Una raccolta progressiva di esercizi risolti passo passo per imparare a determinare il dominio, applicare correttamente le proprietà dei logaritmi e verificare le soluzioni ottenute.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
\[ \log_2 x = 3 \]
Risultato
\[ x=8 \]
Svolgimento
Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere positivo: \[ x>0 \]
Risoluzione
Passiamo dalla forma logaritmica alla forma esponenziale: \[ \log_2 x=3 \iff x=2^3 \]
Quindi: \[ x=8 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 8>0 \]
Inoltre: \[ \log_2 8=3 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=8} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
\[ \log_3(x-1)=2 \]
Risultato
\[ x=10 \]
Svolgimento
Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere positivo: \[ x-1>0 \] \[ x>1 \]
Risoluzione
Trasformiamo l'equazione logaritmica in forma esponenziale: \[ \log_3(x-1)=2 \iff x-1=3^2 \]
Quindi: \[ x-1=9 \] \[ x=10 \]
Verifica
La soluzione appartiene al dominio, perché: \[ 10>1 \]
Inoltre: \[ \log_3(10-1)=\log_3 9=2 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=10} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
\[ \log_{10}(2x)=1 \]
Risultato
\[ x=5 \]
Svolgimento
Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere positivo: \[ 2x>0 \] \[ x>0 \]
Risoluzione
Passiamo dalla forma logaritmica alla forma esponenziale: \[ \log_{10}(2x)=1 \iff 2x=10^1 \]
Quindi: \[ 2x=10 \] \[ x=5 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 5>0 \]
Inoltre: \[ \log_{10}(2\cdot 5)=\log_{10}10=1 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=5} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_2(x+3)=\log_2 7 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere positivo: \[ x+3>0 \] \[ x>-3 \]
Risoluzione
I due logaritmi hanno la stessa base. Poiché la funzione logaritmica è iniettiva, possiamo uguagliare gli argomenti: \[ x+3=7 \]
Risolviamo: \[ x=4 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 4>-3 \]
Inoltre: \[ \log_2(4+3)=\log_2 7 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_5(3x-1)=\log_5(x+7) \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi: \[ 3x-1>0 \] \[ x>\frac{1}{3} \] e \[ x+7>0 \] \[ x>-7 \]
Quindi il dominio è: \[ x>\frac{1}{3} \]
Risoluzione
I logaritmi hanno la stessa base. Uguagliamo gli argomenti: \[ 3x-1=x+7 \]
Risolviamo: \[ 2x=8 \] \[ x=4 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 4>\frac{1}{3} \]
Inoltre: \[ 3\cdot 4-1=11 \] \[ 4+7=11 \] quindi i due logaritmi hanno lo stesso argomento.
Pertanto: \[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_2 x+\log_2 4=5 \]
Risultato
\[ x=8 \]
Svolgimento
Dominio
L'unico argomento contenente l'incognita deve essere positivo: \[ x>0 \]
Risoluzione
Calcoliamo il logaritmo noto: \[ \log_2 4=2 \]
L'equazione diventa: \[ \log_2 x+2=5 \]
Quindi: \[ \log_2 x=3 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ x=2^3=8 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 8>0 \]
Inoltre: \[ \log_2 8+\log_2 4=3+2=5 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=8} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_3 x+\log_3(x-2)=1 \]
Risultato
\[ x=3 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x>0 \] \[ x-2>0 \]
Quindi: \[ x>2 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto dei logaritmi: \[ \log_a A+\log_a B=\log_a(AB) \]
Otteniamo: \[ \log_3[x(x-2)]=1 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ x(x-2)=3^1 \] \[ x(x-2)=3 \]
Sviluppiamo: \[ x^2-2x=3 \] \[ x^2-2x-3=0 \]
Scomponiamo: \[ (x-3)(x+1)=0 \]
Quindi: \[ x=3 \quad \text{oppure} \quad x=-1 \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>2\). Dunque: \[ x=-1 \] si scarta, mentre \[ x=3 \] è accettabile.
Infatti: \[ \log_3 3+\log_3(3-2)=1+0=1 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=3} \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
\[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3 \]
Risultato
\[ x=3 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
Quindi: \[ x>1 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto: \[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=\log_2[(x+1)(x-1)] \]
Quindi: \[ \log_2(x^2-1)=3 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ x^2-1=2^3 \] \[ x^2-1=8 \] \[ x^2=9 \]
Pertanto: \[ x=-3 \quad \text{oppure} \quad x=3 \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>1\), quindi \(x=-3\) si scarta.
Per \(x=3\): \[ \log_2(3+1)+\log_2(3-1)=\log_2 4+\log_2 2=2+1=3 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=3} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ \log_4(x+6)-\log_4 x=1 \]
Risultato
\[ x=2 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x+6>0 \] \[ x>0 \]
La condizione più restrittiva è: \[ x>0 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del quoziente: \[ \log_a A-\log_a B=\log_a\left(\frac{A}{B}\right) \]
Otteniamo: \[ \log_4\left(\frac{x+6}{x}\right)=1 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ \frac{x+6}{x}=4^1 \] \[ \frac{x+6}{x}=4 \]
Poiché nel dominio \(x>0\), possiamo moltiplicare per \(x\): \[ x+6=4x \]
Risolviamo: \[ 6=3x \] \[ x=2 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 2>0 \]
Inoltre: \[ \log_4(2+6)-\log_4 2=\log_4 8-\log_4 2=\log_4 4=1 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=2} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ \log_2(x+2)-\log_2(x-1)=2 \]
Risultato
\[ x=2 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \] \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \]
Quindi: \[ x>1 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del quoziente: \[ \log_2(x+2)-\log_2(x-1)=\log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right) \]
Quindi: \[ \log_2\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=2 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ \frac{x+2}{x-1}=2^2 \] \[ \frac{x+2}{x-1}=4 \]
Poiché nel dominio \(x>1\), allora \(x-1>0\), quindi possiamo moltiplicare per \(x-1\): \[ x+2=4(x-1) \]
Sviluppiamo: \[ x+2=4x-4 \] \[ 6=3x \] \[ x=2 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 2>1 \]
Inoltre: \[ \log_2(2+2)-\log_2(2-1)=\log_2 4-\log_2 1=2-0=2 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=2} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
\[ \log_3(x^2-4)=2 \]
Risultato
\[ x=-\sqrt{13} \quad \text{oppure} \quad x=\sqrt{13} \]
Svolgimento
Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere positivo: \[ x^2-4>0 \]
Scomponiamo: \[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Quindi: \[ (x-2)(x+2)>0 \]
Il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno: \[ x<-2 \quad \text{oppure} \quad x>2 \]
Risoluzione
Passiamo dalla forma logaritmica alla forma esponenziale: \[ \log_3(x^2-4)=2 \iff x^2-4=3^2 \]
Quindi: \[ x^2-4=9 \] \[ x^2=13 \]
Pertanto: \[ x=-\sqrt{13} \quad \text{oppure} \quad x=\sqrt{13} \]
Verifica
Entrambe le soluzioni rispettano il dominio, perché: \[ -\sqrt{13}<-2 \] e \[ \sqrt{13}>2 \]
Inoltre, in entrambi i casi: \[ x^2=13 \] quindi: \[ \log_3(x^2-4)=\log_3(13-4)=\log_3 9=2 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=-\sqrt{13} \quad \text{oppure} \quad x=\sqrt{13}} \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
\[ \log_2(x^2-5x+6)=1 \]
Risultato
\[ x=1 \quad \text{oppure} \quad x=4 \]
Svolgimento
Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere positivo: \[ x^2-5x+6>0 \]
Scomponiamo il trinomio: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Quindi: \[ (x-2)(x-3)>0 \]
Il prodotto è positivo fuori dall'intervallo compreso tra le due radici: \[ x<2 \quad \text{oppure} \quad x>3 \]
Risoluzione
Passiamo alla forma esponenziale: \[ \log_2(x^2-5x+6)=1 \iff x^2-5x+6=2^1 \]
Quindi: \[ x^2-5x+6=2 \]
Portiamo tutto al primo membro: \[ x^2-5x+4=0 \]
Scomponiamo: \[ (x-1)(x-4)=0 \]
Quindi: \[ x=1 \quad \text{oppure} \quad x=4 \]
Verifica
Entrambe le soluzioni rispettano il dominio: \[ 1<2 \] e \[ 4>3 \]
Verifichiamo nell'equazione iniziale.
Per \(x=1\): \[ \log_2(1^2-5\cdot 1+6)=\log_2 2=1 \]
Per \(x=4\): \[ \log_2(4^2-5\cdot 4+6)=\log_2 2=1 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=1 \quad \text{oppure} \quad x=4} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ \log_2 x+\log_2(x+2)=\log_2 15 \]
Risultato
\[ x=3 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi: \[ x>0 \] e \[ x+2>0 \]
La condizione più restrittiva è: \[ x>0 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto dei logaritmi: \[ \log_2 x+\log_2(x+2)=\log_2[x(x+2)] \]
L'equazione diventa: \[ \log_2[x(x+2)]=\log_2 15 \]
Poiché i logaritmi hanno la stessa base, uguagliamo gli argomenti: \[ x(x+2)=15 \]
Sviluppiamo: \[ x^2+2x=15 \] \[ x^2+2x-15=0 \]
Scomponiamo: \[ (x+5)(x-3)=0 \]
Quindi: \[ x=-5 \quad \text{oppure} \quad x=3 \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>0\), quindi \(x=-5\) si scarta.
Per \(x=3\): \[ \log_2 3+\log_2(3+2)=\log_2 3+\log_2 5=\log_2 15 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=3} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=2 \]
Risultato
\[ x=-2+\sqrt{10} \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ x+3>0 \Rightarrow x>-3 \]
Quindi il dominio è: \[ x>-1 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto: \[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=\log_3[(x+1)(x+3)] \]
Otteniamo: \[ \log_3[(x+1)(x+3)]=2 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ (x+1)(x+3)=3^2 \] \[ (x+1)(x+3)=9 \]
Sviluppiamo: \[ x^2+4x+3=9 \] \[ x^2+4x-6=0 \]
Applichiamo la formula risolutiva: \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16+24}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2} \] \[ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{2} \] \[ x=-2\pm\sqrt{10} \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>-1\).
La soluzione \[ x=-2-\sqrt{10} \] è minore di \(-1\), quindi si scarta.
La soluzione \[ x=-2+\sqrt{10} \] è maggiore di \(-1\), quindi è accettabile.
Inoltre, dalla risoluzione sappiamo che: \[ (x+1)(x+3)=9 \] quindi: \[ \log_3(x+1)+\log_3(x+3)=\log_3 9=2 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=-2+\sqrt{10}} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ \log_2(x+4)-\log_2(x-2)=1 \]
Risultato
\[ x=8 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x+4>0 \Rightarrow x>-4 \] \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
Quindi: \[ x>2 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del quoziente: \[ \log_2(x+4)-\log_2(x-2)=\log_2\left(\frac{x+4}{x-2}\right) \]
Quindi: \[ \log_2\left(\frac{x+4}{x-2}\right)=1 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ \frac{x+4}{x-2}=2^1 \] \[ \frac{x+4}{x-2}=2 \]
Poiché nel dominio \(x>2\), allora \(x-2>0\). Possiamo quindi moltiplicare per \(x-2\): \[ x+4=2(x-2) \]
Sviluppiamo: \[ x+4=2x-4 \] \[ x=8 \]
Verifica
La soluzione rispetta il dominio, perché: \[ 8>2 \]
Inoltre: \[ \log_2(8+4)-\log_2(8-2)=\log_2 12-\log_2 6=\log_2 2=1 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=8} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
\[ \log x+\log(x-9)=1 \]
Risultato
\[ x=10 \]
Svolgimento
Dominio
Quando la base non è indicata, intendiamo il logaritmo decimale: \[ \log x=\log_{10}x \]
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x>0 \] \[ x-9>0 \Rightarrow x>9 \]
Quindi il dominio è: \[ x>9 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto: \[ \log x+\log(x-9)=\log[x(x-9)] \]
Otteniamo: \[ \log[x(x-9)]=1 \]
Passiamo alla forma esponenziale in base \(10\): \[ x(x-9)=10^1 \] \[ x(x-9)=10 \]
Sviluppiamo: \[ x^2-9x=10 \] \[ x^2-9x-10=0 \]
Scomponiamo: \[ (x-10)(x+1)=0 \]
Quindi: \[ x=10 \quad \text{oppure} \quad x=-1 \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>9\), quindi \(x=-1\) si scarta.
Per \(x=10\): \[ \log 10+\log(10-9)=\log 10+\log 1=1+0=1 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=10} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2(2x+6) \]
Risultato
\[ x=1+2\sqrt{2} \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x-1>0 \Rightarrow x>1 \] \[ x+1>0 \Rightarrow x>-1 \] \[ 2x+6>0 \Rightarrow x>-3 \]
Quindi il dominio è: \[ x>1 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto al primo membro: \[ \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2[(x-1)(x+1)] \]
L'equazione diventa: \[ \log_2[(x-1)(x+1)]=\log_2(2x+6) \]
Poiché i logaritmi hanno la stessa base, uguagliamo gli argomenti: \[ (x-1)(x+1)=2x+6 \]
Sviluppiamo: \[ x^2-1=2x+6 \] \[ x^2-2x-7=0 \]
Applichiamo la formula risolutiva: \[ x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-7)}}{2} \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}{2} \] \[ x=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2} \] \[ x=1\pm 2\sqrt{2} \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>1\).
La soluzione \[ x=1-2\sqrt{2} \] è minore di \(1\), quindi si scarta.
La soluzione \[ x=1+2\sqrt{2} \] è maggiore di \(1\), quindi è accettabile.
Pertanto: \[ \boxed{x=1+2\sqrt{2}} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ \log_3 x+\log_3(x+6)=\log_3(7x+18) \]
Risultato
\[ x=\frac{1+\sqrt{73}}{2} \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x>0 \] \[ x+6>0 \Rightarrow x>-6 \] \[ 7x+18>0 \Rightarrow x>-\frac{18}{7} \]
La condizione più restrittiva è: \[ x>0 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto al primo membro: \[ \log_3 x+\log_3(x+6)=\log_3[x(x+6)] \]
Quindi: \[ \log_3[x(x+6)]=\log_3(7x+18) \]
Uguagliamo gli argomenti: \[ x(x+6)=7x+18 \]
Sviluppiamo: \[ x^2+6x=7x+18 \] \[ x^2-x-18=0 \]
Applichiamo la formula risolutiva: \[ x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-18)}}{2} \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{1+72}}{2} \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{73}}{2} \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>0\).
La soluzione \[ x=\frac{1-\sqrt{73}}{2} \] è negativa, quindi si scarta.
La soluzione \[ x=\frac{1+\sqrt{73}}{2} \] è positiva, quindi è accettabile.
Pertanto: \[ \boxed{x=\frac{1+\sqrt{73}}{2}} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ \log_2(x+2)+\log_2(x-2)=\log_2 12 \]
Risultato
\[ x=4 \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \] \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \]
Quindi: \[ x>2 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto: \[ \log_2(x+2)+\log_2(x-2)=\log_2[(x+2)(x-2)] \]
L'equazione diventa: \[ \log_2[(x+2)(x-2)]=\log_2 12 \]
Uguagliamo gli argomenti: \[ (x+2)(x-2)=12 \]
Usiamo il prodotto notevole: \[ x^2-4=12 \] \[ x^2=16 \]
Quindi: \[ x=-4 \quad \text{oppure} \quad x=4 \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>2\), quindi \(x=-4\) si scarta.
Per \(x=4\): \[ \log_2(4+2)+\log_2(4-2)=\log_2 6+\log_2 2=\log_2 12 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=4} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ \log_3(x-2)+\log_3(x+2)=2 \]
Risultato
\[ x=\sqrt{13} \]
Svolgimento
Dominio
Gli argomenti devono essere positivi: \[ x-2>0 \Rightarrow x>2 \] \[ x+2>0 \Rightarrow x>-2 \]
Quindi il dominio è: \[ x>2 \]
Risoluzione
Applichiamo la proprietà del prodotto: \[ \log_3(x-2)+\log_3(x+2)=\log_3[(x-2)(x+2)] \]
Otteniamo: \[ \log_3[(x-2)(x+2)]=2 \]
Passiamo alla forma esponenziale: \[ (x-2)(x+2)=3^2 \] \[ (x-2)(x+2)=9 \]
Usiamo il prodotto notevole: \[ x^2-4=9 \] \[ x^2=13 \]
Quindi: \[ x=-\sqrt{13} \quad \text{oppure} \quad x=\sqrt{13} \]
Verifica
Il dominio richiede \(x>2\), quindi \(x=-\sqrt{13}\) si scarta.
Poiché: \[ \sqrt{13}>2 \] la soluzione \(x=\sqrt{13}\) è accettabile.
Inoltre: \[ (\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)=13-4=9 \] quindi: \[ \log_3(\sqrt{13}-2)+\log_3(\sqrt{13}+2)=\log_3 9=2 \]
Pertanto: \[ \boxed{x=\sqrt{13}} \]