Una raccolta progressiva di esercizi risolti passo passo per imparare a trasformare correttamente le equazioni con modulo, distinguere i casi necessari e verificare le soluzioni ottenute.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
\[ |x|=7 \]
Risultato
\[ x=-7 \quad \text{oppure} \quad x=7 \]
Svolgimento
Se il valore assoluto di un numero è uguale a \(7\), allora il numero può essere \(7\) oppure \(-7\).
\[ |x|=7 \iff x=7 \quad \text{oppure} \quad x=-7 \]
Quindi: \[ \boxed{x=-7 \quad \text{oppure} \quad x=7} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
\[ |x-3|=5 \]
Risultato
\[ x=-2 \quad \text{oppure} \quad x=8 \]
Svolgimento
Usiamo la proprietà: \[ |A|=k \iff A=k \quad \text{oppure} \quad A=-k \] con \(k\ge 0\).
Quindi: \[ x-3=5 \quad \text{oppure} \quad x-3=-5 \]
Risolviamo la prima equazione: \[ x-3=5 \Rightarrow x=8 \]
Risolviamo la seconda: \[ x-3=-5 \Rightarrow x=-2 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{oppure} \quad x=8} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
\[ |2x-1|=9 \]
Risultato
\[ x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=5 \]
Svolgimento
Il valore assoluto è uguale a \(9\), quindi l'espressione interna può valere \(9\) oppure \(-9\).
\[ 2x-1=9 \quad \text{oppure} \quad 2x-1=-9 \]
Primo caso: \[ 2x-1=9 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5 \]
Secondo caso: \[ 2x-1=-9 \Rightarrow 2x=-8 \Rightarrow x=-4 \]
Quindi: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=5} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ |x+2|=0 \]
Risultato
\[ x=-2 \]
Svolgimento
Un valore assoluto è uguale a zero solo quando l'espressione al suo interno è uguale a zero.
\[ |x+2|=0 \iff x+2=0 \]
Risolviamo: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Quindi: \[ \boxed{x=-2} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
\[ |3x+6|=12 \]
Risultato
\[ x=-6 \quad \text{oppure} \quad x=2 \]
Svolgimento
L'espressione dentro il valore assoluto può essere uguale a \(12\) oppure a \(-12\).
\[ 3x+6=12 \quad \text{oppure} \quad 3x+6=-12 \]
Primo caso: \[ 3x+6=12 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \]
Secondo caso: \[ 3x+6=-12 \Rightarrow 3x=-18 \Rightarrow x=-6 \]
Quindi: \[ \boxed{x=-6 \quad \text{oppure} \quad x=2} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
\[ |x-4|=-3 \]
Risultato
\[ \varnothing \]
Svolgimento
Il valore assoluto di un'espressione è sempre maggiore o uguale a zero: \[ |x-4|\ge 0 \]
Per questo motivo non può mai essere uguale a un numero negativo.
Poiché: \[ -3<0 \] l'equazione è impossibile.
Quindi: \[ \boxed{\varnothing} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
\[ |x-1|=x+3 \]
Risultato
\[ x=-1 \]
Svolgimento
Il secondo membro deve essere non negativo: \[ x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3 \]
Risolviamo distinguendo i due casi del valore assoluto.
Primo caso: \[ x-1=x+3 \] \[ -1=3 \] impossibile.
Secondo caso: \[ -(x-1)=x+3 \] \[ -x+1=x+3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \]
La soluzione trovata rispetta la condizione \(x\ge -3\), quindi è accettabile.
Pertanto: \[ \boxed{x=-1} \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
\[ |2x-5|=x+1 \]
Risultato
\[ x=\frac{4}{3} \quad \text{oppure} \quad x=6 \]
Svolgimento
Prima imponiamo che il secondo membro sia non negativo: \[ x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1 \]
Poi risolviamo i due casi.
Primo caso: \[ 2x-5=x+1 \] \[ x=6 \]
Secondo caso: \[ -(2x-5)=x+1 \] \[ -2x+5=x+1 \] \[ -3x=-4 \] \[ x=\frac{4}{3} \]
Entrambe le soluzioni rispettano \(x\ge -1\).
Quindi: \[ \boxed{x=\frac{4}{3} \quad \text{oppure} \quad x=6} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ |x+4|=2x-1 \]
Risultato
\[ x=5 \]
Svolgimento
Il secondo membro deve essere non negativo: \[ 2x-1\ge 0 \] \[ x\ge \frac{1}{2} \]
Primo caso: \[ x+4=2x-1 \] \[ x=5 \]
Secondo caso: \[ -(x+4)=2x-1 \] \[ -x-4=2x-1 \] \[ -3=3x \] \[ x=-1 \]
La soluzione \(x=-1\) non rispetta la condizione \(x\ge \frac{1}{2}\), quindi si scarta.
Rimane: \[ \boxed{x=5} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ |x-2|=|x+6| \]
Risultato
\[ x=-2 \]
Svolgimento
Due valori assoluti sono uguali quando le espressioni interne sono uguali oppure opposte.
Primo caso: \[ x-2=x+6 \] \[ -2=6 \] impossibile.
Secondo caso: \[ x-2=-(x+6) \] \[ x-2=-x-6 \] \[ 2x=-4 \] \[ x=-2 \]
Quindi: \[ \boxed{x=-2} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
\[ |2x+3|=|x-5| \]
Risultato
\[ x=\frac{2}{3} \quad \text{oppure} \quad x=-8 \]
Svolgimento
Risolviamo imponendo che le due espressioni siano uguali oppure opposte.
Primo caso: \[ 2x+3=x-5 \] \[ x=-8 \]
Secondo caso: \[ 2x+3=-(x-5) \] \[ 2x+3=-x+5 \] \[ 3x=2 \] \[ x=\frac{2}{3} \]
Pertanto: \[ \boxed{x=\frac{2}{3} \quad \text{oppure} \quad x=-8} \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
\[ |3x-2|=|x+4| \]
Risultato
\[ x=3 \quad \text{oppure} \quad x=-\frac{1}{2} \]
Svolgimento
Anche in questo caso usiamo: \[ |A|=|B| \iff A=B \quad \text{oppure} \quad A=-B \]
Primo caso: \[ 3x-2=x+4 \] \[ 2x=6 \] \[ x=3 \]
Secondo caso: \[ 3x-2=-(x+4) \] \[ 3x-2=-x-4 \] \[ 4x=-2 \] \[ x=-\frac{1}{2} \]
Quindi: \[ \boxed{x=3 \quad \text{oppure} \quad x=-\frac{1}{2}} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ |x-1|+|x+3|=6 \]
Risultato
\[ x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=2 \]
Svolgimento
I punti critici sono quelli che annullano gli argomenti dei valori assoluti: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Studiamo quindi gli intervalli: \[ x<-3, \quad -3\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primo intervallo: \(x<-3\). In questo intervallo entrambe le espressioni sono negative: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=-(x+3) \] Quindi: \[ -x+1-x-3=6 \] \[ -2x-2=6 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] La soluzione appartiene all'intervallo \(x<-3\), quindi è valida.
Secondo intervallo: \(-3\le x<1\). In questo intervallo: \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |x+3|=x+3 \] Quindi: \[ -x+1+x+3=6 \] \[ 4=6 \] impossibile.
Terzo intervallo: \(x\ge 1\). In questo intervallo entrambe le espressioni sono non negative: \[ |x-1|=x-1, \qquad |x+3|=x+3 \] Quindi: \[ x-1+x+3=6 \] \[ 2x+2=6 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] La soluzione appartiene all'intervallo \(x\ge 1\), quindi è valida.
Pertanto: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=2} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ |x+2|+|x-4|=10 \]
Risultato
\[ x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=6 \]
Svolgimento
I punti critici sono: \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Consideriamo gli intervalli: \[ x<-2, \quad -2\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primo intervallo: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+4=10 \] \[ -2x+2=10 \] \[ -2x=8 \] \[ x=-4 \] Valida perché \(x<-2\).
Secondo intervallo: \(-2\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+4=10 \] \[ 6=10 \] impossibile.
Terzo intervallo: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-4=10 \] \[ 2x-2=10 \] \[ 2x=12 \] \[ x=6 \] Valida perché \(x\ge 4\).
Quindi: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=6} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ |2x-1|+|x+2|=8 \]
Risultato
\[ x=-3 \quad \text{oppure} \quad x=\frac{7}{3} \]
Svolgimento
Troviamo i punti critici: \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \] \[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Gli intervalli da studiare sono: \[ x<-2, \quad -2\le x<\frac{1}{2}, \quad x\ge \frac{1}{2} \]
Primo intervallo: \(x<-2\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=-(x+2) \] \[ -2x+1-x-2=8 \] \[ -3x-1=8 \] \[ -3x=9 \] \[ x=-3 \] Valida perché \(x<-2\).
Secondo intervallo: \(-2\le x<\frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=-(2x-1), \qquad |x+2|=x+2 \] \[ -2x+1+x+2=8 \] \[ -x+3=8 \] \[ x=-5 \] Non appartiene all'intervallo \(-2\le x<\frac{1}{2}\), quindi si scarta.
Terzo intervallo: \(x\ge \frac{1}{2}\). \[ |2x-1|=2x-1, \qquad |x+2|=x+2 \] \[ 2x-1+x+2=8 \] \[ 3x+1=8 \] \[ 3x=7 \] \[ x=\frac{7}{3} \] Valida perché \(x\ge \frac{1}{2}\).
Pertanto: \[ \boxed{x=-3 \quad \text{oppure} \quad x=\frac{7}{3}} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
\[ |x-2|+|x+1|=3 \]
Risultato
\[ -1\le x\le 2 \]
Svolgimento
I punti critici sono: \[ x=-1, \qquad x=2 \]
Studiamo i tre intervalli: \[ x<-1, \quad -1\le x<2, \quad x\ge 2 \]
Primo intervallo: \(x<-1\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+2-x-1=3 \] \[ -2x+1=3 \] \[ -2x=2 \] \[ x=-1 \] Questa soluzione non appartiene all'intervallo \(x<-1\), quindi non si accetta in questo caso.
Secondo intervallo: \(-1\le x<2\). \[ |x-2|=-(x-2), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+2+x+1=3 \] \[ 3=3 \] L'identità è vera per ogni valore dell'intervallo.
Quindi sono soluzioni tutti i valori: \[ -1\le x<2 \]
Terzo intervallo: \(x\ge 2\). \[ |x-2|=x-2, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-2+x+1=3 \] \[ 2x-1=3 \] \[ 2x=4 \] \[ x=2 \] Valida perché \(x\ge 2\).
Unendo i risultati: \[ \boxed{-1\le x\le 2} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ |x-3|-|x+1|=2 \]
Risultato
\[ x=0 \]
Svolgimento
I punti critici sono: \[ x=-1, \qquad x=3 \]
Studiamo gli intervalli: \[ x<-1, \quad -1\le x<3, \quad x\ge 3 \]
Primo intervallo: \(x<-1\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=-(x+1) \] \[ -x+3-(-x-1)=2 \] \[ -x+3+x+1=2 \] \[ 4=2 \] impossibile.
Secondo intervallo: \(-1\le x<3\). \[ |x-3|=-(x-3), \qquad |x+1|=x+1 \] \[ -x+3-(x+1)=2 \] \[ -2x+2=2 \] \[ -2x=0 \] \[ x=0 \] Valida perché \(0\in[-1,3)\).
Terzo intervallo: \(x\ge 3\). \[ |x-3|=x-3, \qquad |x+1|=x+1 \] \[ x-3-(x+1)=2 \] \[ -4=2 \] impossibile.
Verifichiamo la soluzione per sostituzione: \[ |0-3|-|0+1|=3-1=2 \;\checkmark \]
Quindi: \[ \boxed{x=0} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ |2x+1|-|x-4|=3 \]
Risultato
\[ x=-8 \quad \text{oppure} \quad x=2 \]
Svolgimento
I punti critici sono: \[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \] \[ x-4=0 \Rightarrow x=4 \]
Studiamo gli intervalli: \[ x<-\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{2}\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primo intervallo: \(x<-\frac{1}{2}\). \[ |2x+1|=-(2x+1), \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ -2x-1-(-x+4)=3 \] \[ -2x-1+x-4=3 \] \[ -x-5=3 \] \[ x=-8 \] Valida perché \(-8<-\frac{1}{2}\).
Secondo intervallo: \(-\frac{1}{2}\le x<4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=-(x-4) \] \[ 2x+1-(-x+4)=3 \] \[ 2x+1+x-4=3 \] \[ 3x-3=3 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Valida perché \(2\in\left[-\frac{1}{2},4\right)\).
Terzo intervallo: \(x\ge 4\). \[ |2x+1|=2x+1, \qquad |x-4|=x-4 \] \[ 2x+1-(x-4)=3 \] \[ x+5=3 \] \[ x=-2 \] Non appartiene all'intervallo \(x\ge 4\), quindi si scarta.
Verifichiamo le soluzioni per sostituzione: \[ x=-8: \quad |-15|-|-12|=15-12=3 \;\checkmark \] \[ x=2: \quad |5|-|-2|=5-2=3 \;\checkmark \]
Pertanto: \[ \boxed{x=-8 \quad \text{oppure} \quad x=2} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ |x-1|+|2x+4|=9 \]
Risultato
\[ x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=2 \]
Svolgimento
I punti critici sono: \[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \] \[ 2x+4=0 \Rightarrow x=-2 \]
Studiamo gli intervalli: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad x\ge 1 \]
Primo intervallo: \(x<-2\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=-(2x+4) \] \[ -x+1-2x-4=9 \] \[ -3x-3=9 \] \[ -3x=12 \] \[ x=-4 \] Valida perché \(x<-2\).
Secondo intervallo: \(-2\le x<1\). \[ |x-1|=-(x-1), \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ -x+1+2x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Non appartiene all'intervallo \(-2\le x<1\), quindi si scarta.
Terzo intervallo: \(x\ge 1\). \[ |x-1|=x-1, \qquad |2x+4|=2x+4 \] \[ x-1+2x+4=9 \] \[ 3x+3=9 \] \[ 3x=6 \] \[ x=2 \] Valida perché \(x\ge 1\).
Quindi: \[ \boxed{x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=2} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ |x+2|+|x-1|+|x-4|=9 \]
Risultato
\[ x=-2 \quad \text{oppure} \quad x=4 \]
Svolgimento
I punti critici sono: \[ x=-2, \qquad x=1, \qquad x=4 \]
Studiamo gli intervalli: \[ x<-2, \quad -2\le x<1, \quad 1\le x<4, \quad x\ge 4 \]
Primo intervallo: \(x<-2\). \[ |x+2|=-(x+2), \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ -x-2-x+1-x+4=9 \] \[ -3x+3=9 \] \[ -3x=6 \] \[ x=-2 \] Questo valore non appartiene all'intervallo \(x<-2\), ma verrà incluso nell'intervallo successivo se valido.
Secondo intervallo: \(-2\le x<1\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=-(x-1), \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2-x+1-x+4=9 \] \[ -x+7=9 \] \[ x=-2 \] Valida perché \(-2\in[-2,1)\).
Terzo intervallo: \(1\le x<4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=-(x-4) \] \[ x+2+x-1-x+4=9 \] \[ x+5=9 \] \[ x=4 \] Questo valore non appartiene all'intervallo \(1\le x<4\), ma verrà incluso nell'intervallo successivo se valido.
Quarto intervallo: \(x\ge 4\). \[ |x+2|=x+2, \quad |x-1|=x-1, \quad |x-4|=x-4 \] \[ x+2+x-1+x-4=9 \] \[ 3x-3=9 \] \[ 3x=12 \] \[ x=4 \] Valida perché \(x\ge 4\).
Pertanto: \[ \boxed{x=-2 \quad \text{oppure} \quad x=4} \]