Esercizi Svolti - Prodotti Notevoli

\[ x^2 + 6x + 9 \]

Idea risolutiva

L'espressione è il quadrato di un binomio della forma \((a + b)^2\). Si applica direttamente la formula del quadrato del binomio somma, che evita di moltiplicare il binomio per se stesso.

Formula utilizzata

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

Confrontando \((x + 3)^2\) con il modello \((a + b)^2\): \[ a = x \qquad b = 3 \]

Applicazione della formula

Si sostituiscono \(a = x\) e \(b = 3\) nella formula:

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \(x^2\)

Termine centrale: \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\)

Ultimo termine: \(3^2 = 9\)

Risultato

\[ \boxed{x^2 + 6x + 9} \]

\[ x^2 - 8x + 16 \]

Idea risolutiva

Si riconosce il quadrato di un binomio differenza \((a - b)^2\). La formula è analoga a quella della somma, ma il termine centrale cambia segno.

Formula utilizzata

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x \qquad b = 4 \]

Applicazione della formula

\[ (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \(x^2\)

Termine centrale: \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), con segno negativo: \(-8x\)

Ultimo termine: \(4^2 = 16\)

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 8x + 16} \]

\[ x^2 - 25 \]

Idea risolutiva

Il prodotto è della forma \((a + b)(a - b)\): una somma moltiplicata per la corrispondente differenza. Si applica la formula della differenza di quadrati, che produce un risultato composto da soli due termini.

Formula utilizzata

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x \qquad b = 5 \]

Applicazione della formula

\[ (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 \]

Calcolo

\[ x^2 - 25 \]

Risultato

\[ \boxed{x^2 - 25} \]

\[ 4x^2 + 4x + 1 \]

Idea risolutiva

La struttura è ancora \((a + b)^2\), ma ora \(a = 2x\) contiene un coefficiente. Bisogna prestare attenzione al calcolo di \(a^2 = (2x)^2\), che non è \(2x^2\) bensì \(4x^2\).

Formula utilizzata

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = 2x \qquad b = 1 \]

Applicazione della formula

\[ (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \((2x)^2 = 4x^2\)

Termine centrale: \(2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x\)

Ultimo termine: \(1^2 = 1\)

Risultato

\[ \boxed{4x^2 + 4x + 1} \]

\[ 9x^2 - 30x + 25 \]

Idea risolutiva

Si ha il quadrato di un binomio differenza con coefficiente davanti alla \(x\). Si applica \((a - b)^2\) con \(a = 3x\).

Formula utilizzata

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = 3x \qquad b = 5 \]

Applicazione della formula

\[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 5 + 5^2 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \((3x)^2 = 9x^2\)

Termine centrale: \(2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x\), con segno negativo: \(-30x\)

Ultimo termine: \(5^2 = 25\)

Risultato

\[ \boxed{9x^2 - 30x + 25} \]

\[ 16x^2 - 9 \]

Idea risolutiva

Si tratta di una differenza di quadrati con coefficiente. La formula si applica direttamente identificando correttamente \(a = 4x\).

Formula utilizzata

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = 4x \qquad b = 3 \]

Applicazione della formula

\[ (4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - 3^2 \]

Calcolo

\[ (4x)^2 = 16x^2 \qquad 3^2 = 9 \]

Risultato

\[ \boxed{16x^2 - 9} \]

\[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]

Idea risolutiva

L'espressione è il cubo di un binomio somma \((a + b)^3\). La formula produce quattro termini con coefficienti binomiali \(1, 3, 3, 1\).

Formula utilizzata

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x \qquad b = 2 \]

Applicazione della formula

\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \(x^3\)

Secondo termine: \(3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2\)

Terzo termine: \(3 \cdot x \cdot 4 = 12x\)

Quarto termine: \(2^3 = 8\)

Risultato

\[ \boxed{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} \]

\[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]

Idea risolutiva

Si applica la formula del cubo del binomio differenza \((a - b)^3\). I segni si alternano: \(+, -, +, -\).

Formula utilizzata

\[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x \qquad b = 1 \]

Applicazione della formula

\[ (x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 \]

Calcolo di ogni termine

Ogni potenza di \(1\) vale \(1\), quindi i coefficienti numerici non cambiano:

Primo termine: \(x^3\)

Secondo termine: \(-3x^2\)

Terzo termine: \(+3x\)

Quarto termine: \(-1\)

Risultato

\[ \boxed{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} \]

\[ 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 \]

Idea risolutiva

Si applica \((a + b)^3\) con \(a = 2x\). L'attenzione va posta nel calcolo di \((2x)^3\) e \((2x)^2\), che coinvolgono il cubo e il quadrato del coefficiente \(2\).

Formula utilizzata

\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = 2x \qquad b = 3 \]

Applicazione della formula

\[ (2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \((2x)^3 = 8x^3\)

Secondo termine: \(3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2\)

Terzo termine: \(3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x\)

Quarto termine: \(3^3 = 27\)

Risultato

\[ \boxed{8x^3 + 36x^2 + 54x + 27} \]

\[ x^4 + 2x^2 y + y^2 \]

Idea risolutiva

Si applica \((a + b)^2\) dove uno dei due termini è già una potenza: \(a = x^2\). Bisogna ricordare che \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).

Formula utilizzata

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x^2 \qquad b = y \]

Applicazione della formula

\[ (x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 \]

Calcolo di ogni termine

Primo termine: \((x^2)^2 = x^4\)   (si moltiplicano gli esponenti)

Termine centrale: \(2x^2 y\)

Ultimo termine: \(y^2\)

Risultato

\[ \boxed{x^4 + 2x^2 y + y^2} \]

\[ x^3 + 1 \]

Idea risolutiva

Si riconosce la formula della somma di cubi: il secondo fattore \(x^2 - x + 1\) è esattamente il complementare di \((x + 1)\) previsto dalla formula. Riconoscere questo schema evita un lungo sviluppo algebrico.

Formula utilizzata

\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x \qquad b = 1 \]

Verifica del secondo fattore

Il secondo fattore deve corrispondere a \(a^2 - ab + b^2\):

\[ x^2 - x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - x + 1 \checkmark \]

Applicazione della formula

\[ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1 \]

Risultato

\[ \boxed{x^3 + 1} \]

\[ x^3 - 8 \]

Idea risolutiva

Si riconosce la formula della differenza di cubi: il secondo fattore \(x^2 + 2x + 4\) è il complementare associato a \((x - 2)\).

Formula utilizzata

\[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]

Identificazione di \(a\) e \(b\)

\[ a = x \qquad b = 2 \]

Verifica del secondo fattore

\[ a^2 + ab + b^2 = x^2 + 2x + 4 \checkmark \]

Applicazione della formula

\[ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8 \]

Risultato

\[ \boxed{x^3 - 8} \]

\[ 2x^2 + 2 \]

Idea risolutiva

Si sviluppano separatamente i due quadrati di binomio e poi si sommano i polinomi ottenuti, raccogliendo i termini simili.

Sviluppo di \((x+1)^2\)

\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]

Sviluppo di \((x-1)^2\)

\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]

Somma dei due sviluppi

\[ (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 2x + 1) \]

Raccolta dei termini simili

I termini in \(x\) si cancellano: \(+2x - 2x = 0\).

\[ x^2 + x^2 + 2x - 2x + 1 + 1 = 2x^2 + 2 \]

Risultato

\[ \boxed{2x^2 + 2} \]

\[ 12x \]

Idea risolutiva

Si sviluppano entrambi i quadrati di binomio, poi si sottrae. In alternativa si può usare la differenza di quadrati: se \(A = (x+3)\) e \(B = (x-3)\), allora \(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)\).

Metodo diretto — sviluppo

\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

\[ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]

Sottrazione

\[ (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) \]

Distribuendo il segno meno:

\[ x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 \]

Raccolta dei termini simili

\(x^2\) e \(9\) si cancellano a coppie:

\[ 6x + 6x = 12x \]

Risultato

\[ \boxed{12x} \]

\[ 4xy \]

Idea risolutiva

Si sviluppano i due quadrati e si sottrae, oppure — con maggiore eleganza — si applica la differenza di quadrati ponendo \(A = x+y\) e \(B = x-y\), ottenendo \((A+B)(A-B)\).

Metodo con differenza di quadrati

Sia \(A = x+y\) e \(B = x-y\). Allora:

\[ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) \]

\[ A + B = (x+y) + (x-y) = 2x \]

\[ A - B = (x+y) - (x-y) = 2y \]

Prodotto

\[ (2x)(2y) = 4xy \]

Risultato

\[ \boxed{4xy} \]

\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]

Idea risolutiva

Si tratta la quantità \((x+y)\) come una singola entità e si applica \((a + b)^2\) con \(a = x+y\) e \(b = 2\). Solo in un secondo momento si espande \((x+y)^2\).

Primo passo: applicazione della formula con \(a = x+y,\ b = 2\)

\[ \left[(x+y)+2\right]^2 = (x+y)^2 + 2 \cdot (x+y) \cdot 2 + 2^2 \]

Secondo passo: sviluppo di \((x+y)^2\)

\[ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]

Terzo passo: sviluppo del termine centrale

\[ 2 \cdot (x+y) \cdot 2 = 4(x+y) = 4x + 4y \]

Raccolta finale

\[ x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4 \]

Risultato

\[ \boxed{x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4} \]

\[ x^4 - 2x^2 + 1 \]

Idea risolutiva

Invece di sviluppare separatamente i due quadrati e poi moltiplicare, conviene raggruppare sfruttando le proprietà delle potenze: \((x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2\).

Passo 1: raggruppamento strategico

\[ (x+1)^2 \cdot (x-1)^2 = \left[(x+1)(x-1)\right]^2 \]

Passo 2: differenza di quadrati all'interno

\[ (x+1)(x-1) = x^2 - 1 \]

Passo 3: quadrato del risultato

\[ (x^2 - 1)^2 \]

Si applica \((a - b)^2\) con \(a = x^2,\ b = 1\):

\[ = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \]

Risultato

\[ \boxed{x^4 - 2x^2 + 1} \]

\[ 6x^2 + 2 \]

Idea risolutiva

Si sviluppano i due cubi separatamente, poi si effettua la sottrazione raccogliendo i termini simili. Particolare attenzione va posta nel distribuire correttamente il segno meno davanti al secondo cubo.

Sviluppo di \((x+1)^3\)

\[ (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]

Sviluppo di \((x-1)^3\)

\[ (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]

Sottrazione (distribuire il segno meno)

\[ (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \]

\[ = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \]

Raccolta dei termini simili

\(x^3 - x^3 = 0\)    \(3x - 3x = 0\)    \(3x^2 + 3x^2 = 6x^2\)    \(1 + 1 = 2\)

\[ = 6x^2 + 2 \]

Risultato

\[ \boxed{6x^2 + 2} \]

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Idea risolutiva

Il quadrato del trinomio non è un prodotto notevole elementare, ma si riconduce ad esso raggruppando due dei tre termini: si tratta \((a+b)\) come un'unica entità e si applica \((a+b+c)^2 = \left[(a+b)+c\right]^2\).

Passo 1: raggruppamento

Sia \(P = a + b\). Allora:

\[ (a+b+c)^2 = (P + c)^2 = P^2 + 2Pc + c^2 \]

Passo 2: sviluppo di \(P^2 = (a+b)^2\)

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Passo 3: sviluppo di \(2Pc\)

\[ 2(a+b)c = 2ac + 2bc \]

Passo 4: raccolta finale

\[ a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \]

Riordinando per convenzione:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]

Regola mnemonica

Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini più il doppio di tutti i prodotti a coppie distinte.

Risultato

\[ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc} \]

\[ x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]

Idea risolutiva

L'espressione coinvolge tre blocchi distinti. Prima si semplifica ciascun blocco usando i prodotti notevoli, poi si combinano i risultati. La chiave è accorgersi che il primo blocco si riduce esattamente al secondo, permettendo una cancellazione immediata.

Semplificazione del primo blocco

Si usa la proprietà delle potenze: \(A^2 \cdot B^2 = (AB)^2\).

\[ (x+y)^2(x-y)^2 = \left[(x+y)(x-y)\right]^2 \]

Si applica la differenza di quadrati al prodotto interno:

\[ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \]

Quindi il primo blocco diventa:

\[ (x^2 - y^2)^2 \]

Sostituzione nell'espressione

\[ (x^2 - y^2)^2 - (x^2 - y^2)^2 + (x^2 + y^2)^2 \]

Cancellazione

I primi due termini sono identici e si cancellano:

\[ 0 + (x^2 + y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 \]

Sviluppo del termine rimanente

Si applica \((a+b)^2\) con \(a = x^2,\ b = y^2\):

\[ (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 \]

Risultato

\[ \boxed{x^4 + 2x^2y^2 + y^4} \]