\) ✘
\((2,1)\) ✘
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✘
\((3,2)\) ✘
Conclusione
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Osservazione
Non compare \((3,3)\) perché \(3 \notin B\).
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ A \times A \]
Risultato
\[ A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Svolgimento
Struttura
Si tratta del prodotto di un insieme con sé stesso.
Costruzione
Con \(1\):
\[(1,1),(1,2),(1,3)\]
Con \(2\):
\[(2,1),(2,2),(2,3)\]
Con \(3\):
\[(3,1),(3,2),(3,3)\]
Cardinalità
\[ |A \times A| = |A|^2 = 3^2 = 9 \]
Interpretazione
Si ottiene una griglia quadrata: ogni elemento è combinato anche con sé stesso.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \]
Svolgimento
Significato della condizione
La relazione \(x < y\) seleziona solo le coppie in cui la prima coordinata è minore della seconda.
Analisi sistematica
Verifichiamo:
\((1,2)\) ✔
\((1,3)\) ✔
\((2,3)\) ✔
tutte le altre coppie ✘
Interpretazione geometrica
I punti selezionati stanno sopra la diagonale \(x=y\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2\} \), \( B = \{a,b\} \), \( C = \{0,1\} \). Determinare:
\[ A \times B \times C \]
Risultato
\[ \begin{aligned} A \times B \times C = \{ & (1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1), \\ & (2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1) \} \end{aligned} \]
Svolgimento
Definizione
\[ A \times B \times C = \{(x,y,z) \mid x \in A,\ y \in B,\ z \in C\} \]
Strategia
Costruiamo prima \(A \times B\), poi aggiungiamo la terza coordinata.
Costruzione
Ogni coppia di \(A \times B\) genera due triple (con 0 e 1).
Cardinalità
\[ |A \times B \times C| = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Interpretazione
Si tratta di un prodotto cartesiano a tre fattori: ogni elemento è una tripla ordinata.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2,3\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x \ge y\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Svolgimento
Interpretazione della condizione
La relazione \(x \ge y\) seleziona tutte le coppie in cui la prima coordinata è maggiore o uguale alla seconda.
Analisi sistematica
\((1,1)\) ✔
\((2,1)\),\((2,2)\) ✔
\((3,1)\),\((3,2)\),\((3,3)\) ✔
Interpretazione geometrica
Si ottiene la parte del piano sotto (e inclusa) la diagonale.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Siano \( A = \{1,2,3,4\} \) e \( B = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x + y = 4\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
Svolgimento
Significato della condizione
La relazione impone un vincolo tra le due coordinate: la loro somma deve essere 4.
Verifica
\((1,3)\) ✔
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✔
tutte le altre coppie ✘
Interpretazione geometrica
I punti selezionati giacciono su una retta discreta: \(x + y = 4\).
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x \neq y\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \]
Svolgimento
Interpretazione
La condizione elimina tutte le coppie con coordinate uguali.
Costruzione
Partiamo da \(A \times A\) (9 elementi) e rimuoviamo:
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \]
Conclusione
Restano 6 coppie.
Osservazione
\[ |S| = |A|^2 - |A| = 3^2 - 3 = 6 \]
Questo tipo di insieme è fondamentale nello studio delle relazioni.
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Siano \( A = \mathbb{N} \), \( B = \mathbb{N} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid y = 2x\} \]
Risultato
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\} \]
Svolgimento
Analisi
L’insieme è infinito: si tratta di tutte le coppie che soddisfano \(y = 2x\).
Costruzione
Per ogni \(x \in \mathbb{N}\), esiste un unico \(y = 2x\).
Interpretazione
L’insieme rappresenta una retta discreta nel piano cartesiano.
Osservazione
Non è tutto \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), ma solo una “linea” al suo interno.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Determinare il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\} \]
Risultato
\[ S = \text{insieme dei punti della parabola } y = x^2 \]
Svolgimento
Interpretazione
L’insieme contiene tutte le coppie reali che soddisfano la relazione \(y = x^2\).
Struttura
Non è un insieme discreto, ma continuo.
Significato geometrico
Rappresenta una parabola nel piano cartesiano.
Osservazione fondamentale
Il prodotto cartesiano \( \mathbb{R}^2 \) è il piano intero, mentre \(S\) è solo una curva al suo interno.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x + y \text{ è pari}\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\} \]
Svolgimento
Analisi della condizione
La somma è pari quando:
- pari + pari
- dispari + dispari
Classificazione
\(1,3\) dispari — \(2\) pari.
Costruzione
\[ (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2) \]
Interpretazione
Si ottiene una struttura regolare (tipo scacchiera), fondamentale nello studio delle relazioni.
Esercizio 17 — livello ★★★★★
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare se la relazione:
\[ R = \{(x,y) \in A \times A \mid x \le y\} \]
è riflessiva, simmetrica, transitiva.
Risultato
Riflessiva ✔ — Simmetrica ✘ — Transitiva ✔
Svolgimento
Riflessività
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \in R \]
✔ proprietà soddisfatta
Simmetria
Se \((1,2) \in R\), allora dovrebbe esserci \((2,1)\), ma:
\[ 2 \le 1 \text{ è falso} \]
✘ non simmetrica
Transitività
Se \(x \le y\) e \(y \le z\), allora \(x \le z\).
✔ proprietà soddisfatta
Interpretazione
Si tratta della relazione d’ordine naturale.
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Determinare il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\} \]
Risultato
\[ S = \text{iperbole } xy = 1 \]
Svolgimento
Analisi
La relazione collega le due variabili in modo non lineare.
Costruzione
\[ y = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \]
Interpretazione geometrica
Si ottiene un’iperbole con due rami.
Osservazione
Il prodotto cartesiano contiene tutto il piano, ma questa relazione seleziona una curva.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Sia \( A = \{1,2,3\} \). Determinare:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid |x - y| = 1\} \]
Risultato
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\} \]
Svolgimento
Interpretazione
La condizione seleziona coppie con distanza 1.
Costruzione
\((1,2)\),\((2,1)\)
\((2,3)\),\((3,2)\)
Osservazione
La relazione è simmetrica.
Interpretazione grafica
Si ottengono due diagonali parallele alla principale.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Determinare il sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) definito da:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\} \]
Risultato
\[ S = \text{regione sopra la parabola } y = x^2 \text{, parabola inclusa} \]
Svolgimento
Interpretazione
La relazione non seleziona solo una curva, ma una regione del piano.
Struttura
\[ y \ge x^2 \]
include tutti i punti sopra la parabola e i punti della parabola stessa.
Significato geometrico
Si ottiene una regione infinita continua.
Osservazione finale
Questo esempio mostra che un sottoinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) può essere:
- discreto
- curva
- regione