Esercizi svolti sulle equazioni irrazionali: una raccolta progressiva per imparare a risolvere equazioni con radicali. In ogni esercizio isoliamo le radici, eleviamo al quadrato con attenzione e verifichiamo sempre le soluzioni trovate. Questa fase di verifica è fondamentale perché l'elevamento al quadrato può introdurre delle soluzioni spurie: si tratta di valori che emergono correttamente dai calcoli algebrici, ma che non soddisfano l'equazione originale e vanno quindi scartati.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x}=3 \]
Risultato
\[ x=9 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
La radice è già isolata. Per eliminarla, eleviamo entrambi i membri al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x}=3 \]
La radice quadrata è isolata al primo membro.
\[ (\sqrt{x})^2=3^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice.
\[ x=9 \]
Il quadrato della radice restituisce il radicando.
Verifica
\[ \sqrt{9}=3 \]
L'uguaglianza è vera, quindi la soluzione è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=9} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Risultato
\[ x=15 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
La radice è già isolata. Eleviamo al quadrato e poi risolviamo l'equazione lineare ottenuta.
Passo 1
\[ \sqrt{x+1}=4 \]
Il radicale contiene \(x+1\), quindi bisogna eliminare la radice.
\[ (\sqrt{x+1})^2=4^2 \]
Eleviamo entrambi i membri al quadrato.
\[ x+1=16 \]
Dopo l'elevamento al quadrato resta un'equazione di primo grado.
Passo 2
\[ x=16-1 \]
Sottraiamo \(1\) da entrambi i membri per isolare \(x\).
\[ x=15 \]
Verifica
\[ \sqrt{15+1}=\sqrt{16}=4 \]
La soluzione soddisfa l'equazione iniziale.
Risultato
\[ \boxed{x=15} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Risultato
\[ x=5 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
La radice è isolata. Eleviamo al quadrato e poi risolviamo l'equazione lineare.
Passo 1
\[ \sqrt{2x-1}=3 \]
Il radicando è \(2x-1\). Per liberarlo dalla radice, eleviamo al quadrato.
\[ 2x-1=9 \]
Il secondo membro diventa \(3^2=9\).
Passo 2
\[ 2x=10 \]
Sommiamo \(1\) a entrambi i membri.
\[ x=5 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\).
Verifica
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=\sqrt{9}=3 \]
La soluzione è corretta.
Risultato
\[ \boxed{x=5} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
La radice è isolata. Poiché \(\sqrt{x}\ge0\), anche il secondo membro deve essere non negativo: \(x-2\ge0\), quindi \(x\ge2\).
Passo 1
\[ \sqrt{x}=x-2 \]
Possiamo elevare al quadrato perché la radice è già isolata.
\[ x=(x-2)^2 \]
Il primo membro diventa \(x\), mentre il secondo membro va sviluppato come quadrato di binomio.
Passo 2
\[ x=x^2-4x+4 \]
Abbiamo sviluppato \((x-2)^2=x^2-4x+4\).
\[ x^2-5x+4=0 \]
Portiamo tutti i termini al secondo membro, oppure equivalentemente al primo, per ottenere un'equazione di secondo grado.
Passo 3
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]
Scomponiamo il trinomio cercando due numeri con prodotto \(4\) e somma \(-5\): sono \(-1\) e \(-4\).
\[ (x-1)(x-4)=0 \]
Un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo.
\[ x=1 \quad \text{oppure} \quad x=4 \]
Verifica
Per \(x=1\): \[ \sqrt{1}=1,\qquad 1-2=-1 \]
I due membri non sono uguali, quindi \(x=1\) è una soluzione spuria.
Per \(x=4\): \[ \sqrt{4}=2,\qquad 4-2=2 \]
I due membri coincidono, quindi \(x=4\) è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+2}=x \]
Risultato
\[ x=2 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il secondo membro è \(x\). Poiché una radice quadrata è sempre non negativa, deve essere \(x\ge0\).
Passo 1
\[ \sqrt{x+2}=x \]
La radice è isolata, quindi possiamo elevare al quadrato.
\[ x+2=x^2 \]
Il quadrato della radice elimina il simbolo di radice.
Passo 2
\[ x^2-x-2=0 \]
Portiamo tutti i termini al secondo membro per ottenere una quadratica ordinata.
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
Scomponiamo il trinomio: il prodotto è \(-2\) e la somma è \(-1\).
\[ x=2 \quad \text{oppure} \quad x=-1 \]
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto.
Verifica
\(x=-1\) non può essere accettata perché non rispetta la condizione \(x\ge0\).
Per \(x=2\): \[ \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 \]
La soluzione soddisfa l'equazione iniziale.
Risultato
\[ \boxed{x=2} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Risultato
\[ x=5 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
La radice è già isolata. Poiché una radice quadrata è sempre non negativa, deve essere anche \(x-2\ge0\), quindi \(x\ge2\).
Passo 1
\[ \sqrt{x+4}=x-2 \]
Possiamo elevare al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice.
\[ x+4=(x-2)^2 \]
Il primo membro diventa il radicando \(x+4\), mentre il secondo membro è un quadrato di binomio.
Passo 2
\[ x+4=x^2-4x+4 \]
Sviluppiamo \((x-2)^2\) usando la formula \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
\[ x^2-5x=0 \]
Portiamo tutti i termini al secondo membro e semplifichiamo \(+4\) con \(+4\).
Passo 3
\[ x(x-5)=0 \]
Raccogliamo il fattore comune \(x\).
\[ x=0 \quad \text{oppure} \quad x=5 \]
Un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo.
Verifica
\(x=0\) non soddisfa la condizione \(x\ge2\), quindi va scartata.
Per \(x=5\): \[ \sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3 \]
Il secondo membro vale: \[ 5-2=3 \]
I due membri coincidono, quindi \(x=5\) è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=5} \]
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Risultato
\[ x=3 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il secondo membro è \(x\). Poiché il primo membro è una radice quadrata, deve essere \(x\ge0\). Dopo aver elevato al quadrato, verifichiamo le soluzioni.
Passo 1
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
La radice è isolata, quindi possiamo elevare entrambi i membri al quadrato.
\[ 2x+3=x^2 \]
Il quadrato della radice elimina il radicale.
Passo 2
\[ x^2-2x-3=0 \]
Portiamo tutti i termini al secondo membro per ottenere un'equazione di secondo grado in forma normale.
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Scomponiamo il trinomio: servono due numeri con prodotto \(-3\) e somma \(-2\), cioè \(-3\) e \(+1\).
Passo 3
\[ x-3=0 \quad \text{oppure} \quad x+1=0 \]
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto.
\[ x=3 \quad \text{oppure} \quad x=-1 \]
Verifica
\(x=-1\) non soddisfa la condizione \(x\ge0\), quindi va scartata.
Per \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3 \]
Il secondo membro vale proprio \(x=3\), quindi l'equazione è soddisfatta.
Risultato
\[ \boxed{x=3} \]
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il secondo membro deve essere non negativo, perché è uguale a una radice quadrata. Quindi \(x-1\ge0\), cioè \(x\ge1\).
Passo 1
\[ \sqrt{x+5}=x-1 \]
La radice è isolata: eleviamo entrambi i membri al quadrato.
\[ x+5=(x-1)^2 \]
Il radicale scompare e il secondo membro diventa un quadrato di binomio.
Passo 2
\[ x+5=x^2-2x+1 \]
Sviluppiamo \((x-1)^2=x^2-2x+1\).
\[ x^2-3x-4=0 \]
Portiamo tutto a secondo membro per ottenere una quadratica ordinata.
Passo 3
\[ x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \]
Scomponiamo il trinomio: il prodotto deve essere \(-4\) e la somma \(-3\), quindi i numeri sono \(-4\) e \(+1\).
\[ (x-4)(x+1)=0 \]
Un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo.
\[ x=4 \quad \text{oppure} \quad x=-1 \]
Verifica
\(x=-1\) non soddisfa la condizione \(x\ge1\), quindi va scartata.
Per \(x=4\): \[ \sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3 \]
Il secondo membro vale: \[ 4-1=3 \]
I due membri coincidono, quindi \(x=4\) è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Risultato
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x\ge0\). Poiché ci sono due radicali, isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}=3 \]
Isoliamo \(\sqrt{x+1}\), portando \(\sqrt{x}\) al secondo membro.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x} \]
Ora una radice è isolata e possiamo elevare al quadrato.
Passo 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri. A destra compare il quadrato di un binomio.
\[ x+1=9-6\sqrt{x}+x \]
Infatti \((3-\sqrt{x})^2=9-6\sqrt{x}+x\).
Passo 3
\[ 1=9-6\sqrt{x} \]
Sottraiamo \(x\) da entrambi i membri.
\[ 6\sqrt{x}=8 \]
Portiamo il termine con la radice al primo membro e il termine numerico al secondo.
\[ \sqrt{x}=\dfrac{4}{3} \]
Dividiamo entrambi i membri per \(6\).
Passo 4
\[ x=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \]
Eleviamo ancora al quadrato per eliminare l'ultima radice.
\[ x=\dfrac{16}{9} \]
Verifica
Sostituiamo \(x=\dfrac{16}{9}\) nell'equazione iniziale: \[ \sqrt{\dfrac{16}{9}+1}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Sommiamo dentro la prima radice: \[ \sqrt{\dfrac{25}{9}}+\sqrt{\dfrac{16}{9}} \]
Calcoliamo le due radici: \[ \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}=3 \]
L'uguaglianza è vera, quindi la soluzione è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=\dfrac{16}{9}} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Risultato
\[ x=3 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
I due radicandi richiedono \(x+6\ge0\) e \(x+1\ge0\), quindi il dominio è \(x\ge-1\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}=1 \]
Portiamo \(-\sqrt{x+1}\) al secondo membro.
\[ \sqrt{x+6}=1+\sqrt{x+1} \]
Ora la radice \(\sqrt{x+6}\) è isolata.
Passo 2
\[ x+6=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
\[ x+6=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Sviluppiamo il quadrato del binomio \((1+\sqrt{x+1})^2\).
Passo 3
\[ x+6=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Sommiamo i termini numerici \(1+1=2\).
\[ 4=2\sqrt{x+1} \]
Sottraiamo \(x+2\) da entrambi i membri.
\[ \sqrt{x+1}=2 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\).
Passo 4
\[ x+1=4 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare l'ultima radice.
\[ x=3 \]
Sottraiamo \(1\) da entrambi i membri.
Verifica
Sostituiamo \(x=3\): \[ \sqrt{3+6}-\sqrt{3+1} \]
Calcoliamo i radicandi: \[ \sqrt{9}-\sqrt{4} \]
Calcoliamo le radici: \[ 3-2=1 \]
L'uguaglianza è vera, quindi la soluzione è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=3} \]
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Risultato
\[ x=3 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x\ge2\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato due volte.
Passo 1
\[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3 \]
Portiamo \(\sqrt{x-2}\) al secondo membro per isolare una radice.
\[ \sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2} \]
Passo 2
\[ x+1=(3-\sqrt{x-2})^2 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare la prima radice.
\[ x+1=9-6\sqrt{x-2}+x-2 \]
Passo 3
\[ x+1=x+7-6\sqrt{x-2} \]
Semplifichiamo i termini simili.
\[ 6\sqrt{x-2}=6 \]
\[ \sqrt{x-2}=1 \]
Passo 4
\[ x-2=1 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare la radice.
\[ x=3 \]
Verifica
\[ \sqrt{3+1}+\sqrt{3-2}=2+1=3 \]
La soluzione è corretta.
Risultato
\[ \boxed{x=3} \]
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x+5}+\sqrt{x}=5 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio è \(x\ge0\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+5}=5-\sqrt{x} \]
Isoliamo una radice per poter eliminare il radicale.
Passo 2
\[ x+5=(5-\sqrt{x})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
\[ x+5=25-10\sqrt{x}+x \]
Passo 3
\[ 5=25-10\sqrt{x} \]
Semplifichiamo sottraendo \(x\) da entrambi i membri.
\[ 10\sqrt{x}=20 \]
\[ \sqrt{x}=2 \]
Passo 4
\[ x=4 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare la radice.
Verifica
\[ \sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5 \]
Risultato
\[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{3x+4}=x+2 \]
Risultato
\[ x=-1 \quad \text{oppure} \quad x=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Poiché il secondo membro è \(x+2\), deve essere \(x+2\ge0\). La radice è già isolata.
Passo 1
\[ 3x+4=(x+2)^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
Passo 2
\[ 3x+4=x^2+4x+4 \]
\[ x^2+x=0 \]
Portiamo tutti i termini a secondo membro.
Passo 3
\[ x(x+1)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{oppure} \quad x=-1 \]
Verifica
Entrambe le soluzioni soddisfano l'equazione iniziale.
Risultato
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{oppure} \quad x=0} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4 \]
Risultato
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x\ge2\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+2}=4-\sqrt{x-2} \]
Passo 2
\[ x+2=(4-\sqrt{x-2})^2 \]
\[ x+2=16-8\sqrt{x-2}+x-2 \]
Passo 3
\[ x+2=x+14-8\sqrt{x-2} \]
\[ 8\sqrt{x-2}=12 \]
\[ \sqrt{x-2}=\dfrac{3}{2} \]
Passo 4
\[ x-2=\dfrac{9}{4} \]
\[ x=\dfrac{17}{4} \]
Verifica
\[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
Risultato
\[ \boxed{x=\dfrac{17}{4}} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x+9}-\sqrt{x}=1 \]
Risultato
\[ x=16 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x\ge0\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+9}=1+\sqrt{x} \]
Passo 2
\[ x+9=(1+\sqrt{x})^2 \]
\[ x+9=1+2\sqrt{x}+x \]
Passo 3
\[ 9=1+2\sqrt{x} \]
\[ 2\sqrt{x}=8 \]
\[ \sqrt{x}=4 \]
Passo 4
\[ x=16 \]
Verifica
\[ 5-4=1 \]
Risultato
\[ \boxed{x=16} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Risultato
\[ x=\dfrac{13}{4} \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x-1\ge0\), quindi \(x\ge1\). Isoliamo una delle due radici e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4 \]
Portiamo \(\sqrt{x-1}\) al secondo membro per isolare la radice \(\sqrt{x+3}\).
\[ \sqrt{x+3}=4-\sqrt{x-1} \]
Ora una radice è isolata, quindi possiamo elevare al quadrato.
Passo 2
\[ x+3=(4-\sqrt{x-1})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri. A destra compare il quadrato di un binomio.
\[ x+3=16-8\sqrt{x-1}+x-1 \]
Sviluppiamo \((4-\sqrt{x-1})^2\): il doppio prodotto è \(-8\sqrt{x-1}\).
Passo 3
\[ x+3=x+15-8\sqrt{x-1} \]
Sommiamo i termini numerici \(16-1=15\).
\[ 3=15-8\sqrt{x-1} \]
Sottraiamo \(x\) da entrambi i membri.
\[ 8\sqrt{x-1}=12 \]
Portiamo il termine con la radice al primo membro e il termine numerico al secondo.
\[ \sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2} \]
Dividiamo entrambi i membri per \(8\).
Passo 4
\[ x-1=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare l'ultima radice.
\[ x-1=\dfrac{9}{4} \]
Calcoliamo il quadrato di \(\dfrac{3}{2}\).
\[ x=1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4} \]
Sommiamo \(1\) a entrambi i membri.
Verifica
Sostituiamo \(x=\dfrac{13}{4}\): \[ \sqrt{\dfrac{13}{4}+3}+\sqrt{\dfrac{13}{4}-1} \]
Calcoliamo i radicandi: \[ \sqrt{\dfrac{25}{4}}+\sqrt{\dfrac{9}{4}} \]
Calcoliamo le radici: \[ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4 \]
L'uguaglianza è vera, quindi la soluzione è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=\dfrac{13}{4}} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x-3\ge0\), quindi \(x\ge3\). Isoliamo una radice: dopo il primo quadrato resterà ancora una radice, quindi dovremo elevare al quadrato una seconda volta.
Passo 1
\[ \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4 \]
Portiamo \(\sqrt{x-3}\) al secondo membro.
\[ \sqrt{2x+1}=4-\sqrt{x-3} \]
In questo modo la radice \(\sqrt{2x+1}\) è isolata.
Passo 2
\[ 2x+1=(4-\sqrt{x-3})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
\[ 2x+1=16-8\sqrt{x-3}+x-3 \]
Sviluppiamo il quadrato del binomio.
Passo 3
\[ 2x+1=x+13-8\sqrt{x-3} \]
Sommiamo i termini numerici \(16-3=13\).
\[ 8\sqrt{x-3}=12-x \]
Isoliamo la radice rimasta.
Passo 4
\[ 64(x-3)=(12-x)^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri per eliminare la seconda radice.
Passo 5
\[ 64x-192=x^2-24x+144 \]
Sviluppiamo entrambi i membri: a sinistra distribuiamo \(64\), a destra sviluppiamo il quadrato \((12-x)^2\).
\[ x^2-88x+336=0 \]
Portiamo tutti i termini al secondo membro e riduciamo i termini simili.
Passo 6
\[ x^2-88x+336=(x-4)(x-84) \]
Scomponiamo il trinomio: \(4\cdot84=336\) e \(4+84=88\).
\[ (x-4)(x-84)=0 \]
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto.
\[ x=4 \quad \text{oppure} \quad x=84 \]
Verifica
Per \(x=4\): \[ \sqrt{2\cdot4+1}+\sqrt{4-3} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4 \]
Quindi \(x=4\) è accettabile.
Per \(x=84\): \[ \sqrt{2\cdot84+1}+\sqrt{84-3} = \sqrt{169}+\sqrt{81} = 13+9=22 \]
Il risultato non è \(4\), quindi \(x=84\) è una soluzione spuria.
Risultato
\[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Risultato
\[ x=12 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x+4\ge0\), quindi \(x\ge-4\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+4}=1 \]
Portiamo \(-\sqrt{x+4}\) al secondo membro.
\[ \sqrt{x+13}=1+\sqrt{x+4} \]
Ora la radice \(\sqrt{x+13}\) è isolata.
Passo 2
\[ x+13=(1+\sqrt{x+4})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
\[ x+13=1+2\sqrt{x+4}+x+4 \]
Sviluppiamo il quadrato del binomio \((1+\sqrt{x+4})^2\).
Passo 3
\[ x+13=x+5+2\sqrt{x+4} \]
Sommiamo i termini numerici \(1+4=5\).
\[ 8=2\sqrt{x+4} \]
Sottraiamo \(x+5\) da entrambi i membri.
\[ \sqrt{x+4}=4 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(2\).
Passo 4
\[ x+4=16 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare l'ultima radice.
\[ x=12 \]
Sottraiamo \(4\) da entrambi i membri.
Verifica
Sostituiamo \(x=12\): \[ \sqrt{12+13}-\sqrt{12+4} \]
Calcoliamo i radicandi: \[ \sqrt{25}-\sqrt{16} \]
Calcoliamo le radici: \[ 5-4=1 \]
L'uguaglianza è vera, quindi la soluzione è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=12} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Risultato
\[ x=-1 \quad \text{oppure} \quad x=3 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x+1\ge0\), quindi \(x\ge-1\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1 \]
Portiamo \(-\sqrt{x+1}\) al secondo membro.
\[ \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1} \]
Ora la radice \(\sqrt{2x+3}\) è isolata.
Passo 2
\[ 2x+3=(1+\sqrt{x+1})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
\[ 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1 \]
Sviluppiamo il quadrato del binomio.
Passo 3
\[ 2x+3=x+2+2\sqrt{x+1} \]
Sommiamo i termini numerici.
\[ x+1=2\sqrt{x+1} \]
Sottraiamo \(x+2\) da entrambi i membri e isoliamo l'espressione radicale.
Passo 4
Poniamo: \[ t=\sqrt{x+1} \]
Questa sostituzione è utile perché nell'equazione compare sia \(x+1\) sia \(\sqrt{x+1}\). Inoltre, poiché \(t\) è una radice quadrata, \(t\ge0\).
Poiché: \[ t=\sqrt{x+1} \]
allora: \[ t^2=x+1 \]
Sostituiamo \(x+1\) con \(t^2\) e \(\sqrt{x+1}\) con \(t\).
\[ t^2=2t \]
Passo 5
\[ t^2-2t=0 \]
Portiamo tutti i termini al primo membro.
\[ t(t-2)=0 \]
Raccogliamo il fattore comune \(t\).
\[ t=0 \quad \text{oppure} \quad t=2 \]
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto.
Passo 6
Se \(t=0\), allora: \[ \sqrt{x+1}=0 \]
Elevando al quadrato: \[ x+1=0 \implies x=-1 \]
Se \(t=2\), allora: \[ \sqrt{x+1}=2 \]
Elevando al quadrato: \[ x+1=4 \implies x=3 \]
Verifica
Per \(x=-1\): \[ \sqrt{2(-1)+3}-\sqrt{-1+1} = \sqrt{1}-\sqrt{0} = 1-0=1 \]
Quindi \(x=-1\) è accettabile.
Per \(x=3\): \[ \sqrt{2\cdot3+3}-\sqrt{3+1} = \sqrt{9}-\sqrt{4} = 3-2=1 \]
Quindi anche \(x=3\) è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=-1 \quad \text{oppure} \quad x=3} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Risultato
\[ x=7 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dominio richiede \(x-3\ge0\), quindi \(x\ge3\). Isoliamo una radice e poi eleviamo al quadrato.
Passo 1
\[ \sqrt{x+9}+\sqrt{x-3}=6 \]
Portiamo \(\sqrt{x-3}\) al secondo membro.
\[ \sqrt{x+9}=6-\sqrt{x-3} \]
Ora la radice \(\sqrt{x+9}\) è isolata.
Passo 2
\[ x+9=(6-\sqrt{x-3})^2 \]
Eleviamo al quadrato entrambi i membri.
\[ x+9=36-12\sqrt{x-3}+x-3 \]
Sviluppiamo il quadrato del binomio \((6-\sqrt{x-3})^2\).
Passo 3
\[ x+9=x+33-12\sqrt{x-3} \]
Sommiamo i termini numerici \(36-3=33\).
\[ 9=33-12\sqrt{x-3} \]
Sottraiamo \(x\) da entrambi i membri.
\[ 12\sqrt{x-3}=24 \]
Isoliamo il termine radicale.
\[ \sqrt{x-3}=2 \]
Dividiamo entrambi i membri per \(12\).
Passo 4
\[ x-3=4 \]
Eleviamo al quadrato per eliminare l'ultima radice.
\[ x=7 \]
Sommiamo \(3\) a entrambi i membri.
Verifica
Sostituiamo \(x=7\): \[ \sqrt{7+9}+\sqrt{7-3} \]
Calcoliamo i radicandi: \[ \sqrt{16}+\sqrt{4} \]
Calcoliamo le radici: \[ 4+2=6 \]
L'uguaglianza è vera, quindi la soluzione è accettabile.
Risultato
\[ \boxed{x=7} \]