Disequazioni di Primo Grado: Esercizi Svolti e Regole Base. Guida pratica per risolvere le disequazioni lineari passo dopo passo. Scopri come gestire il cambio di verso, applicare i principi di equivalenza e scrivere correttamente le soluzioni in forma di intervallo.
Esercizio 1 — livello ★★☆☆☆
\[ 2x + 3 > 7 \]
Risultato
\[ x > 2 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si isola \(x\) al primo membro applicando le stesse operazioni di un'equazione. Poiché si divide per un numero positivo, il verso della disuguaglianza non cambia.
Isolamento dell'incognita
Si sottraggono \(3\) da entrambi i membri:
\[ 2x > 7-3 \implies 2x > 4 \]
Si divide per \(2\) (positivo, il verso resta invariato):
\[ x > 2 \]
Insieme soluzione
\[ S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 2\} = (2,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x > 2} \]
Esercizio 2 — livello ★★☆☆☆
\[ 3x - 5 \leq 4 \]
Risultato
\[ x \leq 3 \]
Svolgimento
Isolamento dell'incognita
Si aggiunge \(5\) a entrambi i membri:
\[ 3x \leq 9 \]
Si divide per \(3\) (positivo, verso invariato):
\[ x \leq 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,3] \]
Risultato
\[ \boxed{x \leq 3} \]
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
\[ -2x + 1 < 5 \]
Risultato
\[ x > -2 \]
Svolgimento
Attenzione al segno
Quando si divide o moltiplica per un numero negativo, il verso della disuguaglianza si inverte.
Isolamento dell'incognita
Si sottrae \(1\) da entrambi i membri:
\[ -2x < 4 \]
Si divide per \(-2\) (negativo): il verso si inverte da \(<\) a \(>\):
\[ x > -2 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-2,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x > -2} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ 4x - 8 \geq 0 \]
Risultato
\[ x \geq 2 \]
Svolgimento
Isolamento dell'incognita
Si aggiunge \(8\) a entrambi i membri:
\[ 4x \geq 8 \]
Si divide per \(4\) (positivo, verso invariato):
\[ x \geq 2 \]
Insieme soluzione
\[ S = [2,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x \geq 2} \]
Esercizio 5 — livello ★★★☆☆
\[ 3x + 2 > x + 8 \]
Risultato
\[ x > 3 \]
Svolgimento
Raccolta dei termini in \(x\)
Si portano i termini con \(x\) al primo membro e i termini noti al secondo:
\[ 3x-x > 8-2 \implies 2x > 6 \implies x > 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = (3,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x > 3} \]
Esercizio 6 — livello ★★★☆☆
\[ 5x - 3 \leq 2x + 9 \]
Risultato
\[ x \leq 4 \]
Svolgimento
Raccolta dei termini
\[ 5x-2x \leq 9+3 \implies 3x \leq 12 \implies x \leq 4 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,4] \]
Risultato
\[ \boxed{x \leq 4} \]
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
\[ 2(x + 1) < 3(x - 1) \]
Risultato
\[ x > 5 \]
Svolgimento
Distribuzione dei fattori
\[ 2x+2 < 3x-3 \]
Raccolta dei termini
\[ 2-3x < -3-2x \implies \text{oppure: } 2+3 < 3x-2x \implies 5 < x \]
Più precisamente: \(2x-3x < -3-2 \implies -x < -5 \implies x > 5\) (il verso si inverte dividendo per \(-1\)).
Insieme soluzione
\[ S = (5,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x > 5} \]
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{x}{2} + 1 > \frac{x}{3} \]
Risultato
\[ x > -6 \]
Svolgimento
Eliminazione delle frazioni
Il mcm di \(2\) e \(3\) è \(6\). Si moltiplica tutto per \(6\) (positivo, verso invariato):
\[ 3x + 6 > 2x \]
Raccolta dei termini
\[ 3x-2x > -6 \implies x > -6 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-6,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x > -6} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{x - 1}{2} \leq \frac{x + 3}{4} \]
Risultato
\[ x \leq 5 \]
Svolgimento
Eliminazione delle frazioni
Il mcm di \(2\) e \(4\) è \(4\). Si moltiplica tutto per \(4\):
\[ 2(x-1) \leq x+3 \implies 2x-2 \leq x+3 \]
Raccolta dei termini
\[ 2x-x \leq 3+2 \implies x \leq 5 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,5] \]
Risultato
\[ \boxed{x \leq 5} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ 3(2x - 1) \geq 2(x + 5) \]
Risultato
\[ x \geq \dfrac{13}{4} \]
Svolgimento
Distribuzione dei fattori
\[ 6x-3 \geq 2x+10 \]
Raccolta dei termini
\[ 6x-2x \geq 10+3 \implies 4x \geq 13 \implies x \geq \frac{13}{4} \]
Insieme soluzione
\[ S = \left[\frac{13}{4},\,+\infty\right) \]
Risultato
\[ \boxed{x \geq \dfrac{13}{4}} \]
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 3 < 5 \end{cases} \]
Risultato
\[ -1 < x < 4 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si risolve ciascuna disuguaglianza separatamente, poi si prende l'intersezione degli insiemi soluzione.
Prima disuguaglianza
\[ x+1>0 \implies x>-1 \]
Seconda disuguaglianza
\[ 2x-3<5 \implies 2x<8 \implies x<4 \]
Intersezione
\[ x>-1 \;\text{ e }\; x<4 \implies -1<x<4 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-1,\,4) \]
Risultato
\[ \boxed{-1 < x < 4} \]
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} 3x - 2 \geq 1 \\ x + 5 > 2x \end{cases} \]
Risultato
\[ 1 \leq x < 5 \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
\[ 3x-2\geq1 \implies 3x\geq3 \implies x\geq1 \]
Seconda disuguaglianza
\[ x+5>2x \implies 5>x \implies x<5 \]
Intersezione
\[ x\geq1 \;\text{ e }\; x<5 \implies 1\leq x<5 \]
Insieme soluzione
\[ S = [1,\,5) \]
Risultato
\[ \boxed{1 \leq x < 5} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ -1 < 2x + 3 < 7 \]
Risultato
\[ -2 < x < 2 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si tratta di una disuguaglianza doppia. Si applicano le stesse operazioni a tutti e tre i membri contemporaneamente.
Sottrazione di \(3\) ovunque
\[ -1-3 < 2x+3-3 < 7-3 \implies -4 < 2x < 4 \]
Divisione per \(2\) ovunque
Il divisore è positivo, i versi restano invariati:
\[ -2 < x < 2 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-2,\,2) \]
Risultato
\[ \boxed{-2 < x < 2} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 3x + 2 < 14 \end{cases} \]
Risultato
\[ 2 < x < 4 \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
\[ 2x-1>3 \implies 2x>4 \implies x>2 \]
Seconda disuguaglianza
\[ 3x+2<14 \implies 3x<12 \implies x<4 \]
Intersezione
\[ x>2 \;\text{ e }\; x<4 \implies 2<x<4 \]
Insieme soluzione
\[ S = (2,\,4) \]
Risultato
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} - 1 \geq 0 \\[6pt] \dfrac{x + 3}{3} < 2 \end{cases} \]
Risultato
\[ 2 \leq x < 3 \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
\[ \frac{x}{2}\geq1 \implies x\geq2 \]
Seconda disuguaglianza
Si moltiplica per \(3\) (positivo):
\[ x+3<6 \implies x<3 \]
Intersezione
\[ x\geq2 \;\text{ e }\; x<3 \implies 2\leq x<3 \]
Insieme soluzione
\[ S = [2,\,3) \]
Risultato
\[ \boxed{2 \leq x < 3} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases} \]
Risultato
Nessuna soluzione
Svolgimento
Prima disuguaglianza
\[ x>5 \implies S_1=(5,\,+\infty) \]
Seconda disuguaglianza
\[ x<3 \implies S_2=(-\infty,\,3) \]
Intersezione
\[ S_1 \cap S_2 = (5,\,+\infty) \cap (-\infty,\,3) = \emptyset \]
Non esiste nessun numero reale che sia contemporaneamente maggiore di \(5\) e minore di \(3\).
Risultato
\[ \boxed{\text{Nessuna soluzione} \quad S = \emptyset} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ \frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{3} > \frac{1}{6} \]
Risultato
\[ x > \dfrac{15}{2} \]
Svolgimento
Eliminazione delle frazioni
Il mcm di \(4\), \(3\) e \(6\) è \(12\). Si moltiplica tutto per \(12\) (positivo):
\[ 3(2x-3) - 4(x+1) > 2 \]
Distribuzione
\[ 6x-9-4x-4 > 2 \implies 2x-13 > 2 \implies 2x > 15 \implies x > \frac{15}{2} \]
Verifica con \(x=8\)
\[ \frac{13}{4}-\frac{9}{3}=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}>\frac{1}{6} \]
Insieme soluzione
\[ S = \left(\frac{15}{2},\,+\infty\right) \]
Risultato
\[ \boxed{x > \dfrac{15}{2}} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ 3(x - 2) - 2(2x + 1) \geq x - 5 \]
Risultato
\[ x \leq -\dfrac{3}{2} \]
Svolgimento
Distribuzione dei fattori
\[ 3x-6-4x-2 \geq x-5 \implies -x-8 \geq x-5 \]
Raccolta dei termini
\[ -x-x \geq -5+8 \implies -2x \geq 3 \]
Si divide per \(-2\) (negativo): il verso si inverte da \(\geq\) a \(\leq\):
\[ x \leq -\frac{3}{2} \]
Verifica con \(x=-2\)
\[ 3(-4)-2(-3)=-12+6=-6 \] e \[ -2-5=-7 \]. Poiché \(-6\geq-7\)
Insieme soluzione
\[ S = \left(-\infty,\,-\frac{3}{2}\right] \]
Risultato
\[ \boxed{x \leq -\dfrac{3}{2}} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2} < \dfrac{x}{3} + 1 \\[8pt] 2x - 3 > x - 7 \end{cases} \]
Risultato
\[ -4 < x < 9 \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
Si moltiplica per il mcm \(6\):
\[ 3(x-1)<2x+6 \implies 3x-3<2x+6 \implies x<9 \]
Seconda disuguaglianza
\[ 2x-x>-7+3 \implies x>-4 \]
Intersezione
\[ x>-4 \;\text{ e }\; x<9 \implies -4<x<9 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-4,\,9) \]
Risultato
\[ \boxed{-4 < x < 9} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} - 1 \leq \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6} \\[8pt] 2x + 3 \geq \dfrac{x}{2} - 3 \end{cases} \]
Risultato
\[ x \geq -4 \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
Si moltiplica per il mcm \(6\):
\[ 2x-6 \leq 3x+1 \implies -x\leq7 \implies x\geq-7 \]
Seconda disuguaglianza
Si moltiplica per \(2\):
\[ 4x+6 \geq x-6 \implies 3x\geq-12 \implies x\geq-4 \]
Intersezione
\[ x\geq-7 \;\text{ e }\; x\geq-4 \]
La condizione più restrittiva è \(x\geq-4\).
Insieme soluzione
\[ S = [-4,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x \geq -4} \]