Esercizi guidati sulle disequazioni con parametro: una raccolta di problemi risolti per imparare a studiare il segno di un trinomio al variare di un parametro reale, analizzare il discriminante come funzione di k e gestire i casi degeneri in cui il coefficiente del termine quadratico si annulla. Troverai la discussione completa per ogni valore di k, con passaggi chiari anche nei casi più articolati, pensata per aiutarti a ragionare con metodo e non perdere mai nessun caso.
Esercizio del 08/01/2026 - 09:15 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + 1 > 0 \]
Risultato
• \(|k| < 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{-\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\): \(S = \left(-\infty,\, x_1\right) \cup \left(x_2,\, +\infty\right)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4 \]
Radici (quando \(\Delta \ge 0\))
\[ x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2} \]
Studio del segno — parabola con concavità verso l'alto
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\): nessuna radice reale, trinomio sempre \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\): radice doppia \(x_0 = -k/2\); la parabola tocca l'asse ma non lo attraversa; disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\): due radici distinte \(x_1 < x_2\); positivo esternamente; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 08/01/2026 - 11:00 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-2)x + k > 0 \]
Risultato
• \(k \in (4-2\sqrt{3},\; 4+2\sqrt{3})\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 4 \pm 2\sqrt{3}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• altrimenti: \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = (k-2)^2 - 4k = k^2 - 8k + 4 \]
Radici di \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (4-2\sqrt{3},\, 4+2\sqrt{3})\): trinomio sempre \(> 0\); \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0\): radice doppia; disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parabola verso l'alto con due radici distinte; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 13/01/2026 - 08:45 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 2(k+1)x + k^2 > 0 \]
Risultato
• \(k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\)
• \(k > -\tfrac{1}{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) con \(x_{1,2} = (k+1) \mp \sqrt{2k+1}\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = 4(k+1)^2 - 4k^2 = 4(k^2+2k+1-k^2) = 4(2k+1) \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k < -\tfrac{1}{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = -\tfrac{1}{2}\): radice doppia \(x_0 = k+1 = \tfrac{1}{2}\); disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2}\right\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k > -\tfrac{1}{2}\): due radici distinte; positivo esternamente; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 13/01/2026 - 14:30 — livello ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Risultato
• \(k = 1\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 2\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(1 < k < 2\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 1\): \(S = [x_1, x_2]\)
Svolgimento
Caso \(k = 1\) — equazione lineare
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Caso \(k \neq 1\) — equazione quadratica
\[ \Delta = 4 - 4(k-1) = 8 - 4k \]
• \(k > 2\): \(\Delta < 0\), \(k-1 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 2\): \(\Delta = 0\), radice doppia \(x_0 = -1\), \(k-1 > 0\); disuguaglianza non stretta; \(S = \mathbb{R}\).
• \(1 < k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-1 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 1\): \(\Delta > 0\), \(k-1 < 0\) (concavità \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Esercizio del 15/01/2026 - 09:10 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + kx - 4 > 0 \]
Risultato
Per ogni \(k \in \mathbb{R}\) esistono sempre due radici reali distinte; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) con \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{k^2+16}}{2}\).
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^2 + 16 \ge 16 > 0 \quad \forall\, k \in \mathbb{R} \]
Il trinomio ha sempre due radici reali distinte. Parabola verso l'alto: positivo esternamente alle radici.
Esercizio del 15/01/2026 - 10:55 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + k > 0 \]
Risultato
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(k < 0\) oppure \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (radice \(x_0=0\)) oppure \(k=4\) (radice \(x_0=2\)): disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) o \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 20/01/2026 - 09:30 — livello ★★★★☆
\[ x^2 + (k+1)x + k < 0 \]
Risultato
• \(k = 1\): \(S = \emptyset\)
• \(k < 1\): \(S = (-1,\; -k)\)
• \(k > 1\): \(S = (-k,\; -1)\)
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2 + (k+1)x + k = (x+1)(x+k) \]
Discriminante (verifica)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Studio del segno
Radici: \(x = -1\) e \(x = -k\).
• \(k = 1\): radice doppia \(x = -1\); \((x+1)^2 < 0\) è impossibile; \(S = \emptyset\).
• \(k < 1\): \(-k > -1\), radici ordinate \(-1 < -k\); prodotto \(< 0\) internamente; \(S = (-1,\, -k)\).
• \(k > 1\): \(-k < -1\), radici ordinate \(-k < -1\); prodotto \(< 0\) internamente; \(S = (-k,\, -1)\).
Esercizio del 20/01/2026 - 14:00 — livello ★★★★☆
\[ x^2 - 3kx + 2k > 0 \]
Risultato
• \(k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\) oppure \(k = \tfrac{8}{9}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
• \(k < 0\) oppure \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = 9k^2 - 8k = k(9k-8) \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in \left(0,\, \tfrac{8}{9}\right)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = 0\) oppure \(k = \tfrac{8}{9}\): disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) o \(k > \tfrac{8}{9}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 22/01/2026 - 08:45 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - kx + 2 > 0 \]
Risultato
• \(|k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{k}{2}\right\}\)
• \(|k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 8 \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| < 2\sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k = \pm 2\sqrt{2}\): radice doppia \(x_0 = k/2\); disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > 2\sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 22/01/2026 - 10:20 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + (k-3)x + 2k \le 0 \]
Risultato
• \(k \in (7-2\sqrt{10},\; 7+2\sqrt{10})\): \(S = \emptyset\)
• \(k = 7 \pm 2\sqrt{10}\): \(S = \{x_0\}\)
• altrimenti: \(S = [x_1, x_2]\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = (k-3)^2 - 8k = k^2 - 14k + 9 \]
Radici di \(\Delta = 0\)
\[ k = \frac{14 \pm \sqrt{196-36}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{10} \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (7-2\sqrt{10},\, 7+2\sqrt{10})\): parabola verso l'alto sempre \(> 0\); \(S = \emptyset\).
• \(\Delta = 0\): unica radice \(x_0\); disuguaglianza non stretta; \(S = \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0\): parabola verso l'alto, negativa tra le radici; \(S = [x_1, x_2]\).
Esercizio del 27/01/2026 - 09:05 — livello ★★★★☆
\[ (k+2)x^2 - x + 1 > 0 \]
Risultato
• \(k = -2\): \(S = (-\infty, 1)\)
• \(k > -\tfrac{7}{4}\) (con \(k \neq -2\)): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
• \(k < -2\): \(S = (x_1, x_2)\)
Svolgimento
Caso \(k = -2\) — equazione lineare
\(-x + 1 > 0 \;\Rightarrow\; x < 1\); \(S = (-\infty, 1)\).
Caso \(k \neq -2\) — equazione quadratica
\[ \Delta = 1 - 4(k+2) = -4k - 7 \]
Nota: \(-2 < -\tfrac{7}{4}\) (ossia \(-2 < -1.75\)), quindi sulla retta reale l'ordine è \(k < -2\), poi \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\), poi \(k \ge -\tfrac{7}{4}\).
• \(k > -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta < 0\), \(k+2 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta = 0\), \(k+2 = \tfrac{1}{4} > 0\); radice doppia \(x_0 = \tfrac{1}{2(k+2)} = 2\); disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
• \(-2 < k < -\tfrac{7}{4}\): \(\Delta > 0\), \(k+2 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); positivo esternamente; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
• \(k < -2\): \(\Delta > 0\), \(k+2 < 0\) (concavità \(\downarrow\)); positivo internamente; \(S = (x_1, x_2)\).
Esercizio del 27/01/2026 - 11:30 — livello ★★★★☆
\[ x^2 - 2kx + k^2 - 1 \ge 0 \]
Risultato
Per ogni \(k\), \(S = (-\infty,\; k-1] \cup [k+1,\; +\infty)\).
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-1) = 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Radici
\[ x_{1,2} = \frac{2k \pm 2}{2} = k \pm 1 \]
Parabola verso l'alto con radici \(k-1 < k+1\); disuguaglianza non stretta; \(S = (-\infty,\, k-1] \cup [k+1,\, +\infty)\).
Esercizio del 29/01/2026 - 08:30 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + kx + k > 0 \]
Risultato
• \(k \in (0, 4)\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 0\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
• \(k = 4\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
• \(k < 0\) oppure \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4k = k(k-4) \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k \in (0,4)\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; k=0\) (radice \(x_0=0\)) oppure \(k=4\) (radice \(x_0=-2\)): disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; k < 0\) o \(k > 4\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 29/01/2026 - 10:45 — livello ★★★★☆
\[ (k-1)x^2 + (k+1)x + 1 < 0 \]
Risultato
• \(k = 1\): \(S = \left(-\infty,\, -\tfrac{1}{2}\right)\)
• \(k > 1\): \(S = (x_1, x_2)\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Caso \(k = 1\) — equazione lineare
\(2x + 1 < 0 \;\Rightarrow\; x < -\tfrac{1}{2}\); \(S = \left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right)\).
Caso \(k \neq 1\) — equazione quadratica
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4(k-1) = k^2 - 2k + 5 = (k-1)^2 + 4 \ge 4 > 0 \quad \forall\, k \]
Il discriminante è sempre positivo: il trinomio ha sempre due radici reali distinte.
• \(k > 1\): \(k-1 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); negativo tra le radici; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(k < 1\): \(k-1 < 0\) (concavità \(\downarrow\)); negativo esternamente alle radici; \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 03/02/2026 - 09:00 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - k^2 x + 1 > 0 \]
Risultato
• \(|k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(|k| = \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(|k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^4 - 4 \]
Studio
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; k^4 < 4 \;\Leftrightarrow\; k^2 < 2 \;\Leftrightarrow\; |k| < \sqrt{2}\): \(S = \mathbb{R}\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \sqrt{2}\): \(k^2 = 2\), radice doppia \(x_0 = k^2/2 = 1\); disuguaglianza stretta; \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \sqrt{2}\): \(S = (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\).
Esercizio del 03/02/2026 - 11:15 — livello ★★★★☆
\[ x^2 + 2kx + k^2 - 4 \ge 0 \]
Risultato
Per ogni \(k\), \(S = (-\infty,\; -k-2] \cup [-k+2,\; +\infty)\).
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = 4k^2 - 4(k^2-4) = 16 > 0 \quad \forall\, k \]
Radici
\[ x_{1,2} = \frac{-2k \pm 4}{2} = -k \pm 2 \]
Parabola verso l'alto con radici \(-k-2 < -k+2\); disuguaglianza non stretta; \(S = (-\infty,\, -k-2] \cup [-k+2,\, +\infty)\).
Esercizio del 05/02/2026 - 08:50 — livello ★★★★☆
\[ x^2 - (k+1)x + k > 0 \]
Risultato
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2 - (k+1)x + k = (x-1)(x-k) \]
Discriminante (verifica)
\[ \Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \ge 0 \quad \forall\, k \]
Studio del segno
• \(k = 1\): radice doppia \(x = 1\); \((x-1)^2 > 0\) per ogni \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k < 1\): radici ordinate \(k < 1\); prodotto \(> 0\) esternamente; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k > 1\): radici ordinate \(1 < k\); prodotto \(> 0\) esternamente; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).
Esercizio del 05/02/2026 - 10:00 — livello ★★★★★
\[ (k-2)x^2 + 2x + 1 \ge 0 \]
Risultato
• \(k = 2\): \(S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\)
• \(k > 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(k = 3\): \(S = \mathbb{R}\)
• \(2 < k < 3\): \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\)
• \(k < 2\): \(S = [x_1, x_2]\)
Svolgimento
Caso \(k = 2\) — equazione lineare
\(2x + 1 \ge 0 \;\Rightarrow\; S = \left[-\tfrac{1}{2}, +\infty\right)\).
Caso \(k \neq 2\) — equazione quadratica
\[ \Delta = 4 - 4(k-2) = 12 - 4k \]
• \(k > 3\): \(\Delta < 0\), \(k-2 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); \(S = \mathbb{R}\).
• \(k = 3\): \(\Delta = 0\), radice doppia \(x_0 = -1\), \(k-2 = 1 > 0\); disuguaglianza non stretta; \(S = \mathbb{R}\).
• \(2 < k < 3\): \(\Delta > 0\), \(k-2 > 0\) (concavità \(\uparrow\)); \(S = (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\).
• \(k < 2\): \(\Delta > 0\), \(k-2 < 0\) (concavità \(\downarrow\)); \(S = [x_1, x_2]\).
Esercizio del 10/02/2026 - 09:20 — livello ★★★★★
\[ x^2 + kx + k^2 - 1 < 0 \]
Risultato
• \(|k| < \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = (x_1, x_2)\) con \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{4-3k^2}}{2}\)
• \(|k| \ge \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): \(S = \emptyset\)
Svolgimento
Discriminante
\[ \Delta = k^2 - 4(k^2-1) = -3k^2 + 4 \]
Studio
• \(\Delta > 0 \;\Leftrightarrow\; 3k^2 < 4 \;\Leftrightarrow\; |k| < \tfrac{2}{\sqrt{3}} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): parabola verso l'alto, negativa tra le radici; \(S = (x_1, x_2)\).
• \(\Delta = 0 \;\Leftrightarrow\; |k| = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): radice doppia, trinomio \(\ge 0\); disuguaglianza stretta; \(S = \emptyset\).
• \(\Delta < 0 \;\Leftrightarrow\; |k| > \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\): nessuna radice reale, trinomio sempre \(> 0\); \(S = \emptyset\).
Esercizio del 10/02/2026 - 11:00 — livello ★★★★★
\[ (x-k)(x-1) > 0 \]
Risultato
• \(k < 1\): \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\)
• \(k = 1\): \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\)
• \(k > 1\): \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\)
Svolgimento
Radici
\[ x = k \qquad x = 1 \]
Studio del segno
• \(k < 1\): radici ordinate \(k < 1\); prodotto \(> 0\) esternamente; \(S = (-\infty, k) \cup (1, +\infty)\).
• \(k = 1\): radice doppia \((x-1)^2 > 0\) per ogni \(x \neq 1\); \(S = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
• \(k > 1\): radici ordinate \(1 < k\); prodotto \(> 0\) esternamente; \(S = (-\infty, 1) \cup (k, +\infty)\).