Il teorema degli intervalli annidati — noto anche come teorema di Cantor sugli intervalli annidati — è uno dei risultati fondamentali dell'analisi reale: esso afferma che una successione di intervalli chiusi e limitati, contenuti l'uno nell'altro, possiede sempre almeno un punto in comune.
Questo risultato è una conseguenza della completezza dei numeri reali e costituisce uno strumento essenziale per dimostrare numerosi teoremi fondamentali, tra cui il teorema di Bolzano-Weierstrass.
Nelle sezioni che seguono enunceremo il teorema, ne forniremo la dimostrazione, ne discuteremo l'interpretazione geometrica, mostreremo perché le ipotesi sono indispensabili e analizzeremo il legame con la completezza di \(\mathbb{R}\).
Indice
- Teorema degli intervalli annidati
- Interpretazione geometrica
- Le ipotesi sono necessarie
- Esempi di applicazione
- Relazione con la completezza di \(\mathbb{R}\)
Teorema degli intervalli annidati
Consideriamo una successione di intervalli chiusi e limitati
\[ I_n=[a_n,b_n],\qquad a_n\leq b_n,\qquad n\in\mathbb{N}, \]
tali che ogni intervallo sia contenuto nel precedente:
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Una tale successione prende il nome di successione di intervalli annidati. La condizione di inclusione \(I_{n+1}\subseteq I_n\) equivale a
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \qquad \forall n\in\mathbb{N}, \]
ossia: gli estremi inferiori formano una successione crescente e gli estremi superiori una successione decrescente.
Teorema (di Cantor, degli intervalli annidati). Sia \((I_n)\) una successione di intervalli chiusi e limitati, non vuoti, tali che
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Allora l'intersezione è non vuota:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Più precisamente, posto
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n \qquad\text{e}\qquad y_0=\inf_{n}\,b_n, \]
si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0]. \]
Se inoltre l'ampiezza degli intervalli tende a zero,
\[ b_n-a_n\longrightarrow 0, \]
allora l'intersezione si riduce a un solo punto:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Dimostrazione. Procediamo per passi.
1. Confronto fra estremi. Per ogni coppia di indici \(m,n\in\mathbb{N}\) vale
\[ a_m\leq b_n. \]
Infatti, se \(m\leq n\) si ha \(a_m\leq a_n\leq b_n\); se invece \(m\gt n\) si ha \(a_m\leq b_m\leq b_n\). In ogni caso \(a_m\leq b_n\). Ne segue che ciascun \(b_n\) è un maggiorante dell'insieme \(\{a_m:m\in\mathbb{N}\}\) e, simmetricamente, ciascun \(a_m\) è un minorante dell'insieme \(\{b_n:n\in\mathbb{N}\}\).
2. Esistenza di \(x_0\) e \(y_0\). L'insieme \(\{a_n\}\) è non vuoto e limitato superiormente (per esempio da \(b_1\)). Per la completezza di \(\mathbb{R}\) esiste il suo estremo superiore
\[ x_0=\sup_{n}\,a_n. \]
Analogamente, \(\{b_n\}\) è non vuoto e limitato inferiormente, quindi esiste
\[ y_0=\inf_{n}\,b_n. \]
3. Disuguaglianza \(x_0\leq y_0\). Poiché ogni \(b_n\) è un maggiorante di \(\{a_m\}\) e \(x_0\) è il minimo dei maggioranti, risulta \(x_0\leq b_n\) per ogni \(n\). Dunque \(x_0\) è un minorante di \(\{b_n\}\) e, poiché \(y_0\) è il massimo dei minoranti,
\[ x_0\leq y_0. \]
4. Identificazione dell'intersezione. Mostriamo che \(\displaystyle\bigcap_{n} I_n=[x_0,y_0]\) per doppia inclusione.
Se \(x\in\bigcap_{n} I_n\), allora \(a_n\leq x\leq b_n\) per ogni \(n\); quindi \(x\) è un maggiorante di \(\{a_n\}\) e un minorante di \(\{b_n\}\), da cui \(x\geq x_0\) e \(x\leq y_0\), cioè \(x\in[x_0,y_0]\).
Viceversa, se \(x\in[x_0,y_0]\), allora per ogni \(n\)
\[ a_n\leq x_0\leq x\leq y_0\leq b_n, \]
e dunque \(x\in I_n\) per ogni \(n\), cioè \(x\in\bigcap_{n} I_n\). Le due inclusioni provano l'uguaglianza
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \]
che è non vuota poiché contiene \(x_0\).
5. Caso dell'ampiezza infinitesima. Supponiamo ora \(b_n-a_n\longrightarrow 0\). Dalle relazioni \(x_0\geq a_n\) e \(y_0\leq b_n\) segue, per ogni \(n\),
\[ 0\leq y_0-x_0\leq b_n-a_n. \]
Passando al limite per \(n\to+\infty\), il secondo membro tende a \(0\), quindi \(y_0-x_0=0\), cioè \(x_0=y_0\). L'intervallo \([x_0,y_0]\) si riduce allora a un solo punto:
\[ \boxed{ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[x_0,y_0], \qquad \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\} \ \text{se}\ b_n-a_n\to0. } \]
Questo conclude la dimostrazione. \(\blacksquare\)
Interpretazione geometrica
Il teorema afferma che, restringendo progressivamente una successione di intervalli chiusi contenuti l'uno nell'altro, non si possono «perdere» tutti i punti: ne sopravvive sempre almeno uno, comune a ogni intervallo della successione.
Geometricamente possiamo immaginare una successione di segmenti via via più corti, ciascuno interno al precedente. Se le ampiezze \(b_n-a_n\) non tendono a zero, l'intersezione è ancora un intervallo \([x_0,y_0]\) di ampiezza positiva; se invece le ampiezze diventano arbitrariamente piccole, i segmenti si concentrano attorno a un'unica posizione \(x_0\) della retta reale, e l'intersezione è quel singolo punto.
Le ipotesi sono necessarie
Le ipotesi che gli intervalli siano chiusi e limitati non sono superflue: se cade anche una sola di esse, la tesi può risultare falsa.
La limitatezza è essenziale. Consideriamo gli intervalli illimitati
\[ I_n=[\,n,+\infty\,). \]
Essi sono chiusi, non vuoti e annidati, ma la loro intersezione è vuota:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} [\,n,+\infty\,)=\varnothing, \]
poiché nessun numero reale è maggiore o uguale a ogni naturale \(n\).
La chiusura è essenziale. Consideriamo gli intervalli aperti
\[ I_n=\left(0,\tfrac1n\right). \]
Essi sono limitati, non vuoti e annidati, ma anche in questo caso
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\tfrac1n\right)=\varnothing, \]
perché un eventuale punto comune \(x\) dovrebbe soddisfare \(0\lt x\lt \tfrac1n\) per ogni \(n\), il che è impossibile, dato che \(\tfrac1n\to 0\).
Esempi di applicazione
Esempio 1. Consideriamo gli intervalli
\[ I_n=\left[0,\tfrac1n\right]. \]
Sono chiusi, limitati, non vuoti e annidati, e l'ampiezza \(\tfrac1n\to 0\). Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[0,\tfrac1n\right]=\{0\}. \]
Esempio 2. Consideriamo gli intervalli
\[ I_n=\left[-\tfrac1n,\tfrac1n\right]. \]
Anche qui l'ampiezza \(\tfrac2n\to 0\), e l'intersezione vale
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\tfrac1n,\tfrac1n\right]=\{0\}. \]
Esempio 3. Se invece l'ampiezza non tende a zero, l'intersezione è un intervallo non degenere. Per esempio, con
\[ I_n=\left[-\tfrac1n,\,1+\tfrac1n\right] \]
si ha \(x_0=\sup_n\!\left(-\tfrac1n\right)=0\) e \(y_0=\inf_n\!\left(1+\tfrac1n\right)=1\), da cui
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\tfrac1n,\,1+\tfrac1n\right]=[0,1]. \]
Relazione con la completezza di \(\mathbb{R}\)
Il teorema degli intervalli annidati è una conseguenza diretta della completezza dei numeri reali: nella dimostrazione abbiamo usato in modo essenziale l'esistenza dell'estremo superiore \(x_0=\sup_n a_n\) (e dell'estremo inferiore \(y_0=\inf_n b_n\)).
Questa proprietà non vale nel campo dei razionali. Costruiamo, per esempio, una successione di intervalli razionali annidati che «stringe» il numero irrazionale \(\sqrt{2}\): siano \(a_n\) e \(b_n\) i troncamenti decimali per difetto e per eccesso di \(\sqrt{2}\),
\[ a_1=1{,}4,\ a_2=1{,}41,\ a_3=1{,}414,\ \ldots \qquad b_n=a_n+10^{-n}. \]
Gli insiemi
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Essi sono annidati e hanno ampiezza \(10^{-n}\to 0\). In \(\mathbb R\) l'intersezione degli intervalli \([a_n,b_n]\) è \(\{\sqrt2\}\); ma in \(\mathbb Q\), dove \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), risulta
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Il teorema riflette dunque l'assenza di «buchi» nella retta reale.
Osservazione (caratterizzazione della completezza). Va precisato che la sola proprietà degli intervalli annidati non è equivalente alla completezza: essa lo diventa solo se affiancata alla proprietà archimedea di \(\mathbb{R}\). In altre parole, in un campo ordinato archimedeo, la proprietà degli intervalli annidati è equivalente alla proprietà dell'estremo superiore. È proprio la proprietà archimedea (cioè \(\tfrac1n\to 0\)) a garantire, nei nostri esempi, che l'ampiezza degli intervalli tenda effettivamente a zero.
Per questo motivo il teorema degli intervalli annidati rappresenta uno strumento fondamentale nell'analisi matematica e interviene nella dimostrazione di numerosi risultati classici, tra cui il teorema di Bolzano-Weierstrass e il teorema di Heine-Borel.