Le frazioni algebriche sono espressioni in cui compaiono polinomi al numeratore e al denominatore. Esse rappresentano una naturale estensione delle frazioni numeriche: così come una frazione numerica esprime il rapporto tra due numeri, una frazione algebrica esprime il rapporto tra due espressioni algebriche.
Tuttavia, rispetto alle frazioni numeriche, le frazioni algebriche richiedono un'attenzione ulteriore: il denominatore può dipendere da una o più variabili e quindi può annullarsi solo per alcuni valori. Per questo motivo non basta saper calcolare; occorre prima stabilire per quali valori l'espressione ha significato.
Indice
- Che cos'è una frazione algebrica
- Condizioni di esistenza e dominio
- Frazioni algebriche equivalenti
- Semplificazione delle frazioni algebriche
- Riduzione allo stesso denominatore
- Operazioni con le frazioni algebriche
- Espressioni con frazioni algebriche
- Equazioni con frazioni algebriche
- Errori da evitare
Che cos'è una frazione algebrica
Si chiama frazione algebrica un'espressione della forma
\[ \frac{A}{B} \]
dove \(A\) e \(B\) sono espressioni algebriche, con \(B\neq 0\). Nei casi più comuni \(A\) e \(B\) sono polinomi. L'espressione \(A\) si chiama numeratore, mentre \(B\) si chiama denominatore.
Per esempio,
\[ \frac{x+1}{x-2}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+3x+2}, \qquad \frac{2a-b}{a^2-b^2} \]
sono frazioni algebriche.
La presenza del denominatore è l'aspetto centrale della teoria. Infatti una frazione, numerica o algebrica, non ha significato quando il denominatore è nullo. Per questo motivo, prima di trasformare o semplificare una frazione algebrica, è necessario individuare i valori per cui il denominatore si annulla.
Condizioni di esistenza e dominio
Una frazione algebrica
\[ \frac{A(x)}{B(x)} \]
è definita per tutti i valori della variabile per cui il denominatore è diverso da zero:
\[ B(x)\neq 0. \]
Questa condizione prende il nome di condizione di esistenza. L'insieme dei valori che soddisfano tale condizione è il dominio della frazione algebrica.
Esempio
Consideriamo la frazione
\[ \frac{x+3}{x-5}. \]
Il denominatore è \(x-5\). Imponiamo che sia diverso da zero:
\[ x-5\neq 0. \]
Da cui
\[ x\neq 5. \]
Quindi la frazione è definita per tutti i valori reali di \(x\), escluso \(5\). Il dominio è
\[ \mathbb{R}\setminus\{5\}. \]
Esempio con denominatore scomponibile
Consideriamo
\[ \frac{x+1}{x^2-4}. \]
Il denominatore si annulla quando
\[ x^2-4=0. \]
Poiché
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
otteniamo
\[ (x-2)(x+2)\neq 0. \]
Un prodotto è diverso da zero se e solo se ciascun fattore è diverso da zero. Dunque
\[ x\neq 2 \quad \text{e} \quad x\neq -2. \]
Il dominio è
\[ \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}. \]
Frazioni algebriche equivalenti
Due frazioni algebriche sono equivalenti se assumono lo stesso valore per ogni valore della variabile appartenente al dominio comune.
La proprietà fondamentale è analoga a quella delle frazioni numeriche: moltiplicando numeratore e denominatore per una stessa espressione non nulla, si ottiene una frazione equivalente.
Se \(C\neq 0\), allora
\[ \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}, \qquad B\neq 0,\ C\neq 0. \]
Questa proprietà è alla base sia della semplificazione sia della riduzione allo stesso denominatore. La condizione \(C\neq 0\) non è un dettaglio formale: se si moltiplica o si divide per un'espressione che può annullarsi, si rischia di modificare il dominio dell'espressione.
Semplificazione delle frazioni algebriche
Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore comune non nullo. Per farlo correttamente, bisogna prima scomporre numeratore e denominatore in fattori.
Non si possono cancellare termini separati da somme o sottrazioni. Si possono cancellare solo fattori comuni.
Esempio
Semplifichiamo
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1}. \]
Prima scomponiamo numeratore e denominatore:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Quindi
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}. \]
Il fattore \(x+1\) è comune al numeratore e al denominatore. Possiamo semplificarlo, ricordando però che \(x+1\neq 0\), cioè \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}. \]
Dunque
\[ \frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{x-1}{x+1}, \qquad x\neq -1. \]
È importante osservare che la frazione semplificata ha lo stesso valore della frazione iniziale soltanto nel dominio della frazione iniziale. La semplificazione non autorizza a dimenticare le condizioni di esistenza.
Riduzione allo stesso denominatore
Per sommare o sottrarre frazioni algebriche, occorre ridurle allo stesso denominatore. Il denominatore comune più conveniente è di solito il minimo comune multiplo dei denominatori, calcolato dopo averli scomposti in fattori.
Il procedimento è il seguente:
- si scompongono i denominatori in fattori;
- si determina il minimo comune denominatore;
- si trasforma ciascuna frazione in una frazione equivalente con quel denominatore;
- si sommano o sottraggono i numeratori.
Esempio
Riduciamo allo stesso denominatore
\[ \frac{1}{x-1} \quad \text{e} \quad \frac{2}{x+1}. \]
I denominatori sono già scomposti. Il minimo comune denominatore è
\[ (x-1)(x+1). \]
Pertanto
\[ \frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} \]
e
\[ \frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Le condizioni di esistenza sono
\[ x\neq 1, \qquad x\neq -1. \]
Operazioni con le frazioni algebriche
Somma e differenza
Per sommare o sottrarre due frazioni algebriche con lo stesso denominatore, si sommano o si sottraggono i numeratori e si conserva il denominatore:
\[ \frac{A}{B}+\frac{C}{B} = \frac{A+C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Analogamente,
\[ \frac{A}{B}-\frac{C}{B} = \frac{A-C}{B}, \qquad B\neq 0. \]
Esempio
Calcoliamo
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}. \]
Il denominatore comune è \((x-1)(x+1)\). Quindi
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Ora possiamo sommare i numeratori:
\[ \frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ x+1+2x-2=3x-1. \]
Quindi
\[ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1} = \frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Le condizioni di esistenza sono
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1. \]
Prodotto
Il prodotto di due frazioni algebriche si ottiene moltiplicando i numeratori tra loro e i denominatori tra loro:
\[ \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}, \qquad B\neq 0,\ D\neq 0. \]
Prima di eseguire i prodotti è spesso conveniente scomporre in fattori e semplificare eventuali fattori comuni.
Esempio
Calcoliamo
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Quindi
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1}. \]
Possiamo semplificare il fattore \(x+1\) e un fattore \(x\), tenendo conto delle condizioni \(x\neq 0\) e \(x\neq -1\):
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}. \]
Dunque
\[ \frac{x^2-1}{x^2}\cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x}, \qquad x\neq 0,\ x\neq -1. \]
Quoziente
Dividere per una frazione algebrica significa moltiplicare per la sua reciproca, purché la frazione divisore sia diversa da zero:
\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}. \]
Le condizioni sono
\[ B\neq 0,\qquad D\neq 0,\qquad C\neq 0. \]
La condizione \(C\neq 0\) è necessaria perché la frazione \(\frac{C}{D}\), essendo il divisore, non può essere uguale a zero.
Espressioni con frazioni algebriche
Nelle espressioni contenenti frazioni algebriche è opportuno procedere con ordine. Prima si stabiliscono le condizioni di esistenza, poi si eseguono le operazioni rispettando la gerarchia delle parentesi e delle operazioni.
Esempio
Semplifichiamo
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Prima determiniamo le condizioni di esistenza:
\[ x-1\neq 0,\qquad x+1\neq 0,\qquad x\neq 0. \]
Quindi
\[ x\neq 1,\qquad x\neq -1,\qquad x\neq 0. \]
Ora lavoriamo sulla parentesi:
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}. \]
Il denominatore comune è \((x-1)(x+1)\), quindi
\[ \frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} \]
e
\[ \frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}. \]
Pertanto
\[ \frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1} = \frac{x(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ x(x+1)-(x-1)=x^2+x-x+1=x^2+1. \]
Quindi l'espressione diventa
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x^2-1}{x}. \]
Poiché
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
abbiamo
\[ \frac{x^2+1}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x}. \]
Semplificando i fattori comuni,
\[ \frac{x^2+1}{x}. \]
Dunque
\[ \left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot \frac{x^2-1}{x} = \frac{x^2+1}{x}, \qquad x\neq -1,\ 0,\ 1. \]
Equazioni con frazioni algebriche
Le equazioni che contengono frazioni algebriche si chiamano spesso equazioni fratte. La loro risoluzione richiede particolare attenzione, perché non tutte le soluzioni ottenute algebricamente sono necessariamente accettabili.
Il procedimento corretto è:
- determinare le condizioni di esistenza;
- risolvere l'equazione nel rispetto di tali condizioni;
- scartare eventuali valori che annullano uno dei denominatori iniziali.
Esempio
Risolviamo
\[ \frac{x+1}{x-2}=3. \]
La condizione di esistenza è
\[ x-2\neq 0, \]
cioè
\[ x\neq 2. \]
Moltiplichiamo entrambi i membri per \(x-2\), che è diverso da zero nel dominio dell'equazione:
\[ x+1=3(x-2). \]
Sviluppiamo:
\[ x+1=3x-6. \]
Portiamo i termini con \(x\) da una parte e i termini noti dall'altra:
\[ 1+6=3x-x. \]
Quindi
\[ 7=2x, \]
da cui
\[ x=\frac{7}{2}. \]
Poiché \(\frac{7}{2}\neq 2\), la soluzione è accettabile:
\[ S=\left\{\frac{7}{2}\right\}. \]
Esempio con valore da scartare
Risolviamo
\[ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}. \]
La condizione di esistenza è
\[ x-1\neq 0, \]
cioè
\[ x\neq 1. \]
Poiché i denominatori sono uguali e diversi da zero nel dominio, possiamo uguagliare i numeratori:
\[ x=1. \]
Tuttavia \(x=1\) non soddisfa la condizione di esistenza, perché annulla il denominatore. Quindi il valore trovato deve essere scartato.
L'equazione non ha soluzioni:
\[ S=\varnothing. \]
Errori da evitare
Il primo errore consiste nel semplificare termini invece di fattori. Per esempio,
\[ \frac{x+2}{x} \]
non può essere semplificata cancellando la \(x\), perché \(x\) non è un fattore comune dell'intero numeratore: compare solo come termine della somma \(x+2\).
Il secondo errore consiste nel dimenticare le condizioni di esistenza dopo una semplificazione. Per esempio,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \]
ma questa uguaglianza vale solo per
\[ x\neq 1. \]
Infatti la frazione iniziale non è definita per \(x=1\), mentre l'espressione \(x+1\) lo sarebbe. Dunque, come espressioni con dominio, le due scritture non sono identiche se non si conserva la condizione \(x\neq 1\).
Il terzo errore consiste nel moltiplicare entrambi i membri di un'equazione per un'espressione che può essere nulla senza aver prima stabilito il dominio. In un'equazione fratta, ogni trasformazione deve essere giustificata all'interno delle condizioni di esistenza.
Le frazioni algebriche non sono semplicemente frazioni con lettere. Sono espressioni razionali il cui significato dipende in modo essenziale dal denominatore. Per questo motivo ogni calcolo deve essere accompagnato dal controllo delle condizioni di esistenza.
Semplificare, sommare, moltiplicare o dividere frazioni algebriche significa applicare le stesse proprietà delle frazioni numeriche, ma con una maggiore attenzione al dominio. La regola fondamentale è sempre la stessa: si possono trasformare le espressioni solo in modo compatibile con i valori per cui esse sono definite.
Una conoscenza rigorosa delle frazioni algebriche è indispensabile per affrontare equazioni fratte, disequazioni razionali, funzioni razionali e molti argomenti successivi dell'algebra e dell'analisi matematica.