In questa pagina dedurremo la derivata del logaritmo naturale a partire dal rapporto incrementale, presentando due formulazioni equivalenti: quella per \( h \to 0 \) e quella per \( x \to x_0 \). Vale infatti:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h}, \quad \lim_{x \to x_0}\frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
- Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
- Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Limite del rapporto incrementale per \( h \to 0 \)
Applicando questa definizione alla funzione \( \ln(x) \), otteniamo:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln(x)}{h} \quad ( * ) \]
Utilizzando la proprietà dei logaritmi, possiamo riscrivere il numeratore in \( ( * ) \) come:
\[ \ln(x + h) - \ln(x) = \ln\left(\frac{x + h}{x}\right) \]
Quindi,
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} \]
Per semplificare ulteriormente, osserviamo che quest'ultima nasconde un limite notevole. Se poniamo \( t = \frac{h}{x} \), allora \( h = x t \). Di conseguenza, quando \( h \to 0 \), anche \( t \to 0 \). Quindi
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} \stackrel{\text{Limite Notevole}}{=} \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x} \]
Troviamo quindi che la derivata di \( \ln(x) \) è
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]
Limite del rapporto incrementale per \( x \to x_0 \)
Allo stesso modo, calcoliamo il limite quando \( x \to x_0 \). Utilizzando questa definizione, il limite del rapporto incrementale è
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln(x) - \ln(x_0)}{x - x_0} \]
Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi \( \ln( x ) - \ln(x_0) = \ln \left (\frac{x}{x_0} \right ) \). Il numeratore diventa:
\[ \ln(x) - \ln(x_0) = \ln\left(\frac{x}{x_0}\right) \]
Quindi,
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{\ln\left(\frac{x}{x_0}\right)}{x - x_0} \qquad (*) \]
Per semplificare, poniamo \( u = x - x_0 \), implicando che \( x = x_0 + u \). Quando \( x \to x_0 \), anche \( u \to 0 \).
Sostituendo \( x = x_0 + u \) nel limite \( (*) \), abbiamo
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x_0 + u}{x_0}\right)}{u} \]
L'argomento del logaritmo può essere riscritto in modo da individuare più facilmente il limite notevole che ci consentirà di calcolare la derivata che stiamo cercando.
\[ f'(x_0) = \lim_{u \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{u}{x_0}\right)}{u} \]
Se poniamo \( t = \frac{u}{x_0}\), allora \( u = x_0 t \). Inoltre \( u \to 0 \) implica \( t \to 0 \):
\[ f'(x_0) = \frac{1}{x_0} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} \stackrel{\text{Limite Notevole}}{=} \frac{1}{x_0} \cdot 1 = \frac{1}{x_0} \]
Concludiamo che, come nel caso precedente, la derivata di \( \ln(x) \) è:
\[ f'(x) = \frac{1}{x}, \quad \forall x > 0 \]