Una funzione è una corrispondenza tra due insiemi che associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) uno ed un solo elemento del secondo insieme (codominio).
In questo articolo studieremo la definizione formale di funzione, il significato di dominio, codominio e immagine, e le proprietà fondamentali di iniettività, suriettività, bijettività, funzione inversa e restrizione.
Indice
- Definizione di Funzione
- Dominio, Codominio e Immagine
- Funzioni Iniettive
- Esercizi sulle Funzioni Iniettive
- Funzioni Suriettive
- Esercizi sulle Funzioni Suriettive
- Funzioni Bijettive
- Funzione Inversa
- Esercizi sulle Funzioni Bijettive
- Restrizione di una Funzione
- Esercizi sulla Restrizione di Funzioni
Definizione di Funzione
Una funzione (o applicazione) è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme \(X\) uno ed un solo elemento di un insieme \(Y\).
Si scrive:
\[ f:X\to Y, \]
dove \(X\) è il dominio e \(Y\) il codominio.
Se \(x\in X\), il valore associato ad \(x\) mediante la funzione si indica con \(f(x)\) e prende il nome di immagine di \(x\).
La notazione:
\[ x\mapsto f(x) \]
descrive esplicitamente la corrispondenza definita dalla funzione.
La proprietà fondamentale di una funzione è l’unicità dell’immagine: per ogni elemento del dominio deve esistere uno ed un solo elemento del codominio associato ad esso.
Ad esempio:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2 \]
definisce una funzione, poiché ad ogni numero reale associa un unico numero reale.
Dominio, Codominio e Immagine
Data una funzione:
\[ f:X\to Y, \]
l’insieme \(X\) prende il nome di dominio, mentre \(Y\) è il codominio. L’insieme dei valori effettivamente assunti dalla funzione si chiama invece immagine.
In simboli:
\[ \operatorname{Im}(f)=f(X)=\{y\in Y \mid \exists x\in X:\ f(x)=y\}. \]
Vale sempre:
\[ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y, \]
cioè l’immagine è un sottoinsieme del codominio.
Consideriamo:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2. \]
In questo caso il dominio e il codominio coincidono con \(\mathbb{R}\), mentre:
\[ \operatorname{Im}(f)=[0,+\infty), \]
poiché il quadrato di un numero reale non può essere negativo.
Funzioni Iniettive
Una funzione:
\[ f:X\to Y \]
si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte:
\[ x_1\neq x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\neq f(x_2). \]
Equivalentemente:
\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Intuitivamente, una funzione iniettiva non “identifica” elementi distinti del dominio.
Consideriamo:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=2x+1. \]
Supponiamo:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora:
\[ 2x_1+1=2x_2+1 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
La funzione è dunque iniettiva.
La funzione:
\[ f(x)=x^2 \]
non è invece iniettiva, poiché:
\[ f(1)=f(-1)=1 \]
pur essendo:
\[ 1\neq -1. \]
Dal punto di vista grafico, una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico al più una volta. Questo criterio prende il nome di test della retta orizzontale.
Esercizi sulle Funzioni Iniettive
Esercizio 1. Determina se:
\[ f(x)=2x+3 \]
è iniettiva su \(\mathbb{R}\).
Soluzione. Supponiamo:
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Otteniamo:
\[ 2x_1+3=2x_2+3 \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
La funzione è quindi iniettiva.
Esercizio 2. Determina se:
\[ f(x)=x^2 \]
è iniettiva su \(\mathbb{R}\).
Soluzione. Si ha:
\[ f(2)=4 \qquad \text{e} \qquad f(-2)=4, \]
pur essendo:
\[ 2\neq -2. \]
La funzione non è quindi iniettiva.
Funzioni Suriettive
Una funzione:
\[ f:X\to Y \]
si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio:
\[ \forall y\in Y, \quad \exists x\in X \quad \text{tale che} \quad f(x)=y. \]
Equivalentemente:
\[ \operatorname{Im}(f)=Y. \]
Intuitivamente, una funzione suriettiva “copre” tutto il codominio.
Consideriamo:
\[ f(x)=2x+1. \]
Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Risolvendo:
\[ 2x+1=y, \]
otteniamo:
\[ x=\frac{y-1}{2}\in\mathbb{R}. \]
La funzione è quindi suriettiva.
La funzione:
\[ f(x)=x^2 \]
non è invece suriettiva da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\), poiché:
\[ x^2\ge0 \qquad \forall x\in\mathbb{R}. \]
Esercizi sulle Funzioni Suriettive
Esercizio 1. Determina se:
\[ f(x)=2x+3 \]
è suriettiva da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\).
Soluzione. Sia:
\[ y\in\mathbb{R}. \]
Risolvendo:
\[ 2x+3=y, \]
otteniamo:
\[ x=\frac{y-3}{2}\in\mathbb{R}. \]
La funzione è quindi suriettiva.
Esercizio 2. Determina se:
\[ f(x)=x^2 \]
è suriettiva da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\).
Soluzione. Non esiste alcun:
\[ x\in\mathbb{R} \]
tale che:
\[ x^2=-1. \]
La funzione non è quindi suriettiva.
Funzioni Bijettive
Una funzione:
\[ f:X\to Y \]
si dice bijettiva se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
In una funzione bijettiva ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio.
Le funzioni bijettive stabiliscono quindi una corrispondenza perfetta tra dominio e codominio e sono esattamente le funzioni che ammettono funzione inversa.
La funzione:
\[ f(x)=2x+1 \]
è bijettiva da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\), mentre:
\[ f(x)=x^2 \]
non è bijettiva da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\), poiché non è né iniettiva né suriettiva.
Funzione Inversa
Sia:
\[ f:X\to Y. \]
Una funzione:
\[ g:Y\to X \]
si dice funzione inversa di \(f\) se:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X \qquad \text{e} \qquad f\circ g=\operatorname{Id}_Y. \]
In tal caso:
\[ g=f^{-1}. \]
Equivalentemente:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \forall x\in X, \]
e:
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \forall y\in Y. \]
Una funzione ammette inversa se e solo se è bijettiva.
Inversa Sinistra e Iniettività
Sia:
\[ f:X\to Y \]
una funzione iniettiva con:
\[ X\neq\varnothing. \]
Allora esiste una funzione:
\[ g:Y\to X \]
tale che:
\[ g\circ f=\operatorname{Id}_X. \]
Una tale funzione prende il nome di inversa sinistra.
Per ogni:
\[ y\in f(X), \]
esiste infatti un unico:
\[ x\in X \]
tale che:
\[ f(x)=y. \]
Per gli elementi di:
\[ Y\setminus f(X), \]
il valore della funzione può essere definito arbitrariamente.
Inversa Destra e Suriettività
Sia:
\[ f:X\to Y \]
una funzione suriettiva.
Una funzione:
\[ h:Y\to X \]
tale che:
\[ f\circ h=\operatorname{Id}_Y \]
prende il nome di inversa destra.
Per costruire una tale funzione bisogna scegliere, per ogni:
\[ y\in Y, \]
un elemento:
\[ x\in X \]
tale che:
\[ f(x)=y. \]
In generale, l’esistenza di una simile scelta simultanea è collegata all’Assioma della Scelta.
Caso Bijettivo
Se una funzione è bijettiva, allora esistono un’unica inversa sinistra e un’unica inversa destra.
Inoltre esse coincidono e definiscono la funzione inversa:
\[ f^{-1}:Y\to X. \]
Consideriamo:
\[ f(x)=2x+1. \]
Risolvendo:
\[ y=2x+1 \]
rispetto ad \(x\), otteniamo:
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
L’inversa è quindi:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Esercizi sulle Funzioni Bijettive
Esercizio 1. Determina se:
\[ f(x)=3x-4 \]
è bijettiva da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\).
Soluzione. La funzione è iniettiva e suriettiva, quindi è bijettiva.
Risolvendo:
\[ y=3x-4, \]
otteniamo:
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+4}{3}. \]
Esercizio 2. Verifica se:
\[ f(x)=x^2 \]
è bijettiva da:
\[ [0,+\infty) \]
a:
\[ [0,+\infty). \]
Soluzione. In tale intervallo la funzione è iniettiva e ogni numero reale non negativo possiede una radice quadrata reale non negativa. La funzione è quindi bijettiva.
L’inversa è:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]
Restrizione di una Funzione
La restrizione di una funzione consiste nel limitare il dominio ad un sottoinsieme.
Questo procedimento è spesso utile per rendere una funzione iniettiva o bijettiva.
Ad esempio:
\[ f(x)=x^2 \]
non è iniettiva su \(\mathbb{R}\), ma la restrizione:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2 \]
è bijettiva.
Quando si restringe anche il codominio per ottenere una funzione suriettiva, si parla più precisamente di corestrizione.
Esercizi sulla Restrizione di Funzioni
Esercizio 1. Restringi il dominio di:
\[ f(x)=x^2 \]
affinché la funzione diventi bijettiva.
Soluzione. Consideriamo la restrizione:
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
In questo caso la funzione è iniettiva e suriettiva, quindi bijettiva.
L’inversa è:
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y}. \]