Equazioni Logaritmiche: Formule, Dimostrazioni ed Esercizi Svolti

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare come argomento di almeno un logaritmo. La risoluzione di tali equazioni richiede non soltanto padronanza del calcolo algebrico, ma soprattutto il controllo rigoroso delle condizioni di esistenza: ogni soluzione formalmente ricavata deve essere verificata rispetto al dominio dell'equazione, pena l'introduzione di soluzioni spurie.

Indice

• Richiami sulla Funzione Logaritmica
• Dominio di un'Equazione Logaritmica
• Definizione e Metodo Esponenziale
• Proprietà Operative dei Logaritmi
• Equazioni Logaritmiche Elementari
• Equazioni con Somma o Differenza di Logaritmi
• Equazioni con Logaritmi Uguali
• Equazioni con Logaritmi di Basi Diverse
• Equazioni Risolubili per Sostituzione
• Soluzioni Spurie: Analisi e Prevenzione
• Schema Risolutivo Generale
• Esercizi Svolti
• Interpretazione Grafica

Prima di affrontare le equazioni logaritmiche è indispensabile richiamare con precisione le proprietà fondamentali della funzione logaritmica, poiché l'intera teoria della risoluzione ne dipende direttamente.

Fissati \( a \in \mathbb{R} \) con \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \), la funzione esponenziale \( e_a \colon \mathbb{R} \to (0, +\infty) \), definita da \( e_a(x) = a^x \), è strettamente monotona — crescente se \( a > 1 \), decrescente se \( 0 < a < 1 \) — e quindi biettiva sul proprio codominio \( (0, +\infty) \). La sua inversa è la funzione logaritmica in base \( a \):

\[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x \]

Il dominio naturale del logaritmo è \( (0, +\infty) \): il logaritmo di un numero non positivo non è definito in \( \mathbb{R} \). Questa restrizione è la sorgente di tutte le condizioni di esistenza nelle equazioni logaritmiche.

La funzione \( x \mapsto \log_a x \) eredita la stretta monotonia dalla funzione esponenziale:

• è strettamente crescente se \( a > 1 \);
• è strettamente decrescente se \( 0 < a < 1 \).

La stretta monotonia implica l'iniettività: per ogni \( u, v \in (0, +\infty) \),

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Questa equivalenza è il fondamento logico del metodo di risoluzione delle equazioni con logaritmi uguali. Ricordiamo infine i valori notevoli:

\[ \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1, \qquad \log_a a^k = k \quad \forall\, k \in \mathbb{R}. \]

Il dominio di un'equazione logaritmica è l'insieme dei valori reali dell'incognita per i quali ogni espressione presente nell'equazione è ben definita. Poiché il logaritmo reale è definito solo su argomenti strettamente positivi, per ciascun termine \( \log_a f_i(x) \), al variare di \( i \) nell'insieme degli indici che indicizzano tutti i logaritmi presenti nell'equazione, occorre imporre la condizione:

\[ f_i(x) > 0. \]

Il dominio dell'equazione è l'intersezione di tutte queste condizioni:

\[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}, \]

dove \( I \) è l'insieme degli indici dei logaritmi presenti nell'equazione.

Regola fondamentale. Una volta determinate le soluzioni formali mediante trasformazioni algebriche, occorre conservare soltanto quelle appartenenti a \( \mathcal{D} \). I valori esclusi da \( \mathcal{D} \) rendono indefinito almeno un logaritmo e non costituiscono soluzioni dell'equazione originaria, indipendentemente dal fatto che soddisfino le equazioni algebriche intermedie.

È metodologicamente imprescindibile determinare \( \mathcal{D} \) prima di qualsiasi manipolazione algebrica: in questo modo si ha sempre presente l'insieme entro cui le soluzioni devono essere cercate, e si evita di attribuire validità a passaggi che presupporrebbero la positività degli argomenti senza averla garantita.

La definizione stessa di logaritmo fornisce il metodo di risoluzione più diretto. Per \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) e \( x > 0 \), si ha per definizione:

\[ \log_a x = b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b = x. \]

Questa equivalenza permette di trasformare l'equazione logaritmica \( \log_a f(x) = k \), con \( k \in \mathbb{R} \), nell'equazione esponenziale \( f(x) = a^k \), che non contiene più logaritmi. Si osservi che la condizione \( f(x) > 0 \) è automaticamente soddisfatta da ogni soluzione di \( f(x) = a^k \), poiché \( a^k > 0 \) per ogni \( k \in \mathbb{R} \) e per ogni base ammissibile \( a \). Tuttavia, tale osservazione non esime dall'imporre e verificare le condizioni di dominio stabilite in \( \mathcal{D} \): esse potrebbero coinvolgere altri logaritmi presenti nell'equazione originaria.

Esempio. Risolvere \( \log_3(x-1) = 2 \).

Dominio. L'unica condizione di esistenza è \( x - 1 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Risoluzione. Applicando la definizione di logaritmo:

\[ x - 1 = 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x = 10. \]

Verifica. \( 10 \in (1, +\infty) \). La soluzione è accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{10\} \).

Le seguenti proprietà, valide per \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), per ogni \( x, y > 0 \) e per ogni \( n \in \mathbb{R} \), discendono direttamente dalle corrispondenti proprietà delle potenze:

\[ \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \]

\[ \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, \]

\[ \log_a(x^n) = n\log_a x. \]

Queste identità costituiscono lo strumento principale per ridurre equazioni con più logaritmi a forme canoniche risolvibili. La loro applicazione richiede tuttavia il rispetto scrupoloso delle ipotesi di validità.

Avvertenza cruciale. Ciascuna proprietà è valida esclusivamente per argomenti strettamente positivi:

• La proprietà \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \) richiede \( x > 0 \) e \( y > 0 \) separatamente. Il prodotto \( xy \) può essere positivo anche quando entrambi i fattori sono negativi; in tal caso \( \log_a(xy) \) sarebbe definito, ma \( \log_a x \) e \( \log_a y \) non lo sarebbero. L'identità non è quindi applicabile in senso inverso (da prodotto a somma) senza garantire la positività di ciascun fattore.
• La proprietà \( \log_a(x^n) = n\log_a x \) richiede \( x > 0 \). Un caso paradigmatico è \( \log_a(x^2) = 2\log_a x \): l'identità è valida solo per \( x > 0 \), mentre per \( x < 0 \) il membro sinistro è definito (poiché \( x^2 > 0 \)) e il membro destro non lo è.

Ricordiamo inoltre la formula del cambiamento di base: per ogni \( b > 0 \), \( b \neq 1 \), e per ogni \( x > 0 \),

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}. \]

Tale formula è indispensabile quando nell'equazione compaiono logaritmi con basi diverse e si desidera ricondurli alla medesima base per applicare le proprietà operative o il principio di iniettività. Il suo impiego sistematico è illustrato nella sezione §8.

Un'equazione logaritmica si dice elementare se è riducibile, eventualmente dopo semplici manipolazioni algebriche, alla forma canonica:

\[ \log_a f(x) = k, \qquad k \in \mathbb{R}. \]

Il metodo risolutivo si articola nei seguenti passi:

1. Determinare il dominio: \( \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) > 0\} \).
2. Applicare la definizione di logaritmo per ottenere \( f(x) = a^k \).
3. Risolvere l'equazione \( f(x) = a^k \).
4. Verificare che le soluzioni appartengano a \( \mathcal{D} \) e scartare le eventuali soluzioni spurie.

Esempio. Risolvere \( \log_{1/2}(3x - 5) = -3 \).

Dominio. \( 3x - 5 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{5}{3} \), dunque \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{5}{3}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. Applicando la definizione:

\[ 3x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 13 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{13}{3}. \]

Verifica. \( \tfrac{13}{3} \approx 4{,}33 > \tfrac{5}{3} \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \Bigl\{\dfrac{13}{3}\Bigr\} \).

Quando l'equazione contiene una somma o una differenza di logaritmi con la stessa base, si applicano le proprietà del prodotto e del quoziente per ricondurre l'equazione a un unico logaritmo, riducendola alla forma elementare. Come già osservato, le condizioni di dominio devono essere imposte sugli argomenti originali, non sull'argomento del logaritmo risultante dalla fusione.

Esempio 1. Risolvere \( \log_2 x + \log_2(x-2) = 3 \).

Dominio. \( x > 0 \) e \( x - 2 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Risoluzione. Applicando la proprietà del prodotto:

\[ \log_2[x(x-2)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8. \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) = 0. \]

Le soluzioni formali sono \( x = 4 \) e \( x = -2 \).

Verifica. \( x = 4 \in (2, +\infty) \): accettata. \( x = -2 \notin (2, +\infty) \): soluzione spuria, scartata.

Insieme delle soluzioni: \( \{4\} \).

Esempio 2. Risolvere \( \log_3(x+7) - \log_3(x-1) = 1 \).

Dominio. \( x + 7 > 0 \) e \( x - 1 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Risoluzione. Applicando la proprietà del quoziente:

\[ \log_3\!\left(\frac{x+7}{x-1}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{x+7}{x-1} = 3. \]

\[ x + 7 = 3(x-1) \quad \Longrightarrow \quad x + 7 = 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 5. \]

Verifica. \( 5 \in (1, +\infty) \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{5\} \).

Se l'equazione è nella forma:

\[ \log_a f(x) = \log_a g(x), \]

l'iniettività della funzione \( t \mapsto \log_a t \) su \( (0, +\infty) \) consente di affermare che, per ogni \( u, v \in (0, +\infty) \):

\[ \log_a u = \log_a v \quad \Longleftrightarrow \quad u = v. \]

Pertanto, purché \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \), l'equazione logaritmica è equivalente all'equazione algebrica \( f(x) = g(x) \). Occorre tuttavia una precisazione logica: le condizioni \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) non sono equivalenti in generale, ma lo diventano subordinatamente all'uguaglianza \( f(x) = g(x) \). Più precisamente: se \( x_0 \) soddisfa \( f(x_0) = g(x_0) \), allora \( f(x_0) > 0 \Longleftrightarrow g(x_0) > 0 \), e dunque verificare una delle due condizioni è sufficiente per garantire entrambe. Dal punto di vista metodologico è comunque più rigoroso imporre entrambe le condizioni a priori nella determinazione di \( \mathcal{D} \), senza fare affidamento su questa implicazione.

Esempio. Risolvere \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Dominio. \( x + 1 > 0 \) e \( 2x - 3 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. Per iniettività:

\[ x + 1 = 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Verifica. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{4\} \).

Quando un'equazione contiene logaritmi con basi diverse, non è possibile applicare direttamente il principio di iniettività né le proprietà operative. Il metodo standard consiste nel ricondurre tutti i logaritmi alla stessa base mediante la formula del cambiamento di base:

\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \]

dove la base ausiliaria \( b \) viene scelta in modo da semplificare i calcoli. Le scelte più comuni sono \( b = 10 \) (logaritmo decimale, denotato \( \lg \)) oppure \( b = e \) (logaritmo naturale, denotato \( \ln \)). In molti casi, tuttavia, conviene scegliere come base comune una delle basi già presenti nell'equazione.

Esempio. Risolvere \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Dominio. Entrambi i logaritmi richiedono \( x > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. Si riconduce \( \log_4 x \) alla base \( 2 \) mediante il cambiamento di base:

\[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}. \]

Sostituendo nell'equazione e ponendo per brevità \( t = \log_2 x \):

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2. \]

Tornando alla variabile originale: \( \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4 \).

Verifica. \( 4 \in (0, +\infty) \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{4\} \).

Esempio. Risolvere \( \log_3 x \cdot \log_9 x = 4 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. Si riconduce \( \log_9 x \) alla base \( 3 \):

\[ \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}. \]

Ponendo \( t = \log_3 x \):

\[ t \cdot \frac{t}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{t^2}{2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad t^2 = 8 \quad \Longrightarrow \quad t = \pm 2\sqrt{2}. \]

Tornando alla variabile originale:

\[ \log_3 x = 2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{2\sqrt{2}}, \qquad \log_3 x = -2\sqrt{2} \;\Rightarrow\; x = 3^{-2\sqrt{2}}. \]

Verifica. Entrambi i valori sono positivi e appartengono a \( \mathcal{D} \). Entrambe le soluzioni sono accettate.

Insieme delle soluzioni: \( \bigl\{3^{-2\sqrt{2}},\; 3^{2\sqrt{2}}\bigr\} \).

Una classe importante di equazioni logaritmiche è quella in cui il logaritmo compare come argomento di un'espressione polinomiale. La forma tipica è:

\[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) = 0, \]

dove \( P \) è un polinomio. Il metodo consiste nel porre \( t = \log_a f(x) \), risolvere l'equazione algebrica \( P(t) = 0 \) in \( t \), e per ciascuna radice \( t_k \) risolvere infine l'equazione elementare \( \log_a f(x) = t_k \).

Attenzione. Ciascuna delle equazioni \( \log_a f(x) = t_k \) deve essere risolta separatamente con il proprio controllo del dominio. La sostituzione \( t = \log_a f(x) \) non introduce di per sé soluzioni spurie, ma la fase finale di ritorno alla variabile originale può farlo, se non si verifica che le soluzioni trovate appartengano a \( \mathcal{D} \).

Esempio 1. Risolvere \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Dominio. \( x > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sostituzione. Sia \( t = \log_2 x \). L'equazione diventa:

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ oppure }\; t = 3. \]

Ritorno alla variabile originale.

\[ \log_2 x = 2 \;\Rightarrow\; x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 8. \]

Verifica. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Entrambe le soluzioni sono accettate.

Insieme delle soluzioni: \( \{4, 8\} \).

Esempio 2. Risolvere \( (\log_3 x)^2 - \log_3(x^4) + 3 = 0 \).

Dominio. \( x > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Semplificazione. Per \( x > 0 \) la proprietà della potenza è applicabile: \( \log_3(x^4) = 4\log_3 x \). L'equazione diventa:

\[ (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0. \]

Sostituzione. Sia \( t = \log_3 x \):

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-1)(t-3) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 1 \;\text{ oppure }\; t = 3. \]

Ritorno alla variabile originale.

\[ \log_3 x = 1 \;\Rightarrow\; x = 3, \qquad \log_3 x = 3 \;\Rightarrow\; x = 27. \]

Verifica. \( 3, 27 \in (0, +\infty) \). Entrambe le soluzioni sono accettate.

Insieme delle soluzioni: \( \{3, 27\} \).

Esempio 3. Risolvere \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 = 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sostituzione. Sia \( t = \log_5 x \):

\[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \]

Dunque \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) e \( t_2 = -2 \).

Ritorno alla variabile originale.

\[ \log_5 x = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 5^{1/2} = \sqrt{5}, \qquad \log_5 x = -2 \;\Rightarrow\; x = 5^{-2} = \frac{1}{25}. \]

Verifica. \( \sqrt{5}, \tfrac{1}{25} \in (0, +\infty) \). Entrambe le soluzioni sono accettate.

Insieme delle soluzioni: \( \Bigl\{\dfrac{1}{25},\; \sqrt{5}\Bigr\} \).

Si definisce soluzione spuria un valore \( x_0 \) che soddisfa un'equazione algebrica ottenuta nel corso delle trasformazioni, ma che non appartiene al dominio \( \mathcal{D} \) dell'equazione logaritmica originaria. Tale valore rende indefinito almeno un logaritmo presente nell'equazione e pertanto non è una soluzione valida.

Le soluzioni spurie sorgono tipicamente nelle tre circostanze seguenti.

1. Applicazione della proprietà del prodotto. Scrivere \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) richiede che \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) separatamente. Il prodotto \( f(x)g(x) \) può essere positivo anche quando entrambi i fattori sono negativi; in tal caso il logaritmo del prodotto sarebbe definito nell'equazione trasformata, ma i logaritmi dei singoli fattori non lo sarebbero nell'equazione originaria.
2. Applicazione della proprietà della potenza. La scrittura \( \log_a[f(x)^n] = n\log_a f(x) \) è valida solo se \( f(x) > 0 \). Per \( f(x) < 0 \) e \( n \) pari, il membro sinistro è definito mentre il membro destro non lo è: l'applicazione dell'identità introduce quindi argomenti non ammissibili.
3. Riduzione a equazione polinomiale. La risoluzione di un'equazione di grado due o superiore produce in genere più radici; alcune di esse possono risultare esterne al dominio \( \mathcal{D} \).

Esempio illustrativo. Si consideri l'equazione:

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2(x - 2) + 1. \]

Dominio. Le condizioni di esistenza sono \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) e \( x - 2 > 0 \). Fattorizzando: \( (x-2)(x-3) > 0 \) se \( x < 2 \) o \( x > 3 \). Intersecando con \( x > 2 \), si ottiene \( \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Risoluzione. Si riscrive il membro destro sfruttando \( 1 = \log_2 2 \):

\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) = \log_2[2(x-2)]. \]

Per iniettività:

\[ x^2 - 5x + 6 = 2x - 4 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 7x + 10 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-2)(x-5) = 0. \]

Soluzioni formali: \( x = 2 \) e \( x = 5 \).

Verifica. \( x = 2 \notin (3, +\infty) \): soluzione spuria, scartata. \( x = 5 \in (3, +\infty) \): accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{5\} \).

Il seguente schema costituisce un protocollo completo e rigoroso applicabile a qualsiasi tipo di equazione logaritmica trattata in questa sede.

1. Determinazione del dominio. Per ogni logaritmo \( \log_a f_i(x) \) presente nell'equazione, dove \( i \) varia nell'insieme degli indici \( I \) di tutti i logaritmi presenti, imporre \( f_i(x) > 0 \). Calcolare \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Riconduzione alla stessa base (se necessario). Se sono presenti logaritmi con basi diverse, applicare la formula del cambiamento di base per uniformarli.
3. Semplificazione mediante proprietà dei logaritmi. Applicare le proprietà di prodotto, quoziente e potenza — ricordando che esse sono valide solo per argomenti positivi — per ridurre l'equazione a una delle forme canoniche: \( \log_a f(x) = k \), oppure \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), oppure \( P(\log_a f(x)) = 0 \).
4. Eliminazione del logaritmo. Nella prima forma, passare alla forma esponenziale \( f(x) = a^k \). Nella seconda, sfruttare l'iniettività: \( f(x) = g(x) \). Nella terza, applicare la sostituzione \( t = \log_a f(x) \) e risolvere l'equazione algebrica in \( t \), per poi tornare alla variabile originale.
5. Risoluzione dell'equazione algebrica risultante.
6. Verifica delle condizioni di dominio. Conservare unicamente le soluzioni appartenenti a \( \mathcal{D} \). Scartare esplicitamente le soluzioni spurie, motivando la loro esclusione.
7. Scrittura dell'insieme delle soluzioni.

Esercizio 1. Risolvere \( \log_2(x+3) = 4 \).

Dominio. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Risoluzione. \( x + 3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 13 \).

Verifica. \( 13 \in (-3, +\infty) \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{13\} \).

Esercizio 2. Risolvere \( \log_3 x + \log_3(x-1) = 1 \).

Dominio. \( x > 0 \) e \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Risoluzione.

\[ \log_3[x(x-1)] = 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0. \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. \]

Verifica. \( x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30 > 1 \): accettata. \( x_2 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} < 0 \): soluzione spuria, scartata.

Insieme delle soluzioni: \( \Bigl\{\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\Bigr\} \).

Esercizio 3. Risolvere \( \log_5(x+1) = \log_5(2x-3) \).

Dominio. \( x+1 > 0 \) e \( 2x-3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. Per iniettività: \( x + 1 = 2x - 3 \Rightarrow x = 4 \).

Verifica. \( 4 > \tfrac{3}{2} \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{4\} \).

Esercizio 4. Risolvere \( \log_2(x-1) + \log_2(x-5) = 3 \).

Dominio. \( x-1 > 0 \) e \( x-5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Risoluzione.

\[ \log_2[(x-1)(x-5)] = 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) = 8. \]

\[ x^2 - 6x - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \pm 2\sqrt{3}. \]

Verifica. \( x_1 = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 > 5 \): accettata. \( x_2 = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46 < 5 \): soluzione spuria, scartata.

Insieme delle soluzioni: \( \{3 + 2\sqrt{3}\} \).

Esercizio 5. Risolvere \( \log_4(x^2 - 3x) = \log_4(x + 7) \).

Dominio. \( x^2 - 3x > 0 \) e \( x+7 > 0 \). La prima condizione dà \( x < 0 \) o \( x > 3 \); la seconda dà \( x > -7 \). Dunque \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Risoluzione. Per iniettività: \( x^2 - 3x = x + 7 \Rightarrow x^2 - 4x - 7 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{11} \).

Verifica. \( x_1 = 2+\sqrt{11} \approx 5{,}32 \in (3, +\infty) \): accettata. \( x_2 = 2-\sqrt{11} \approx -1{,}32 \in (-7, 0) \): accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{2-\sqrt{11},\; 2+\sqrt{11}\} \).

Esercizio 6. Risolvere \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 = 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. Sia \( t = \log_2 x \):

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \;\text{ oppure }\; t = 3. \]

\[ \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4, \qquad \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 8. \]

Verifica. \( 4, 8 \in (0, +\infty) \). Entrambe accettate.

Insieme delle soluzioni: \( \{4, 8\} \).

Esercizio 7. Risolvere \( \log_2 x + \log_4 x = 3 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Sia \( t = \log_2 x \):

\[ t + \frac{t}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad t = 2 \quad \Longrightarrow \quad x = 4. \]

Verifica. \( 4 \in (0, +\infty) \). Soluzione accettata.

Insieme delle soluzioni: \( \{4\} \).

L'interpretazione grafica delle equazioni logaritmiche fornisce una visione qualitativa del numero e della posizione delle soluzioni, integrandosi con la trattazione analitica.

Risolvere l'equazione \( \log_a f(x) = k \) equivale geometricamente a determinare le ascisse dei punti di intersezione del grafico di \( y = \log_a f(x) \) con la retta orizzontale \( y = k \). Poiché la funzione logaritmica è strettamente monotona, su ciascun intervallo connesso del dominio in cui \( f \) è strettamente monotona la composizione \( \log_a \circ f \) è anch'essa strettamente monotona, e pertanto l'equazione ammette al più una soluzione su ciascun tale intervallo. Questo fatto consente di stabilire a priori un limite superiore al numero di soluzioni, prima ancora di eseguire i calcoli.

Risolvere \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \) equivale invece a trovare i punti in cui i grafici di \( y = \log_a f(x) \) e \( y = \log_a g(x) \) si intersecano. Tali punti devono giacere nel dominio comune \( \mathcal{D}_f \cap \mathcal{D}_g \) delle due funzioni; eventuali incroci al di fuori di tale dominio non corrispondono a soluzioni dell'equazione originaria.

L'interpretazione grafica rende altresì evidente perché le soluzioni spurie non siano soluzioni: esse corrispondono a valori dell'incognita per i quali uno o più rami del grafico semplicemente non esistono, in quanto la funzione logaritmica non è definita al di fuori di \( (0, +\infty) \). Una soluzione spuria non è un punto del grafico: è un artefatto algebrico privo di contenuto geometrico nell'ambito dell'equazione originaria.