Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sulle equazioni di grado superiore, pensata per imparare a riconoscere la struttura dell’equazione prima ancora di iniziare i calcoli. Ogni esercizio mostra non solo i passaggi algebrici, ma anche il motivo per cui una certa tecnica può essere applicata.
Ricordiamo che un’equazione di grado superiore è un’equazione polinomiale di grado almeno \(3\). Nella maggior parte dei casi non si risolve applicando una formula generale, ma cercando di trasformare il polinomio in un prodotto di fattori più semplici.
Il principio fondamentale è:
\[ A\cdot B=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{oppure} \ B=0 \]
Per questo motivo, l’obiettivo principale sarà sempre lo stesso: scomporre il polinomio in fattori e poi annullare ciascun fattore.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ x^3-5x^2=0 \]
Risultato
\[ S=\{0,5\} \]
Svolgimento
Osservazione iniziale
L’equazione è di terzo grado, perché il massimo esponente della variabile è \(3\). Tuttavia non dobbiamo cercare subito formule complicate: prima bisogna osservare la struttura del polinomio.
Abbiamo:
\[ x^3-5x^2=0 \]
I due termini \(x^3\) e \(-5x^2\) hanno un fattore comune. Infatti:
\[ x^3=x^2\cdot x \]
e:
\[ -5x^2=x^2\cdot(-5) \]
Raccoglimento del fattore comune
Poiché entrambi i termini contengono \(x^2\), possiamo raccogliere \(x^2\):
\[ x^3-5x^2=x^2(x-5) \]
L’equazione diventa quindi:
\[ x^2(x-5)=0 \]
Applicazione del principio di annullamento del prodotto
Ora abbiamo un prodotto uguale a zero. Un prodotto è uguale a zero se almeno uno dei suoi fattori è uguale a zero.
Quindi:
\[ x^2=0 \]
oppure:
\[ x-5=0 \]
Risoluzione delle equazioni ottenute
Dalla prima equazione:
\[ x^2=0 \]
segue necessariamente:
\[ x=0 \]
Dalla seconda equazione:
\[ x-5=0 \]
otteniamo:
\[ x=5 \]
Conclusione
Le soluzioni dell’equazione sono:
\[ S=\{0,5\} \]
Osserviamo che \(x=0\) deriva dal fattore \(x^2\). Come insieme delle soluzioni, però, lo scriviamo una sola volta.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Risultato
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Svolgimento
Analisi della struttura
L’equazione è:
\[ x^4-9x^2=0 \]
Anche in questo caso i due termini hanno un fattore comune. Infatti:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
e:
\[ -9x^2=x^2\cdot(-9) \]
Possiamo quindi raccogliere \(x^2\).
Primo raccoglimento
Raccogliendo \(x^2\), otteniamo:
\[ x^4-9x^2=x^2(x^2-9) \]
Quindi l’equazione diventa:
\[ x^2(x^2-9)=0 \]
Ulteriore scomposizione
Il fattore:
\[ x^2-9 \]
non è ancora completamente scomposto. Infatti \(9=3^2\), quindi:
\[ x^2-9=x^2-3^2 \]
Applichiamo la formula della differenza di quadrati:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
Nel nostro caso \(a=x\) e \(b=3\), dunque:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
Forma fattorizzata completa
L’equazione diventa:
\[ x^2(x-3)(x+3)=0 \]
Ora il polinomio è scritto come prodotto di fattori.
Annullamento dei fattori
Per il principio di annullamento del prodotto, dobbiamo porre ciascun fattore uguale a zero:
\[ x^2=0 \]
oppure:
\[ x-3=0 \]
oppure:
\[ x+3=0 \]
Risoluzione
Dalla prima equazione:
\[ x^2=0 \]
segue:
\[ x=0 \]
Dalla seconda:
\[ x-3=0 \]
segue:
\[ x=3 \]
Dalla terza:
\[ x+3=0 \]
segue:
\[ x=-3 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ S=\{-3,0,3\} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere:
\[ x^3-8=0 \]
Risultato
\[ S=\{-1,2\} \]
Svolgimento
Riconoscimento della struttura
L’equazione è:
\[ x^3-8=0 \]
Qui non c’è un fattore comune da raccogliere. Tuttavia possiamo riconoscere una differenza di cubi, perché:
\[ 8=2^3 \]
Quindi:
\[ x^3-8=x^3-2^3 \]
Formula della differenza di cubi
Ricordiamo la formula:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
Nel nostro caso:
\[ a=x,\qquad b=2 \]
Perciò:
\[ x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4) \]
Equazione fattorizzata
L’equazione diventa:
\[ (x-2)(x^2+2x+4)=0 \]
Ora possiamo annullare i singoli fattori.
Primo fattore
Dal fattore:
\[ x-2=0 \]
otteniamo:
\[ x=2 \]
Secondo fattore
Consideriamo ora:
\[ x^2+2x+4=0 \]
Questa è un’equazione di secondo grado. Per sapere se ha soluzioni reali calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac \]
Qui:
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=4 \]
quindi:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot4 \]
cioè:
\[ \Delta=4-16=-12 \]
Poiché il discriminante è negativo, l’equazione non ha soluzioni reali.
Conclusione
L’unica soluzione reale dell’equazione iniziale è:
\[ S=\{2\} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ x^4-16=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,2\} \]
Svolgimento
Primo riconoscimento
L’equazione è:
\[ x^4-16=0 \]
Osserviamo che \(x^4\) può essere scritto come quadrato:
\[ x^4=(x^2)^2 \]
Inoltre:
\[ 16=4^2 \]
Quindi il polinomio è una differenza di quadrati:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
Prima scomposizione
Applichiamo:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]
con:
\[ a=x^2,\qquad b=4 \]
Otteniamo:
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
Controllo della scomposizione
Non dobbiamo fermarci troppo presto. Il fattore:
\[ x^2-4 \]
è ancora una differenza di quadrati, perché:
\[ 4=2^2 \]
Dunque:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Forma finale
L’equazione diventa:
\[ (x-2)(x+2)(x^2+4)=0 \]
Annullamento dei fattori
Poniamo ciascun fattore uguale a zero.
Dal primo fattore:
\[ x-2=0 \]
otteniamo:
\[ x=2 \]
Dal secondo fattore:
\[ x+2=0 \]
otteniamo:
\[ x=-2 \]
Rimane:
\[ x^2+4=0 \]
cioè:
\[ x^2=-4 \]
Questa equazione non ha soluzioni reali, perché il quadrato di un numero reale non può essere negativo.
Conclusione
Le soluzioni reali sono:
\[ S=\{-2,2\} \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Svolgimento
Riconoscimento dell’equazione biquadratica
L’equazione è:
\[ x^4-5x^2+4=0 \]
Notiamo che compaiono soltanto:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad 1 \]
Non compaiono invece potenze dispari di \(x\), come \(x^3\) oppure \(x\). Questo suggerisce di usare una sostituzione.
Sostituzione
Poniamo:
\[ y=x^2 \]
Allora:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Sostituendo nell’equazione iniziale, otteniamo:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Abbiamo trasformato l’equazione di quarto grado in un’equazione di secondo grado nella variabile \(y\).
Risoluzione dell’equazione in \(y\)
Dobbiamo risolvere:
\[ y^2-5y+4=0 \]
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto \(4\) e somma \(-5\). Tali numeri sono \(-1\) e \(-4\), infatti:
\[ (-1)(-4)=4 \]
e:
\[ -1-4=-5 \]
Quindi:
\[ y^2-5y+4=(y-1)(y-4) \]
L’equazione diventa:
\[ (y-1)(y-4)=0 \]
Pertanto:
\[ y-1=0 \]
oppure:
\[ y-4=0 \]
cioè:
\[ y=1 \qquad \text{oppure} \qquad y=4 \]
Ritorno alla variabile iniziale
Ora dobbiamo ricordare che:
\[ y=x^2 \]
Quindi i due valori trovati per \(y\) generano due equazioni in \(x\).
Da:
\[ y=1 \]
otteniamo:
\[ x^2=1 \]
quindi:
\[ x=\pm1 \]
Da:
\[ y=4 \]
otteniamo:
\[ x^2=4 \]
quindi:
\[ x=\pm2 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ x=-2,\quad x=-1,\quad x=1,\quad x=2 \]
Perciò:
\[ S=\{-2,-1,1,2\} \]
Osservazione importante
Nelle equazioni biquadratiche bisogna fare attenzione al ritorno dalla variabile \(y\) alla variabile \(x\). Da \(x^2=4\), per esempio, non si ottiene solo \(x=2\), ma anche \(x=-2\).
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ x^6-9x^3=0 \]
Risultato
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Svolgimento
Analisi iniziale
L’equazione è:
\[ x^6-9x^3=0 \]
Il grado dell’equazione è \(6\), perché il massimo esponente della variabile è \(6\). Tuttavia la struttura è abbastanza semplice: entrambi i termini contengono una potenza comune di \(x\).
Infatti:
\[ x^6=x^3\cdot x^3 \]
e:
\[ -9x^3=x^3\cdot(-9) \]
Raccoglimento del fattore comune
Possiamo quindi raccogliere \(x^3\):
\[ x^6-9x^3=x^3(x^3-9) \]
L’equazione diventa:
\[ x^3(x^3-9)=0 \]
Principio di annullamento del prodotto
Ora abbiamo un prodotto uguale a zero. Perciò almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero:
\[ x^3=0 \]
oppure:
\[ x^3-9=0 \]
Risoluzione del primo fattore
Dalla prima equazione:
\[ x^3=0 \]
segue:
\[ x=0 \]
Infatti l’unico numero reale il cui cubo è zero è proprio \(0\).
Risoluzione del secondo fattore
Consideriamo ora:
\[ x^3-9=0 \]
Portiamo \(9\) al secondo membro:
\[ x^3=9 \]
Per ricavare \(x\), estraiamo la radice cubica:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Questa è una soluzione reale, perché ogni numero reale ammette una radice cubica reale.
Conclusione
Le soluzioni reali dell’equazione sono:
\[ S=\left\{0,\sqrt[3]{9}\right\} \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Risultato
\[ S=\{-1,1\} \]
Svolgimento
Riconoscimento della forma
L’equazione è:
\[ x^4+2x^2-3=0 \]
Osserviamo che compaiono soltanto potenze pari della variabile:
\[ x^4,\qquad x^2,\qquad x^0 \]
Questo ci suggerisce di trattarla come un’equazione biquadratica, cioè come un’equazione di secondo grado rispetto a \(x^2\).
Sostituzione
Poniamo:
\[ y=x^2 \]
Allora:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Sostituendo nell’equazione iniziale, otteniamo:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Risoluzione dell’equazione in \(y\)
Dobbiamo risolvere:
\[ y^2+2y-3=0 \]
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto \(-3\) e somma \(2\). I numeri sono \(3\) e \(-1\), infatti:
\[ 3\cdot(-1)=-3 \]
e:
\[ 3+(-1)=2 \]
Quindi:
\[ y^2+2y-3=(y+3)(y-1) \]
L’equazione diventa:
\[ (y+3)(y-1)=0 \]
Pertanto:
\[ y+3=0 \]
oppure:
\[ y-1=0 \]
cioè:
\[ y=-3 \qquad \text{oppure} \qquad y=1 \]
Ritorno alla variabile \(x\)
Ricordiamo che:
\[ y=x^2 \]
Dunque il valore \(y=-3\) porta a:
\[ x^2=-3 \]
Questa equazione non ha soluzioni reali, perché il quadrato di un numero reale non può essere negativo.
Il valore \(y=1\), invece, porta a:
\[ x^2=1 \]
da cui:
\[ x=\pm1 \]
Conclusione
Le soluzioni reali sono quindi:
\[ S=\{-1,1\} \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Risultato
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Svolgimento
Osservazione iniziale
L’equazione è:
\[ x^3+3x^2-4x-12=0 \]
Non c’è un fattore comune a tutti i termini. Tuttavia i termini possono essere raggruppati a due a due in modo utile.
Scriviamo:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x^3+3x^2)+(-4x-12) \]
Raccoglimento parziale
Nel primo gruppo:
\[ x^3+3x^2 \]
possiamo raccogliere \(x^2\):
\[ x^3+3x^2=x^2(x+3) \]
Nel secondo gruppo:
\[ -4x-12 \]
possiamo raccogliere \(-4\):
\[ -4x-12=-4(x+3) \]
Quindi:
\[ x^3+3x^2-4x-12=x^2(x+3)-4(x+3) \]
Raccoglimento del fattore comune binomiale
Ora compare lo stesso fattore \((x+3)\) in entrambi i termini:
\[ x^2(x+3)-4(x+3) \]
Possiamo raccogliere \((x+3)\):
\[ x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4) \]
Ulteriore scomposizione
Il fattore:
\[ x^2-4 \]
è una differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Perciò:
\[ x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2) \]
Equazione fattorizzata
L’equazione diventa:
\[ (x+3)(x-2)(x+2)=0 \]
Annullamento dei fattori
Poniamo ogni fattore uguale a zero:
\[ x+3=0 \]
oppure:
\[ x-2=0 \]
oppure:
\[ x+2=0 \]
Otteniamo rispettivamente:
\[ x=-3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ S=\{-3,-2,2\} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Risultato
\[ S=\{1,2,3\} \]
Svolgimento
Osservazione iniziale
L’equazione è:
\[ x^3-6x^2+11x-6=0 \]
Non è immediatamente scomponibile tramite raccoglimento comune o prodotti notevoli. In questi casi, per un polinomio a coefficienti interi, una strategia naturale consiste nel cercare eventuali radici razionali.
Ricerca di una radice razionale
Se un polinomio a coefficienti interi ammette una radice intera, questa deve essere un divisore del termine noto. Il termine noto è \(-6\), quindi proviamo tra i divisori di \(6\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm6 \]
Indichiamo:
\[ P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
Calcoliamo \(P(1)\):
\[ P(1)=1^3-6\cdot1^2+11\cdot1-6 \]
cioè:
\[ P(1)=1-6+11-6=0 \]
Quindi \(x=1\) è una radice del polinomio.
Significato della radice trovata
Se \(x=1\) è una radice, allora il polinomio è divisibile per:
\[ x-1 \]
Questo significa che possiamo scrivere:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)Q(x) \]
dove \(Q(x)\) è un polinomio di secondo grado.
Divisione con Ruffini
Dividiamo il polinomio per \(x-1\). I coefficienti del polinomio sono:
\[ 1,\quad -6,\quad 11,\quad -6 \]
Applicando la regola di Ruffini con la radice \(1\), si ottiene come quoziente:
\[ x^2-5x+6 \]
Dunque:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Scomposizione del trinomio di secondo grado
Ora dobbiamo scomporre:
\[ x^2-5x+6 \]
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto \(6\) e somma \(-5\). I numeri sono \(-2\) e \(-3\), infatti:
\[ (-2)(-3)=6 \]
e:
\[ -2-3=-5 \]
Quindi:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Forma completamente fattorizzata
L’equazione iniziale diventa:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Applicazione del principio di annullamento del prodotto
Un prodotto è nullo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Pertanto:
\[ x-1=0 \]
oppure:
\[ x-2=0 \]
oppure:
\[ x-3=0 \]
Da cui:
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Conclusione
Le soluzioni dell’equazione sono:
\[ S=\{1,2,3\} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Risultato
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Svolgimento
Riconoscimento della struttura trinomia
L’equazione è:
\[ x^6-13x^3+36=0 \]
Osserviamo che gli esponenti presenti sono \(6\), \(3\) e \(0\). In particolare:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
Questo suggerisce una sostituzione analoga a quella usata per le equazioni di secondo grado.
Sostituzione
Poniamo:
\[ y=x^3 \]
Allora:
\[ x^6=(x^3)^2=y^2 \]
Sostituendo nell’equazione, otteniamo:
\[ y^2-13y+36=0 \]
Risoluzione dell’equazione in \(y\)
Scomponiamo il trinomio:
\[ y^2-13y+36 \]
Cerchiamo due numeri con prodotto \(36\) e somma \(-13\). I numeri sono \(-4\) e \(-9\), perché:
\[ (-4)(-9)=36 \]
e:
\[ -4-9=-13 \]
Quindi:
\[ y^2-13y+36=(y-4)(y-9) \]
L’equazione diventa:
\[ (y-4)(y-9)=0 \]
Pertanto:
\[ y=4 \qquad \text{oppure} \qquad y=9 \]
Ritorno alla variabile iniziale
Poiché abbiamo posto:
\[ y=x^3 \]
dobbiamo risolvere:
\[ x^3=4 \]
oppure:
\[ x^3=9 \]
Nel campo reale, ogni equazione della forma \(x^3=a\) ha una sola soluzione reale:
\[ x=\sqrt[3]{a} \]
Quindi otteniamo:
\[ x=\sqrt[3]{4} \]
oppure:
\[ x=\sqrt[3]{9} \]
Conclusione
Le soluzioni reali sono:
\[ S=\left\{\sqrt[3]{4},\sqrt[3]{9}\right\} \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^5-4x^3=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Svolgimento
Analisi iniziale
L’equazione è:
\[ x^5-4x^3=0 \]
Il massimo esponente è \(5\), quindi si tratta di un’equazione di quinto grado. Tuttavia non dobbiamo lasciarci ingannare dal grado: il polinomio ha un evidente fattore comune.
Infatti:
\[ x^5=x^3\cdot x^2 \]
e:
\[ -4x^3=x^3\cdot(-4) \]
Raccoglimento
Raccogliamo \(x^3\):
\[ x^5-4x^3=x^3(x^2-4) \]
L’equazione diventa:
\[ x^3(x^2-4)=0 \]
Scomposizione del secondo fattore
Il fattore:
\[ x^2-4 \]
è una differenza di quadrati, perché \(4=2^2\). Quindi:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Pertanto:
\[ x^5-4x^3=x^3(x-2)(x+2) \]
Forma fattorizzata dell’equazione
L’equazione si riscrive come:
\[ x^3(x-2)(x+2)=0 \]
Annullamento dei fattori
Ora poniamo uguale a zero ciascun fattore:
\[ x^3=0 \]
oppure:
\[ x-2=0 \]
oppure:
\[ x+2=0 \]
Dalla prima equazione otteniamo:
\[ x=0 \]
Dalla seconda:
\[ x=2 \]
Dalla terza:
\[ x=-2 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ S=\{-2,0,2\} \]
Anche se \(x=0\) deriva dal fattore \(x^3\), nell’insieme delle soluzioni si scrive una sola volta.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Risultato
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Svolgimento
Riconoscimento della struttura
L’equazione è:
\[ x^4-10x^2+9=0 \]
Compaiono soltanto potenze pari di \(x\): \(x^4\), \(x^2\) e il termine noto. Questo indica che l’equazione è biquadratica.
Sostituzione
Poniamo:
\[ y=x^2 \]
Allora:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Sostituendo otteniamo:
\[ y^2-10y+9=0 \]
Risoluzione dell’equazione in \(y\)
Cerchiamo due numeri con prodotto \(9\) e somma \(-10\). I numeri sono \(-1\) e \(-9\), infatti:
\[ (-1)(-9)=9 \]
e:
\[ -1-9=-10 \]
Quindi:
\[ y^2-10y+9=(y-1)(y-9) \]
L’equazione diventa:
\[ (y-1)(y-9)=0 \]
Da cui:
\[ y=1 \qquad \text{oppure} \qquad y=9 \]
Ritorno alla variabile iniziale
Poiché \(y=x^2\), dobbiamo risolvere:
\[ x^2=1 \]
oppure:
\[ x^2=9 \]
Dalla prima equazione:
\[ x=\pm1 \]
Dalla seconda:
\[ x=\pm3 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ S=\{-3,-1,1,3\} \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Risolvere:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Svolgimento
Osservazione iniziale
L’equazione è:
\[ x^3+x^2-4x-4=0 \]
Non esiste un fattore comune a tutti e quattro i termini. In questi casi può essere utile provare un raccoglimento parziale, raggruppando i termini in modo da far comparire lo stesso fattore.
Raggruppamento dei termini
Scriviamo:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x^3+x^2)+(-4x-4) \]
Nel primo gruppo possiamo raccogliere \(x^2\):
\[ x^3+x^2=x^2(x+1) \]
Nel secondo gruppo possiamo raccogliere \(-4\):
\[ -4x-4=-4(x+1) \]
Quindi:
\[ x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1) \]
Raccoglimento del fattore comune
Ora entrambi i termini contengono il fattore \((x+1)\):
\[ x^2(x+1)-4(x+1) \]
Raccogliendo \((x+1)\), otteniamo:
\[ x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4) \]
Scomposizione della differenza di quadrati
Il fattore:
\[ x^2-4 \]
è una differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Pertanto:
\[ x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2) \]
Equazione fattorizzata
L’equazione diventa:
\[ (x+1)(x-2)(x+2)=0 \]
Annullamento dei fattori
Poniamo ciascun fattore uguale a zero:
\[ x+1=0 \]
oppure:
\[ x-2=0 \]
oppure:
\[ x+2=0 \]
Otteniamo:
\[ x=-1,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ S=\{-2,-1,2\} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Svolgimento
Analisi del polinomio
L’equazione è:
\[ x^3-3x^2-4x+12=0 \]
Anche qui non c’è un fattore comune a tutti i termini. Proviamo quindi a raggruppare i termini in modo da ottenere un fattore binomiale comune.
Raccoglimento parziale
Raggruppiamo così:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x^3-3x^2)+(-4x+12) \]
Nel primo gruppo raccogliamo \(x^2\):
\[ x^3-3x^2=x^2(x-3) \]
Nel secondo gruppo raccogliamo \(-4\):
\[ -4x+12=-4(x-3) \]
Quindi:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Raccoglimento del fattore comune
Il fattore comune è \((x-3)\). Raccogliendolo:
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Scomposizione completa
Poiché:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
otteniamo:
\[ x^3-3x^2-4x+12=(x-3)(x-2)(x+2) \]
Risoluzione
L’equazione diventa:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]
Per il principio di annullamento del prodotto:
\[ x-3=0 \]
oppure:
\[ x-2=0 \]
oppure:
\[ x+2=0 \]
Quindi:
\[ x=3,\qquad x=2,\qquad x=-2 \]
Conclusione
Scrivendo le soluzioni in ordine crescente:
\[ S=\{-2,2,3\} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Risultato
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Svolgimento
Riconoscimento della forma biquadratica
L’equazione è:
\[ x^4+x^2-6=0 \]
Compaiono soltanto \(x^4\), \(x^2\) e il termine noto. Possiamo quindi introdurre una nuova variabile:
\[ y=x^2 \]
Da questa sostituzione segue:
\[ x^4=(x^2)^2=y^2 \]
Equazione nella nuova variabile
Sostituendo \(x^2\) con \(y\) e \(x^4\) con \(y^2\), l’equazione diventa:
\[ y^2+y-6=0 \]
Abbiamo così trasformato un’equazione di quarto grado in un’equazione di secondo grado.
Scomposizione del trinomio
Cerchiamo due numeri che abbiano prodotto \(-6\) e somma \(1\). I numeri sono \(3\) e \(-2\), perché:
\[ 3\cdot(-2)=-6 \]
e:
\[ 3+(-2)=1 \]
Quindi:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2) \]
L’equazione diventa:
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
Soluzioni in \(y\)
Per il principio di annullamento del prodotto:
\[ y+3=0 \]
oppure:
\[ y-2=0 \]
Quindi:
\[ y=-3 \qquad \text{oppure} \qquad y=2 \]
Ritorno alla variabile \(x\)
Ora ricordiamo che:
\[ y=x^2 \]
Il valore \(y=-3\) produce:
\[ x^2=-3 \]
Questa equazione non ha soluzioni reali, perché il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero.
Il valore \(y=2\) produce invece:
\[ x^2=2 \]
da cui:
\[ x=\pm\sqrt{2} \]
Conclusione
Le soluzioni reali dell’equazione iniziale sono:
\[ S=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Risultato
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Svolgimento
Osservazione iniziale
L’equazione è:
\[ x^3-2x^2-x+2=0 \]
Non possiamo raccogliere un fattore comune da tutti i termini. Proviamo quindi a raggruppare i termini:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x^3-2x^2)+(-x+2) \]
Raccoglimento parziale
Nel primo gruppo raccogliamo \(x^2\):
\[ x^3-2x^2=x^2(x-2) \]
Nel secondo gruppo raccogliamo \(-1\):
\[ -x+2=-(x-2) \]
Quindi:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-(x-2) \]
Raccoglimento del binomio comune
Entrambi i termini contengono il fattore \((x-2)\). Raccogliendolo, otteniamo:
\[ x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1) \]
Scomposizione della differenza di quadrati
Il fattore:
\[ x^2-1 \]
è una differenza di quadrati, perché:
\[ 1=1^2 \]
Quindi:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Di conseguenza:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1) \]
Equazione fattorizzata
L’equazione diventa:
\[ (x-2)(x-1)(x+1)=0 \]
Annullamento dei fattori
Poniamo ogni fattore uguale a zero:
\[ x-2=0 \]
oppure:
\[ x-1=0 \]
oppure:
\[ x+1=0 \]
Otteniamo:
\[ x=2,\qquad x=1,\qquad x=-1 \]
Conclusione
Scrivendo le soluzioni in ordine crescente:
\[ S=\{-1,1,2\} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Svolgimento
Scelta della strategia
Il polinomio:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
non presenta un fattore comune evidente e non è immediatamente riconducibile a un prodotto notevole. In questi casi possiamo cercare radici razionali.
Indichiamo:
\[ P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
Ricerca di una radice intera
Poiché il termine noto è \(12\), eventuali radici intere vanno cercate tra i divisori di \(12\):
\[ \pm1,\quad \pm2,\quad \pm3,\quad \pm4,\quad \pm6,\quad \pm12 \]
Proviamo \(x=2\):
\[ P(2)=2^4-2\cdot2^3-7\cdot2^2+8\cdot2+12 \]
Calcoliamo ogni termine:
\[ 2^4=16,\qquad -2\cdot2^3=-16,\qquad -7\cdot2^2=-28,\qquad 8\cdot2=16 \]
Quindi:
\[ P(2)=16-16-28+16+12=0 \]
Dunque \(x=2\) è una radice e il polinomio è divisibile per \(x-2\).
Prima divisione con Ruffini
Dividendo:
\[ x^4-2x^3-7x^2+8x+12 \]
per \(x-2\), otteniamo:
\[ x^3-7x-6 \]
Quindi:
\[ P(x)=(x-2)(x^3-7x-6) \]
Scomposizione del polinomio cubico
Ora dobbiamo scomporre:
\[ x^3-7x-6 \]
Cerchiamo un’altra radice intera. Proviamo \(x=3\):
\[ 3^3-7\cdot3-6=27-21-6=0 \]
Quindi \(x=3\) è una radice del polinomio cubico e possiamo dividere per \(x-3\).
Seconda divisione con Ruffini
Dividendo:
\[ x^3-7x-6 \]
per \(x-3\), otteniamo:
\[ x^2+3x+2 \]
Dunque:
\[ x^3-7x-6=(x-3)(x^2+3x+2) \]
Scomposizione finale
Scomponiamo:
\[ x^2+3x+2 \]
Cerchiamo due numeri con prodotto \(2\) e somma \(3\). Sono \(1\) e \(2\), quindi:
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \]
Il polinomio iniziale è quindi:
\[ P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)(x+2) \]
Risoluzione dell’equazione
L’equazione diventa:
\[ (x-2)(x-3)(x+1)(x+2)=0 \]
Perciò:
\[ x=2,\qquad x=3,\qquad x=-1,\qquad x=-2 \]
Conclusione
In ordine crescente:
\[ S=\{-2,-1,2,3\} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Risultato
\[ S=\{2\} \]
Svolgimento
Riconoscimento della struttura
L’equazione è:
\[ x^6-7x^3-8=0 \]
Gli esponenti presenti sono \(6\), \(3\) e \(0\). Poiché:
\[ x^6=(x^3)^2 \]
possiamo trattare l’equazione come un’equazione di secondo grado nella quantità \(x^3\).
Sostituzione
Poniamo:
\[ y=x^3 \]
Allora:
\[ x^6=y^2 \]
L’equazione diventa:
\[ y^2-7y-8=0 \]
Risoluzione dell’equazione in \(y\)
Scomponiamo:
\[ y^2-7y-8 \]
Cerchiamo due numeri con prodotto \(-8\) e somma \(-7\). I numeri sono \(-8\) e \(1\), infatti:
\[ (-8)\cdot1=-8 \]
e:
\[ -8+1=-7 \]
Quindi:
\[ y^2-7y-8=(y-8)(y+1) \]
L’equazione diventa:
\[ (y-8)(y+1)=0 \]
Pertanto:
\[ y=8 \]
oppure:
\[ y=-1 \]
Ritorno alla variabile \(x\)
Poiché:
\[ y=x^3 \]
otteniamo due equazioni:
\[ x^3=8 \]
oppure:
\[ x^3=-1 \]
Dalla prima:
\[ x=\sqrt[3]{8}=2 \]
Dalla seconda:
\[ x=\sqrt[3]{-1}=-1 \]
Conclusione
Le soluzioni reali sono:
\[ S=\{-1,2\} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
Risultato
\[ S=\{-2,1\} \]
Svolgimento
Equazione già fattorizzata
L’equazione è:
\[ (x-1)^2(x+2)=0 \]
In questo caso il polinomio è già scritto come prodotto di fattori. Non dobbiamo quindi scomporre ulteriormente: possiamo applicare direttamente il principio di annullamento del prodotto.
Annullamento dei fattori
Il prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo. Quindi:
\[ (x-1)^2=0 \]
oppure:
\[ x+2=0 \]
Primo fattore
Dalla prima equazione:
\[ (x-1)^2=0 \]
segue che:
\[ x-1=0 \]
e quindi:
\[ x=1 \]
La potenza al quadrato indica che la radice \(x=1\) compare due volte nella fattorizzazione. Si dice allora che \(x=1\) è una radice doppia.
Secondo fattore
Dalla seconda equazione:
\[ x+2=0 \]
otteniamo:
\[ x=-2 \]
Conclusione
Come insieme delle soluzioni scriviamo ogni valore una sola volta:
\[ S=\{-2,1\} \]
La molteplicità della radice \(1\) è importante nello studio del grafico del polinomio, ma non cambia l’insieme delle soluzioni.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Risultato
\[ S=\{0,2\} \]
Svolgimento
Analisi iniziale
L’equazione è:
\[ x^4-4x^3+4x^2=0 \]
Tutti i termini contengono almeno il fattore \(x^2\). Infatti:
\[ x^4=x^2\cdot x^2 \]
\[ -4x^3=x^2\cdot(-4x) \]
\[ 4x^2=x^2\cdot4 \]
Raccoglimento del fattore comune
Raccogliamo \(x^2\):
\[ x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^2-4x+4) \]
L’equazione diventa:
\[ x^2(x^2-4x+4)=0 \]
Riconoscimento del quadrato di binomio
Consideriamo il trinomio:
\[ x^2-4x+4 \]
Questo è un quadrato perfetto, perché:
\[ x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2 \]
dunque:
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2 \]
Forma fattorizzata completa
L’equazione diventa:
\[ x^2(x-2)^2=0 \]
Annullamento dei fattori
Poniamo uguali a zero i fattori:
\[ x^2=0 \]
oppure:
\[ (x-2)^2=0 \]
Dalla prima equazione:
\[ x=0 \]
Dalla seconda:
\[ x-2=0 \]
quindi:
\[ x=2 \]
Conclusione
Le soluzioni sono:
\[ S=\{0,2\} \]
Entrambe le radici hanno molteplicità \(2\), perché compaiono fattori quadratici \(x^2\) e \((x-2)^2\).