Divisione tra Polinomi: Esercizi Svolti

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Il dividendo si scompone in \((x+2)(x+3)\): la divisione sarà esatta. L'algoritmo lo conferma in due soli passi.

Passo 1

Divido il termine di grado massimo: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x+2)=x^2+2x\). Cambio i segni e sommo: \(x^2\) si annulla. Polinomio restante: \(3x+6\).

Passo 2

Divido: \(3x\div x=3\). Moltiplico: \(3(x+2)=3x+6\). Cambio i segni: \(3x\) e \(6\) si annullano. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Si riconosce la forma \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) con \(a=x\) e \(b=3\). Il termine \(0x\) va inserito come segnaposto.

Passo 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-3)=x^2-3x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(3x-9\).

Passo 2

Divido: \(3x\div x=3\). Moltiplico: \(3(x-3)=3x-9\). Cambio i segni: \(3x\) e \(-9\) si annullano. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Poiché \(f(1)=1+2-3=0\), il teorema del resto garantisce che \((x-1)\) divide esattamente il dividendo.

Passo 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(3x-3\).

Passo 2

Divido: \(3x\div x=3\). Moltiplico: \(3(x-1)=3x-3\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Il coefficiente direttore del dividendo è \(2\): il primo termine del quoziente sarà \(2x\). La divisione è esatta perché \(f(-1)=0\).

Passo 1

Divido: \(2x^2\div x=2x\). Moltiplico: \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Cambio i segni: \(2x^2\) si annulla. Restante: \(-3x-3\).

Passo 2

Divido: \(-3x\div x=-3\). Moltiplico: \(-3(x+1)=-3x-3\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]

Idea risolutiva

Per il teorema del resto \(R=f(1)=1+1=2\neq0\): la divisione non è esatta. Il termine \(0x\) va esplicitato come segnaposto.

Passo 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(x+1\).

Passo 2

Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: \(x\) si annulla; \(1+1=2\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]

Verifica: \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Formula: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) con \(a=x,\;b=2\). I termini \(0x^2\) e \(0x\) vanno esplicitati.

Passo 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(2x^2-8\).

Passo 2

Divido: \(2x^2\div x=2x\). Moltiplico: \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Cambio i segni: \(2x^2\) si annulla. Restante: \(4x-8\).

Passo 3

Divido: \(4x\div x=4\). Moltiplico: \(4(x-2)=4x-8\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Formula: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) con \(a=x,\;b=1\). Verifica subito: \(f(-1)=-1+1=0\).

Passo 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(-x^2+1\).

Passo 2

Divido: \(-x^2\div x=-x\). Moltiplico: \(-x(x+1)=-x^2-x\). Cambio i segni: \(-x^2\) si annulla. Restante: \(x+1\).

Passo 3

Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x+1)=x+1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]

Idea risolutiva

Manca il termine \(x^2\): va inserito come \(0x^2\). Per il teorema del resto \(f(1)=1+1+1=3\neq0\), quindi il resto è \(3\).

Passo 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(x^2+x+1\).

Passo 2

Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(2x+1\).

Passo 3

Divido: \(2x\div x=2\). Moltiplico: \(2(x-1)=2x-2\). Cambio i segni: \(2x\) si annulla; \(1+2=3\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]

Verifica: \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Il dividendo è \((x-1)^3\). Dividere per \((x-1)\) restituisce \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Verifica: \(f(1)=0\).

Passo 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(-2x^2+3x-1\).

Passo 2

Divido: \(-2x^2\div x=-2x\). Moltiplico: \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Cambio i segni: \(-2x^2\) si annulla. Restante: \(x-1\).

Passo 3

Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]

Idea risolutiva

Per il teorema del resto \(R=f(2)=4-6+1=-1\neq0\). Il quoziente ha grado \(1\).

Passo 1

Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-2)=x^2-2x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(-x+1\).

Passo 2

Divido: \(-x\div x=-1\). Moltiplico: \(-1\cdot(x-2)=-x+2\). Cambio i segni: \(-x\) si annulla; \(1-2=-1\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]

Verifica: \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

\(f(1)=1+1-1-1=0\): la divisione è esatta. Il quoziente \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) è un quadrato perfetto.

Passo 1

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(2x^2-x-1\).

Passo 2

Divido: \(2x^2\div x=2x\). Moltiplico: \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Cambio i segni: \(2x^2\) si annulla. Restante: \(x-1\).

Passo 3

Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]

Idea risolutiva

Manca \(x^2\): si inserisce \(0x^2\). Il teorema del resto dà \(f(-2)=-16+6+1=-9\): conferma il resto.

Passo 1

Divido: \(2x^3\div x=2x^2\). Moltiplico: \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Cambio i segni: \(2x^3\) si annulla. Restante: \(-4x^2-3x+1\).

Passo 2

Divido: \(-4x^2\div x=-4x\). Moltiplico: \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Cambio i segni: \(-4x^2\) si annulla. Restante: \(5x+1\).

Passo 3

Divido: \(5x\div x=5\). Moltiplico: \(5(x+2)=5x+10\). Cambio i segni: \(5x\) si annulla; \(1-10=-9\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]

Verifica: \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Il divisore \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) ha grado 2: il quoziente avrà grado \(3-2=1\) e il resto al massimo grado \(1\).

Passo 1

Divido: \(x^3\div x^2=x\). Moltiplico: \(x(x^2-1)=x^3-x\). Cambio i segni: \(x^3\) e \(-x\) si annullano. Restante: \(2x^2-2\).

Passo 2

Divido: \(2x^2\div x^2=2\). Moltiplico: \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)

\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]

Idea risolutiva

Il divisore ha grado 2 e il dividendo grado 3: il quoziente avrà grado \(1\). Il resto avrà grado al massimo \(1\), cioè è della forma \(ax+b\).

Passo 1

Divido: \(2x^3\div x^2=2x\). Moltiplico: \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Cambio i segni: \(2x^3\) si annulla. Restante: \(x^2-3x+6\).

Passo 2

Divido: \(x^2\div x^2=1\). Moltiplico: \(x^2-x-2\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(-2x+8\). Grado \(1<2\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]

Verifica: \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]

Idea risolutiva

Manca il termine \(x^3\): si inserisce \(0x^3\). Il quoziente avrà grado \(4-2=2\). Il resto è una costante.

Passo 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Cambio i segni: \(x^4\) e \(x^3\) si annullano. Restante: \(-x^3+x^2+x-1\).

Passo 2

Divido: \(-x^3\div x^2=-x\). Moltiplico: \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Cambio i segni: \(-x^3\), \(x^2\) e \(x\) si annullano. Restante: \(2x^2+2x-1\).

Passo 3

Divido: \(2x^2\div x^2=2\). Moltiplico: \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Cambio i segni: \(2x^2\) e \(2x\) si annullano; \(-1-2=-3\). Grado \(0<2\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]

Verifica: \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Mancano \(x^3\) e \(x\): si inseriscono come \(0x^3\) e \(0x\). Si riconosce \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\).

Passo 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Cambio i segni: \(x^4\) si annulla. Restante: \(-4x^2+4\).

Passo 2

Divido: \(-4x^2\div x^2=-4\). Moltiplico: \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]

Idea risolutiva

Grado dividendo 3, grado divisore 2: quoziente di grado \(1\), resto di grado al massimo \(1\). Il resto non è nullo e va calcolato completamente.

Passo 1

Divido: \(3x^3\div x^2=3x\). Moltiplico: \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Cambio i segni: \(3x^3\) si annulla. Restante: \(-5x^2+4x-4\).

Passo 2

Divido: \(-5x^2\div x^2=-5\). Moltiplico: \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Cambio i segni: \(-5x^2\) si annulla. Restante: \(9x-9\). Grado \(1<2\): ci fermiamo.

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]

Verifica: \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Il divisore \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). Sia \(f(1)\) che \(f(-2)\) sono nulli: la divisione è esatta. Il quoziente è a sua volta scomponibile.

Passo 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Cambio i segni: \(x^4\) si annulla. Restante: \(-2x^3-5x^2+x+6\).

Passo 2

Divido: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Moltiplico: \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Cambio i segni: \(-2x^3\) si annulla. Restante: \(-3x^2-3x+6\).

Passo 3

Divido: \(-3x^2\div x^2=-3\). Moltiplico: \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Identità della serie geometrica: \(\displaystyle\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1\). Tutti i termini intermedi del dividendo sono nulli.

Passo 1

Divido: \(x^5\div x=x^4\). Moltiplico: \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Cambio i segni: \(x^5\) si annulla. Restante: \(x^4-1\).

Passo 2

Divido: \(x^4\div x=x^3\). Moltiplico: \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Cambio i segni: \(x^4\) si annulla. Restante: \(x^3-1\).

Passo 3

Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(x^2-1\).

Passo 4

Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(x-1\).

Passo 5

Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)

\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]

Idea risolutiva

Il dividendo si fattorizza come \(x(x-2)(x^2-1)\) e il divisore come \(x(x-2)\): la divisione è esatta in soli due passi.

Passo 1

Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Cambio i segni: \(x^4\) e \(-2x^3\) si annullano. Restante: \(-x^2+2x\).

Passo 2

Divido: \(-x^2\div x^2=-1\). Moltiplico: \(-1\cdot(x^2-2x)=-x^2+2x\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).

Schema completo

Risultato

\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]

Verifica: \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)