Dati due polinomi \(A(x)\) e \(B(x)\ne 0\), esistono e sono unici il quoziente \(Q(x)\) e il resto \(R(x)\) tali che:
\[A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x),\qquad \deg R(x)<\deg B(x).\]
Se \(R(x)=0\) la divisione è esatta. Per il teorema del resto, se il divisore è \((x-a)\) allora \(R=A(a)\).
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
\[ (x^2+5x+6)\div(x+2) \]
Risultato
\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dividendo si scompone in \((x+2)(x+3)\): la divisione sarà esatta. L'algoritmo lo conferma in due soli passi.
Passo 1
Divido il termine di grado massimo: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x+2)=x^2+2x\). Cambio i segni e sommo: \(x^2\) si annulla. Polinomio restante: \(3x+6\).
Passo 2
Divido: \(3x\div x=3\). Moltiplico: \(3(x+2)=3x+6\). Cambio i segni: \(3x\) e \(6\) si annullano. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^2\) | \(+5x\) | \(+6\) | \(x+2\) |
| \(-x^2\) | \(-2x\) | \(x+3\) | |
| \(0\) | \(+3x\) | \(+6\) | |
| \(-3x\) | \(-6\) | ||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x+2)(x+3)=x^2+5x+6\;\checkmark \)
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
\[ (x^2-9)\div(x-3) \]
Risultato
\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si riconosce la forma \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) con \(a=x\) e \(b=3\). Il termine \(0x\) va inserito come segnaposto.
Passo 1
Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-3)=x^2-3x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(3x-9\).
Passo 2
Divido: \(3x\div x=3\). Moltiplico: \(3(x-3)=3x-9\). Cambio i segni: \(3x\) e \(-9\) si annullano. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^2\) | \(+0x\) | \(-9\) | \(x-3\) |
| \(-x^2\) | \(+3x\) | \(x+3\) | |
| \(0\) | \(+3x\) | \(-9\) | |
| \(-3x\) | \(+9\) | ||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x-3)(x+3)=x^2-9\;\checkmark \)
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
\[ (x^2+2x-3)\div(x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x+3,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Poiché \(f(1)=1+2-3=0\), il teorema del resto garantisce che \((x-1)\) divide esattamente il dividendo.
Passo 1
Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(3x-3\).
Passo 2
Divido: \(3x\div x=3\). Moltiplico: \(3(x-1)=3x-3\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^2\) | \(+2x\) | \(-3\) | \(x-1\) |
| \(-x^2\) | \(+x\) | \(x+3\) | |
| \(0\) | \(+3x\) | \(-3\) | |
| \(-3x\) | \(+3\) | ||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x+3,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x-1)(x+3)=x^2+2x-3\;\checkmark \)
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
\[ (2x^2-x-3)\div(x+1) \]
Risultato
\[ Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il coefficiente direttore del dividendo è \(2\): il primo termine del quoziente sarà \(2x\). La divisione è esatta perché \(f(-1)=0\).
Passo 1
Divido: \(2x^2\div x=2x\). Moltiplico: \(2x(x+1)=2x^2+2x\). Cambio i segni: \(2x^2\) si annulla. Restante: \(-3x-3\).
Passo 2
Divido: \(-3x\div x=-3\). Moltiplico: \(-3(x+1)=-3x-3\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(2x^2\) | \(-x\) | \(-3\) | \(x+1\) |
| \(-2x^2\) | \(-2x\) | \(2x-3\) | |
| \(0\) | \(-3x\) | \(-3\) | |
| \(+3x\) | \(+3\) | ||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=2x-3,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x+1)(2x-3)=2x^2-x-3\;\checkmark \)
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
\[ (x^2+1)\div(x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x+1,\quad R(x)=2 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Per il teorema del resto \(R=f(1)=1+1=2\neq0\): la divisione non è esatta. Il termine \(0x\) va esplicitato come segnaposto.
Passo 1
Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(x+1\).
Passo 2
Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: \(x\) si annulla; \(1+1=2\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(x^2\) | \(+0x\) | \(+1\) | \(x-1\) |
| \(-x^2\) | \(+x\) | \(x+1\) | |
| \(0\) | \(+x\) | \(+1\) | |
| \(-x\) | \(+1\) | ||
| \(0\) | \(2\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x+1,\quad R(x)=2} \]
Verifica: \( (x-1)(x+1)+2=x^2+1\;\checkmark \)
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
\[ (x^3-8)\div(x-2) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Formula: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) con \(a=x,\;b=2\). I termini \(0x^2\) e \(0x\) vanno esplicitati.
Passo 1
Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(2x^2-8\).
Passo 2
Divido: \(2x^2\div x=2x\). Moltiplico: \(2x(x-2)=2x^2-4x\). Cambio i segni: \(2x^2\) si annulla. Restante: \(4x-8\).
Passo 3
Divido: \(4x\div x=4\). Moltiplico: \(4(x-2)=4x-8\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^3\) | \(+0x^2\) | \(+0x\) | \(-8\) | \(x-2\) |
| \(-x^3\) | \(+2x^2\) | \(x^2+2x+4\) | ||
| \(0\) | \(2x^2\) | \(+0x\) | \(-8\) | |
| \(-2x^2\) | \(+4x\) | |||
| \(0\) | \(+4x\) | \(-8\) | ||
| \(-4x\) | \(+8\) | |||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+4,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8\;\checkmark \)
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
\[ (x^3+1)\div(x+1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Formula: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) con \(a=x,\;b=1\). Verifica subito: \(f(-1)=-1+1=0\).
Passo 1
Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(-x^2+1\).
Passo 2
Divido: \(-x^2\div x=-x\). Moltiplico: \(-x(x+1)=-x^2-x\). Cambio i segni: \(-x^2\) si annulla. Restante: \(x+1\).
Passo 3
Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x+1)=x+1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^3\) | \(+0x^2\) | \(+0x\) | \(+1\) | \(x+1\) |
| \(-x^3\) | \(-x^2\) | \(x^2-x+1\) | ||
| \(0\) | \(-x^2\) | \(+0x\) | \(+1\) | |
| \(+x^2\) | \(+x\) | |||
| \(0\) | \(+x\) | \(+1\) | ||
| \(-x\) | \(-1\) | |||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+1,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\;\checkmark \)
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
\[ (x^3+x+1)\div(x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Manca il termine \(x^2\): va inserito come \(0x^2\). Per il teorema del resto \(f(1)=1+1+1=3\neq0\), quindi il resto è \(3\).
Passo 1
Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(x^2+x+1\).
Passo 2
Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(2x+1\).
Passo 3
Divido: \(2x\div x=2\). Moltiplico: \(2(x-1)=2x-2\). Cambio i segni: \(2x\) si annulla; \(1+2=3\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(x^3\) | \(+0x^2\) | \(+x\) | \(+1\) | \(x-1\) |
| \(-x^3\) | \(+x^2\) | \(x^2+x+2\) | ||
| \(0\) | \(+x^2\) | \(+x\) | \(+1\) | |
| \(-x^2\) | \(+x\) | |||
| \(0\) | \(+2x\) | \(+1\) | ||
| \(-2x\) | \(+2\) | |||
| \(0\) | \(3\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2+x+2,\quad R(x)=3} \]
Verifica: \( (x-1)(x^2+x+2)+3=x^3+x+1\;\checkmark \)
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
\[ (x^3-3x^2+3x-1)\div(x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dividendo è \((x-1)^3\). Dividere per \((x-1)\) restituisce \((x-1)^2=x^2-2x+1\). Verifica: \(f(1)=0\).
Passo 1
Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(-2x^2+3x-1\).
Passo 2
Divido: \(-2x^2\div x=-2x\). Moltiplico: \(-2x(x-1)=-2x^2+2x\). Cambio i segni: \(-2x^2\) si annulla. Restante: \(x-1\).
Passo 3
Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^3\) | \(-3x^2\) | \(+3x\) | \(-1\) | \(x-1\) |
| \(-x^3\) | \(+x^2\) | \(x^2-2x+1\) | ||
| \(0\) | \(-2x^2\) | \(+3x\) | \(-1\) | |
| \(+2x^2\) | \(-2x\) | |||
| \(0\) | \(+x\) | \(-1\) | ||
| \(-x\) | \(+1\) | |||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x+1,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x-1)^3\div(x-1)=(x-1)^2=x^2-2x+1\;\checkmark \)
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
\[ (x^2-3x+1)\div(x-2) \]
Risultato
\[ Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Per il teorema del resto \(R=f(2)=4-6+1=-1\neq0\). Il quoziente ha grado \(1\).
Passo 1
Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-2)=x^2-2x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(-x+1\).
Passo 2
Divido: \(-x\div x=-1\). Moltiplico: \(-1\cdot(x-2)=-x+2\). Cambio i segni: \(-x\) si annulla; \(1-2=-1\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(x^2\) | \(-3x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-x^2\) | \(+2x\) | \(x-1\) | |
| \(0\) | \(-x\) | \(+1\) | |
| \(+x\) | \(-2\) | ||
| \(0\) | \(-1\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x-1,\quad R(x)=-1} \]
Verifica: \( (x-2)(x-1)-1=x^2-3x+1\;\checkmark \)
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
\[ (x^3+x^2-x-1)\div(x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
\(f(1)=1+1-1-1=0\): la divisione è esatta. Il quoziente \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) è un quadrato perfetto.
Passo 1
Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(2x^2-x-1\).
Passo 2
Divido: \(2x^2\div x=2x\). Moltiplico: \(2x(x-1)=2x^2-2x\). Cambio i segni: \(2x^2\) si annulla. Restante: \(x-1\).
Passo 3
Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^3\) | \(+x^2\) | \(-x\) | \(-1\) | \(x-1\) |
| \(-x^3\) | \(+x^2\) | \(x^2+2x+1\) | ||
| \(0\) | \(2x^2\) | \(-x\) | \(-1\) | |
| \(-2x^2\) | \(+2x\) | |||
| \(0\) | \(+x\) | \(-1\) | ||
| \(-x\) | \(+1\) | |||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2+2x+1,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1\;\checkmark \)
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
\[ (2x^3-3x+1)\div(x+2) \]
Risultato
\[ Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Manca \(x^2\): si inserisce \(0x^2\). Il teorema del resto dà \(f(-2)=-16+6+1=-9\): conferma il resto.
Passo 1
Divido: \(2x^3\div x=2x^2\). Moltiplico: \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\). Cambio i segni: \(2x^3\) si annulla. Restante: \(-4x^2-3x+1\).
Passo 2
Divido: \(-4x^2\div x=-4x\). Moltiplico: \(-4x(x+2)=-4x^2-8x\). Cambio i segni: \(-4x^2\) si annulla. Restante: \(5x+1\).
Passo 3
Divido: \(5x\div x=5\). Moltiplico: \(5(x+2)=5x+10\). Cambio i segni: \(5x\) si annulla; \(1-10=-9\). Grado \(0<1\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(2x^3\) | \(+0x^2\) | \(-3x\) | \(+1\) | \(x+2\) |
| \(-2x^3\) | \(-4x^2\) | \(2x^2-4x+5\) | ||
| \(0\) | \(-4x^2\) | \(-3x\) | \(+1\) | |
| \(+4x^2\) | \(+8x\) | |||
| \(0\) | \(+5x\) | \(+1\) | ||
| \(-5x\) | \(-10\) | |||
| \(0\) | \(-9\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=2x^2-4x+5,\quad R(x)=-9} \]
Verifica: \( (x+2)(2x^2-4x+5)-9=2x^3-3x+1\;\checkmark \)
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
\[ (x^3+2x^2-x-2)\div(x^2-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x+2,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il divisore \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) ha grado 2: il quoziente avrà grado \(3-2=1\) e il resto al massimo grado \(1\).
Passo 1
Divido: \(x^3\div x^2=x\). Moltiplico: \(x(x^2-1)=x^3-x\). Cambio i segni: \(x^3\) e \(-x\) si annullano. Restante: \(2x^2-2\).
Passo 2
Divido: \(2x^2\div x^2=2\). Moltiplico: \(2(x^2-1)=2x^2-2\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^3\) | \(+2x^2\) | \(-x\) | \(-2\) | \(x^2-1\) |
| \(-x^3\) | \(+x\) | \(x+2\) | ||
| \(0\) | \(2x^2\) | \(0\) | \(-2\) | |
| \(-2x^2\) | \(+2\) | |||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x+2,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x^2-1)(x+2)=x^3+2x^2-x-2\;\checkmark \)
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
\[ (2x^3-x^2-7x+6)\div(x^2-x-2) \]
Risultato
\[ Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il divisore ha grado 2 e il dividendo grado 3: il quoziente avrà grado \(1\). Il resto avrà grado al massimo \(1\), cioè è della forma \(ax+b\).
Passo 1
Divido: \(2x^3\div x^2=2x\). Moltiplico: \(2x(x^2-x-2)=2x^3-2x^2-4x\). Cambio i segni: \(2x^3\) si annulla. Restante: \(x^2-3x+6\).
Passo 2
Divido: \(x^2\div x^2=1\). Moltiplico: \(x^2-x-2\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(-2x+8\). Grado \(1<2\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(2x^3\) | \(-x^2\) | \(-7x\) | \(+6\) | \(x^2-x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+2x^2\) | \(+4x\) | \(2x+1\) | |
| \(0\) | \(+x^2\) | \(-3x\) | \(+6\) | |
| \(-x^2\) | \(+x\) | \(+2\) | ||
| \(0\) | \(-2x\) | \(+8\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=2x+1,\quad R(x)=-2x+8} \]
Verifica: \( (x^2-x-2)(2x+1)+(-2x+8)=2x^3-x^2-7x+6\;\checkmark \)
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
\[ (x^4+2x^2+x-1)\div(x^2+x+1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Manca il termine \(x^3\): si inserisce \(0x^3\). Il quoziente avrà grado \(4-2=2\). Il resto è una costante.
Passo 1
Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2\). Cambio i segni: \(x^4\) e \(x^3\) si annullano. Restante: \(-x^3+x^2+x-1\).
Passo 2
Divido: \(-x^3\div x^2=-x\). Moltiplico: \(-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x\). Cambio i segni: \(-x^3\), \(x^2\) e \(x\) si annullano. Restante: \(2x^2+2x-1\).
Passo 3
Divido: \(2x^2\div x^2=2\). Moltiplico: \(2(x^2+x+1)=2x^2+2x+2\). Cambio i segni: \(2x^2\) e \(2x\) si annullano; \(-1-2=-3\). Grado \(0<2\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(x^4\) | \(+0x^3\) | \(+2x^2\) | \(+x\) | \(-1\) | \(x^2+x+1\) |
| \(-x^4\) | \(-x^3\) | \(-x^2\) | \(x^2-x+2\) | ||
| \(0\) | \(-x^3\) | \(+x^2\) | \(+x\) | \(-1\) | |
| \(+x^3\) | \(+x^2\) | \(+x\) | |||
| \(0\) | \(+2x^2\) | \(+2x\) | \(-1\) | ||
| \(-2x^2\) | \(-2x\) | \(-2\) | |||
| \(0\) | \(0\) | \(-3\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2-x+2,\quad R(x)=-3} \]
Verifica: \( (x^2+x+1)(x^2-x+2)-3=x^4+2x^2+x-1\;\checkmark \)
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
\[ (x^4-5x^2+4)\div(x^2-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Mancano \(x^3\) e \(x\): si inseriscono come \(0x^3\) e \(0x\). Si riconosce \(x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)\).
Passo 1
Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Cambio i segni: \(x^4\) si annulla. Restante: \(-4x^2+4\).
Passo 2
Divido: \(-4x^2\div x^2=-4\). Moltiplico: \(-4(x^2-1)=-4x^2+4\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^4\) | \(+0x^3\) | \(-5x^2\) | \(+0x\) | \(+4\) | \(x^2-1\) |
| \(-x^4\) | \(+x^2\) | \(x^2-4\) | |||
| \(0\) | \(-4x^2\) | \(+4\) | |||
| \(+4x^2\) | \(-4\) | ||||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2-4,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\;\checkmark \)
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
\[ (3x^3-2x^2+x-4)\div(x^2+x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Grado dividendo 3, grado divisore 2: quoziente di grado \(1\), resto di grado al massimo \(1\). Il resto non è nullo e va calcolato completamente.
Passo 1
Divido: \(3x^3\div x^2=3x\). Moltiplico: \(3x(x^2+x-1)=3x^3+3x^2-3x\). Cambio i segni: \(3x^3\) si annulla. Restante: \(-5x^2+4x-4\).
Passo 2
Divido: \(-5x^2\div x^2=-5\). Moltiplico: \(-5(x^2+x-1)=-5x^2-5x+5\). Cambio i segni: \(-5x^2\) si annulla. Restante: \(9x-9\). Grado \(1<2\): ci fermiamo.
Schema completo
| \(3x^3\) | \(-2x^2\) | \(+x\) | \(-4\) | \(x^2+x-1\) |
| \(-3x^3\) | \(-3x^2\) | \(+3x\) | \(3x-5\) | |
| \(0\) | \(-5x^2\) | \(+4x\) | \(-4\) | |
| \(+5x^2\) | \(+5x\) | \(-5\) | ||
| \(0\) | \(+9x\) | \(-9\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=3x-5,\quad R(x)=9x-9} \]
Verifica: \( (x^2+x-1)(3x-5)+(9x-9)=3x^3-2x^2+x-4\;\checkmark \)
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
\[ (x^4-x^3-7x^2+x+6)\div(x^2+x-2) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il divisore \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\). Sia \(f(1)\) che \(f(-2)\) sono nulli: la divisione è esatta. Il quoziente è a sua volta scomponibile.
Passo 1
Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2+x-2)=x^4+x^3-2x^2\). Cambio i segni: \(x^4\) si annulla. Restante: \(-2x^3-5x^2+x+6\).
Passo 2
Divido: \(-2x^3\div x^2=-2x\). Moltiplico: \(-2x(x^2+x-2)=-2x^3-2x^2+4x\). Cambio i segni: \(-2x^3\) si annulla. Restante: \(-3x^2-3x+6\).
Passo 3
Divido: \(-3x^2\div x^2=-3\). Moltiplico: \(-3(x^2+x-2)=-3x^2-3x+6\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^4\) | \(-x^3\) | \(-7x^2\) | \(+x\) | \(+6\) | \(x^2+x-2\) |
| \(-x^4\) | \(-x^3\) | \(+2x^2\) | \(x^2-2x-3\) | ||
| \(0\) | \(-2x^3\) | \(-5x^2\) | \(+x\) | \(+6\) | |
| \(+2x^3\) | \(+2x^2\) | \(-4x\) | |||
| \(0\) | \(-3x^2\) | \(-3x\) | \(+6\) | ||
| \(+3x^2\) | \(+3x\) | \(-6\) | |||
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2-2x-3,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x^2+x-2)(x^2-2x-3)=x^4-x^3-7x^2+x+6\;\checkmark \)
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
\[ (x^5-1)\div(x-1) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Identità della serie geometrica: \(\displaystyle\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1\). Tutti i termini intermedi del dividendo sono nulli.
Passo 1
Divido: \(x^5\div x=x^4\). Moltiplico: \(x^4(x-1)=x^5-x^4\). Cambio i segni: \(x^5\) si annulla. Restante: \(x^4-1\).
Passo 2
Divido: \(x^4\div x=x^3\). Moltiplico: \(x^3(x-1)=x^4-x^3\). Cambio i segni: \(x^4\) si annulla. Restante: \(x^3-1\).
Passo 3
Divido: \(x^3\div x=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x-1)=x^3-x^2\). Cambio i segni: \(x^3\) si annulla. Restante: \(x^2-1\).
Passo 4
Divido: \(x^2\div x=x\). Moltiplico: \(x(x-1)=x^2-x\). Cambio i segni: \(x^2\) si annulla. Restante: \(x-1\).
Passo 5
Divido: \(x\div x=1\). Moltiplico: \(1\cdot(x-1)=x-1\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^5\) | \(+0x^4\) | \(+0x^3\) | \(+0x^2\) | \(+0x\) | \(-1\) | \(x-1\) |
| \(-x^5\) | \(+x^4\) | \(x^4+x^3+x^2+x+1\) | ||||
| \(0\) | \(+x^4\) | \(+0x^3\) | \(+0x^2\) | \(+0x\) | \(-1\) | |
| \(-x^4\) | \(+x^3\) | |||||
| \(0\) | \(+x^3\) | \(+0x^2\) | \(+0x\) | \(-1\) | ||
| \(-x^3\) | \(+x^2\) | |||||
| \(0\) | \(+x^2\) | \(+0x\) | \(-1\) | |||
| \(-x^2\) | \(+x\) | |||||
| \(0\) | \(+x\) | \(-1\) | ||||
| \(-x\) | \(+1\) | |||||
| \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^4+x^3+x^2+x+1,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1\;\checkmark \)
Esercizio 20 — livello ★★★★☆
\[ (x^4-2x^3-x^2+2x)\div(x^2-2x) \]
Risultato
\[ Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0 \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Il dividendo si fattorizza come \(x(x-2)(x^2-1)\) e il divisore come \(x(x-2)\): la divisione è esatta in soli due passi.
Passo 1
Divido: \(x^4\div x^2=x^2\). Moltiplico: \(x^2(x^2-2x)=x^4-2x^3\). Cambio i segni: \(x^4\) e \(-2x^3\) si annullano. Restante: \(-x^2+2x\).
Passo 2
Divido: \(-x^2\div x^2=-1\). Moltiplico: \(-1\cdot(x^2-2x)=-x^2+2x\). Cambio i segni: tutto si annulla. Resto \(0\).
Schema completo
| \(x^4\) | \(-2x^3\) | \(-x^2\) | \(+2x\) | \(x^2-2x\) | |
| \(-x^4\) | \(+2x^3\) | \(x^2-1\) | |||
| \(0\) | \(0\) | \(-x^2\) | \(+2x\) | ||
| \(+x^2\) | \(-2x\) | ||||
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
Risultato
\[ \boxed{Q(x)=x^2-1,\quad R(x)=0} \]
Verifica: \( x(x-2)(x^2-1)=x(x-2)(x-1)(x+1)\;\checkmark \)