Esercizi Svolti sulle Proprietà delle Potenze

\[ 128 \]

Idea risolutiva

Le due potenze hanno la stessa base \(2\). Si applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base: si sommano gli esponenti e si mantiene la base invariata.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Identificazione di \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad m = 3 \qquad n = 4 \]

Applicazione della proprietà

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Calcolo numerico

\[ 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \]

Risultato

\[ \boxed{128} \]

\[ 25 \]

Idea risolutiva

Le due potenze hanno la stessa base \(5\). Si applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base: si sottrae l'esponente del divisore da quello del dividendo.

Proprietà utilizzata

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Identificazione di \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 5 \qquad m = 6 \qquad n = 4 \]

Applicazione della proprietà

\[ \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 \]

Calcolo numerico

\[ 5^2 = 25 \]

Risultato

\[ \boxed{25} \]

\[ 729 \]

Idea risolutiva

Si ha una potenza elevata a sua volta a un esponente: si applica la proprietà della potenza di una potenza, moltiplicando i due esponenti.

Proprietà utilizzata

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Identificazione di \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 3 \qquad m = 2 \qquad n = 3 \]

Applicazione della proprietà

\[ \left(3^2\right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

Calcolo numerico

\[ 3^6 = 729 \]

Risultato

\[ \boxed{729} \]

\[ 1000 \]

Idea risolutiva

Si ha il prodotto di due fattori elevato a un esponente. La proprietà della potenza di un prodotto permette di distribuire l'esponente su ciascun fattore.

Proprietà utilizzata

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Identificazione di \(a\), \(b\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad b = 5 \qquad n = 3 \]

Applicazione della proprietà

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \]

Calcolo numerico

\[ 2^3 = 8 \qquad 5^3 = 125 \]

\[ 8 \cdot 125 = 1000 \]

Risultato

\[ \boxed{1000} \]

\[ 16 \]

Idea risolutiva

Si ha un quoziente elevato a un esponente. Si può applicare la proprietà della potenza di un quoziente, oppure semplificare prima la frazione.

Metodo 1 — semplificazione diretta

\[ \frac{6}{3} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \]

Metodo 2 — proprietà della potenza di un quoziente

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16 \]

Risultato

\[ \boxed{16} \]

\[ x^9 \]

Idea risolutiva

Come nell'esercizio 1, ma con base letterale \(x\). Si sommano gli esponenti.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Applicazione

\[ x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9 \]

Risultato

\[ \boxed{x^9} \]

\[ x^5 \]

Proprietà utilizzata

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (x \neq 0) \]

Applicazione

\[ \frac{x^9}{x^4} = x^{9-4} = x^5 \]

Risultato

\[ \boxed{x^5} \]

\[ x^{15} \]

Proprietà utilizzata

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Applicazione

\[ \left(x^3\right)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \]

Risultato

\[ \boxed{x^{15}} \]

\[ 27x^3 \]

Idea risolutiva

Si applica la proprietà della potenza di un prodotto con \(a = 3\) e \(b = x\). Attenzione: l'esponente va distribuito anche sul coefficiente numerico, non solo sulla variabile.

Proprietà utilizzata

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Applicazione

\[ (3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 \]

Calcolo

\[ 3^3 = 27 \]

Risultato

\[ \boxed{27x^3} \]

\[ \dfrac{x^4}{16} \]

Proprietà utilizzata

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Applicazione

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{x^4}{16}} \]

\[ 49 \]

Idea risolutiva

Qualunque base non nulla elevata a \(0\) dà \(1\). Questa proprietà vale perché \(a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0\), ma anche \(a^m \div a^m = 1\).

Proprietà utilizzata

\[ a^0 = 1 \qquad (a \neq 0) \]

Applicazione

\[ 4^0 \cdot 7^2 = 1 \cdot 49 = 49 \]

Risultato

\[ \boxed{49} \]

\[ \dfrac{1}{9} \]

Idea risolutiva

Un esponente negativo indica il reciproco della potenza con esponente positivo. Non produce un risultato negativo, bensì una frazione.

Proprietà utilizzata

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0) \]

Applicazione

\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{1}{9}} \]

\[ x^4 \]

Idea risolutiva

Si applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base anche quando uno degli esponenti è negativo: la regola è identica, si sommano algebricamente gli esponenti.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Applicazione

\[ x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4 \]

Risultato

\[ \boxed{x^4} \]

\[ x^8\, y^{12} \]

Idea risolutiva

Il prodotto \(x^2 y^3\) è elevato alla quarta potenza. Si distribuisce l'esponente su ciascun fattore, poi si applica la potenza di potenza per ognuno.

Proprietà utilizzate

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{e} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Applicazione

\[ \left(x^2 y^3\right)^4 = \left(x^2\right)^4 \cdot \left(y^3\right)^4 = x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12} \]

Risultato

\[ \boxed{x^8\, y^{12}} \]

\[ \dfrac{x^3}{8} \]

Idea risolutiva

Un quoziente con esponente negativo equivale al reciproco dello stesso quoziente con esponente positivo. Si invertono numeratore e denominatore, poi si elevano entrambi a \(3\).

Proprietà utilizzate

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Applicazione

\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3} = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{x^3}{8}} \]

\[ 5 \]

Idea risolutiva

Un esponente della forma \(\tfrac{1}{q}\) indica la radice \(q\)-esima. In particolare, \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Proprietà utilizzata

\[ a^{1/q} = \sqrt[q]{a} \]

Applicazione

\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]

Verifica

\[ 5^2 = 25 \checkmark \]

Risultato

\[ \boxed{5} \]

\[ 2 \]

Proprietà utilizzata

\[ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} \]

Applicazione

\[ 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Verifica

\[ 2^3 = 8 \checkmark \]

Risultato

\[ \boxed{2} \]

\[ x \]

Idea risolutiva

La proprietà del prodotto di potenze con la stessa base vale anche per esponenti frazionari. Si sommano le frazioni con denominatore comune.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Somma degli esponenti

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Risultato

\[ x^{2/3} \cdot x^{1/3} = x^1 = x \]

\[ \boxed{x} \]

\[ 9 \]

Idea risolutiva

Un esponente \(\tfrac{p}{q}\) indica la radice \(q\)-esima della base elevata alla \(p\). Conviene prima estrarre la radice, poi elevare a potenza: i numeri restano più piccoli e gestibili.

Proprietà utilizzata

\[ a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p} \]

Applicazione — metodo radice poi potenza

\[ 27^{2/3} = \left(27^{1/3}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]

Verifica — metodo alternativo

\[ 27^{2/3} = \left(27^2\right)^{1/3} = 729^{1/3} = \sqrt[3]{729} = 9 \checkmark \]

Risultato

\[ \boxed{9} \]

\[ x^3 \]

Idea risolutiva

Si procede in due fasi: prima si semplifica la potenza di potenza, poi si moltiplica usando la proprietà del prodotto con la stessa base.

Fase 1 — potenza di potenza

\[ \left(x^{-2}\right)^3 = x^{(-2)\cdot 3} = x^{-6} \]

Fase 2 — prodotto con stessa base

\[ x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3 \]

Risultato

\[ \boxed{x^3} \]

\[ 2 \]

Idea risolutiva

Si sviluppano separatamente numeratore e denominatore distribuendo l'esponente esterno, poi si semplifica il quoziente.

Sviluppo del numeratore

\[ (4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6 \]

Sviluppo del denominatore

\[ (2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6 \]

Quoziente

\[ \frac{16x^6}{8x^6} = \frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} = 2 \cdot 1 = 2 \]

Risultato

\[ \boxed{2} \]

\[ a^3\, b^5 \]

Sviluppo del numeratore

\[ \left(a^2 b^3\right)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 b^{12} \]

Quoziente — si sottraggono gli esponenti per ciascuna base

\[ \frac{a^8 b^{12}}{a^5 b^7} = a^{8-5} \cdot b^{12-7} = a^3 b^5 \]

Risultato

\[ \boxed{a^3\, b^5} \]

\[ \dfrac{x^6}{4} \]

Sviluppo del numeratore

\[ (2x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12} = 16x^{12} \]

Sviluppo del denominatore

\[ (4x^2)^3 = 4^3 \cdot x^6 = 64x^6 \]

Quoziente

\[ \frac{16x^{12}}{64x^6} = \frac{16}{64} \cdot x^{12-6} = \frac{1}{4}\, x^6 = \frac{x^6}{4} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{x^6}{4}} \]

\[ a^3\, b^2 \]

Proprietà utilizzate

\[ (AB)^n = A^n B^n \qquad \text{e} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Distribuzione dell'esponente 6

\[ \left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^6 = \left(a^{1/2}\right)^6 \cdot \left(b^{1/3}\right)^6 \]

Potenza di potenza

\[ \left(a^{1/2}\right)^6 = a^{\,\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3 \]

\[ \left(b^{1/3}\right)^6 = b^{\,\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2 \]

Risultato

\[ \boxed{a^3\, b^2} \]

\[ \dfrac{y^6}{x^4} \]

Idea risolutiva

Un quoziente con esponente negativo si trasforma nel quoziente invertito con esponente positivo. Poi si applica la potenza di quoziente.

Inversione per l'esponente negativo

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} = \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} \]

Potenza di quoziente

\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} = \frac{(y^3)^2}{(x^2)^2} = \frac{y^6}{x^4} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{y^6}{x^4}} \]

\[ 1 \]

Idea risolutiva

Tutte le basi (\(2\), \(4\), \(8\)) sono potenze di \(2\). Si riscrive tutto in base \(2\), poi si applicano le proprietà dei prodotti e quozienti.

Riscrittura in base 2

\[ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \qquad 8^n = (2^3)^n = 2^{3n} \]

Sostituzione

\[ \frac{2^n \cdot 2^{2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{n + 2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n}}{2^{3n}} = 2^0 = 1 \]

Risultato

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Sviluppo del numeratore — primo fattore

\[ (3x^2)^3 = 27x^6 \]

Sviluppo del numeratore — secondo fattore

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Prodotto del numeratore

\[ 27x^6 \cdot 4x^2 = 108\, x^8 \]

Sviluppo del denominatore

\[ (6x^4)^2 = 36x^8 \]

Quoziente finale

\[ \frac{108\, x^8}{36\, x^8} = \frac{108}{36} \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Risultato

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idea risolutiva

Il numeratore e il denominatore si riducono alla stessa potenza di \(a\) grazie alle proprietà del prodotto, della potenza di potenza e del quoziente. L'identità vale per qualunque valore di \(m\) e \(n\).

Semplificazione del numeratore

\[ a^{m+n} \cdot a^{m-n} = a^{(m+n)+(m-n)} = a^{2m} \]

Semplificazione del denominatore

\[ \left(a^m\right)^2 = a^{2m} \]

Quoziente

\[ \frac{a^{2m}}{a^{2m}} = a^{2m - 2m} = a^0 = 1 \]

Risultato

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Idea risolutiva

Al numeratore si hanno due potenze di \(3\) con esponenti parametrici consecutivi. Si raccoglie il fattore comune \(3^n\) al numeratore, poi si semplifica col denominatore.

Riscrittura degli esponenti al numeratore

\[ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n \]

\[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n \]

Raccoglimento di \(3^n\)

\[ 3^{n+2} - 3^{n+1} = 9 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 3^n(9 - 3) = 6 \cdot 3^n \]

Quoziente

\[ \frac{6 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{6}{2} = 3 \]

Risultato

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idea risolutiva

Si riduce sia numeratore che denominatore a un'unica potenza di \(x\) con esponente espresso in termini di \(a\), \(b\), \(c\). L'identità vale per qualunque scelta di \(a\), \(b\), \(c\) reali (con \(x \neq 0\)).

Semplificazione del numeratore

Si usa la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base, sommando tutti gli esponenti:

\[ x^{a+b} \cdot x^{b+c} \cdot x^{c+a} = x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} \]

Somma degli esponenti:

\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \]

Quindi il numeratore vale \(x^{2(a+b+c)}\).

Semplificazione del denominatore

Prima si riduce il prodotto interno, poi si eleva al quadrato:

\[ x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c} \]

\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2 = x^{2(a+b+c)} \]

Quoziente

\[ \frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} = x^0 = 1 \]

Risultato

\[ \boxed{1} \]