La divisione tra polinomi è una delle operazioni fondamentali dell’algebra. Essa permette di scrivere un polinomio come prodotto di un altro polinomio per un quoziente, più un eventuale resto.
A prima vista può sembrare una tecnica puramente meccanica. In realtà , la divisione tra polinomi è uno strumento teorico centrale: permette di studiare la divisibilità , riconoscere fattori, applicare il teorema del resto, comprendere la regola di Ruffini e collegare le radici di un polinomio alla sua fattorizzazione.
L’idea di fondo è simile a quella della divisione tra numeri interi: dato un dividendo e un divisore, si cercano un quoziente e un resto. Nel caso dei polinomi, però, la grandezza che guida il procedimento non è il valore numerico, ma il grado.
Indice
- Definizione Formale
- Significato del Quoziente e del Resto
- Divisione Lunga tra Polinomi
- Esempio Svolto con Schema
- Teorema della Divisione Euclidea
- Divisibilità tra Polinomi
- Teorema del Resto
- Regola di Ruffini
- Ruffini Spiegato Passo Passo
- Errori Frequenti
- Esercizi con Soluzioni
- Conclusione
Definizione Formale
Siano \(A(x)\) e \(B(x)\) due polinomi, con \(B(x)\neq 0\). Dividere \(A(x)\) per \(B(x)\) significa cercare due polinomi \(Q(x)\) e \(R(x)\), chiamati rispettivamente quoziente e resto, tali che \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), con la condizione:
\[ R(x)=0 \quad \text{oppure} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Il polinomio \(A(x)\) si chiama dividendo, il polinomio \(B(x)\) si chiama divisore, \(Q(x)\) è il quoziente e \(R(x)\) è il resto.
La condizione sul grado del resto è essenziale. Se il resto avesse grado maggiore o uguale al grado del divisore, sarebbe ancora possibile continuare la divisione. La divisione termina soltanto quando ciò che rimane ha grado minore del divisore, cioè quando non può più essere diviso secondo lo stesso procedimento.
Per esempio, \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)+0\). In questa scrittura il dividendo è \(x^2+3x+2\), il divisore è \(x+1\), il quoziente è \(x+2\) e il resto è \(0\). Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta.
Significato del Quoziente e del Resto
L’identità \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\) significa che il polinomio \(A(x)\) viene scomposto in due parti: una parte multipla del divisore \(B(x)\), cioè \(B(x)Q(x)\), e una parte residua, cioè \(R(x)\).
Il quoziente \(Q(x)\) rappresenta la parte del dividendo che può essere ottenuta moltiplicando il divisore per un altro polinomio. Il resto \(R(x)\), invece, rappresenta ciò che rimane dopo aver sottratto dal dividendo tutti i contributi possibili costruiti a partire dal divisore.
L’analogia con la divisione tra numeri interi è utile. Per esempio, \(17=5\cdot 3+2\). Qui \(17\) è il dividendo, \(5\) è il divisore, \(3\) è il quoziente e \(2\) è il resto. Il resto deve essere minore del divisore.
Nella divisione tra polinomi accade qualcosa di analogo, ma la condizione non riguarda il valore numerico del resto. Riguarda il suo grado:
\[ \deg R(x)<\deg B(x) \]
Questo è il principio che rende la divisione tra polinomi una vera divisione euclidea.
Divisione Lunga tra Polinomi
Il metodo più generale per dividere due polinomi è la divisione lunga. È il procedimento che si usa quando il divisore ha grado qualunque, non necessariamente \(1\).
Prima di iniziare, è importante scrivere i polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di \(x\). Se manca un termine, bisogna inserirlo con coefficiente \(0\).
Per esempio, il polinomio:
\[ x^4-3x+2 \]
deve essere scritto come:
\[ x^4+0x^3+0x^2-3x+2 \]
Questa scrittura non cambia il polinomio, ma rende lo schema della divisione più chiaro e impedisce errori di allineamento.
L’idea della divisione lunga è eliminare progressivamente il termine di grado massimo del dividendo. A ogni passaggio si guarda il termine principale del polinomio rimasto e lo si divide per il termine principale del divisore.
Se \(\deg A(x)<\deg B(x)\), la divisione è già terminata: \(Q(x)=0\) e \(R(x)=A(x)\). Se invece \(\deg A(x)\geq \deg B(x)\), si procede dividendo il termine principale del dividendo per il termine principale del divisore. Il risultato ottenuto diventa il primo termine del quoziente. Poi si moltiplica il divisore per questo termine e si sottrae il prodotto dal dividendo.
Esempio Svolto con Schema
Dividiamo \(2x^3+3x^2-5x+1\) per \(x-2\). Il dividendo è già scritto in forma completa rispetto alle potenze decrescenti di \(x\):
\[ 2x^3+3x^2-5x+1 \]
Cerchiamo due polinomi \(Q(x)\) e \(R(x)\) tali che:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)Q(x)+R(x) \]
Primo passaggio
Dividiamo il termine principale del dividendo per il termine principale del divisore:
\[ \frac{2x^3}{x}=2x^2 \]
Il primo termine del quoziente è \(2x^2\). Moltiplichiamo il divisore per \(2x^2\):
\[ 2x^2(x-2)=2x^3-4x^2 \]
Per sottrarre questo polinomio dal dividendo, cambiamo segno a tutti i suoi termini e poi sommiamo:
\[ -(2x^3-4x^2)=-2x^3+4x^2 \]
Scriviamo anche i termini mancanti, in modo da mantenere l’allineamento:
\[ -2x^3+4x^2+0x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) |
Dopo la somma, il termine \(2x^3\) si annulla e rimane il resto parziale:
\[ 7x^2-5x+1 \]
Secondo passaggio
Ripetiamo il procedimento sul resto parziale. Dividiamo il suo termine principale per il termine principale del divisore:
\[ \frac{7x^2}{x}=7x \]
Il secondo termine del quoziente è \(7x\), quindi il quoziente parziale diventa:
\[ 2x^2+7x \]
Moltiplichiamo il divisore per \(7x\):
\[ 7x(x-2)=7x^2-14x \]
Per sottrarre, cambiamo segno a tutti i termini:
\[ -(7x^2-14x)=-7x^2+14x \]
Completiamo con il termine noto mancante:
\[ -7x^2+14x+0 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) |
Dopo la somma rimane il nuovo resto parziale:
\[ 9x+1 \]
Terzo passaggio
Dividiamo il termine principale del nuovo resto parziale per il termine principale del divisore:
\[ \frac{9x}{x}=9 \]
Il terzo termine del quoziente è \(9\), quindi il quoziente diventa:
\[ 2x^2+7x+9 \]
Moltiplichiamo il divisore per \(9\):
\[ 9(x-2)=9x-18 \]
Per sottrarre, cambiamo segno:
\[ -(9x-18)=-9x+18 \]
| \(2x^3\) | \(+3x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | \(x-2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | \(0x\) | \(0\) | \(2x^2+7x+9\) |
| \(0x^3\) | \(+7x^2\) | \(-5x\) | \(+1\) | |
| \(-7x^2\) | \(+14x\) | \(0\) | ||
| \(0x^2\) | \(+9x\) | \(+1\) | ||
| \(-9x\) | \(+18\) | |||
| \(0x\) | \(+19\) |
Il resto finale è:
\[ R(x)=19 \]
Poiché il divisore \(x-2\) ha grado \(1\) e il resto \(19\) ha grado \(0\), vale:
\[ \deg 19=0<1=\deg(x-2) \]
La divisione è quindi terminata.
Risultato finale
Dallo schema leggiamo il quoziente:
\[ Q(x)=2x^2+7x+9 \]
e il resto:
\[ R(x)=19 \]
Pertanto:
\[ 2x^3+3x^2-5x+1=(x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
Verifichiamo il risultato sviluppando il secondo membro:
\[ (x-2)(2x^2+7x+9)+19 \]
\[ =2x^3+7x^2+9x-4x^2-14x-18+19 \]
\[ =2x^3+3x^2-5x+1 \]
La divisione è quindi corretta.
Teorema della Divisione Euclidea
Teorema. Siano \(A(x)\) e \(B(x)\) due polinomi, con \(B(x)\neq 0\). Allora esistono e sono unici due polinomi \(Q(x)\) e \(R(x)\) tali che \(A(x)=B(x)Q(x)+R(x)\), con:
\[ R(x)=0 \quad \text{oppure} \quad \deg R(x)<\deg B(x) \]
Questo risultato si chiama teorema della divisione euclidea per i polinomi. L’esistenza è garantita dall’algoritmo della divisione lunga; l’unicità significa che, fissati dividendo e divisore, non possono esistere due quozienti o due resti diversi che soddisfino le condizioni del teorema.
Idea della dimostrazione dell’unicitÃ
Supponiamo che esistano due scritture:
\[ A(x)=B(x)Q_1(x)+R_1(x) \]
e:
\[ A(x)=B(x)Q_2(x)+R_2(x) \]
con \(\deg R_1(x)<\deg B(x)\) e \(\deg R_2(x)<\deg B(x)\). Sottraendo membro a membro otteniamo:
\[ B(x)(Q_1(x)-Q_2(x))=R_2(x)-R_1(x) \]
Se \(Q_1(x)\neq Q_2(x)\), il membro sinistro avrebbe grado almeno \(\deg B(x)\), mentre il membro destro avrebbe grado minore di \(\deg B(x)\), impossibile. Dunque \(Q_1(x)=Q_2(x)\) e quindi \(R_1(x)=R_2(x)\).
Divisibilità tra Polinomi
La divisione permette di definire in modo rigoroso la divisibilità tra polinomi. Si dice che \(B(x)\) divide \(A(x)\), e si scrive \(B(x)\mid A(x)\), se esiste un polinomio \(Q(x)\) tale che:
\[ A(x)=B(x)Q(x) \]
In termini di divisione:
\[ B(x)\mid A(x) \quad \iff \quad R(x)=0 \]
Quando il resto è zero, la divisione si dice esatta. In questo caso \(B(x)\) è un fattore di \(A(x)\), mentre \(A(x)\) è un multiplo di \(B(x)\).
Teorema del Resto
Teorema del resto. Se un polinomio \(P(x)\) viene diviso per \(x-a\), allora il resto della divisione è \(P(a)\).
Infatti, per il teorema della divisione euclidea, possiamo scrivere:
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+R(x) \]
Poiché il divisore \(x-a\) ha grado \(1\), il resto è una costante \(r\). Quindi:
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r \]
Sostituendo \(x=a\), otteniamo:
\[ P(a)=(a-a)Q(a)+r=r \]
Dunque il resto della divisione per \(x-a\) è \(P(a)\). Di conseguenza:
\[ x-a\mid P(x) \quad \iff \quad P(a)=0 \]
Regola di Ruffini
La regola di Ruffini è un metodo abbreviato per eseguire la divisione di un polinomio per un binomio di primo grado della forma:
\[ x-a \]
Non si tratta di una tecnica diversa dalla divisione lunga: Ruffini è semplicemente una scrittura più compatta dello stesso procedimento. Invece di lavorare direttamente con tutti i monomi, si utilizzano soltanto i coefficienti del polinomio.
Prima di applicare Ruffini, il polinomio deve essere scritto in forma completa rispetto alle potenze decrescenti di \(x\). Se manca qualche termine, bisogna inserire il coefficiente \(0\).
Per esempio:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
I coefficienti da usare sono:
\[ 1,\ 0,\ -4,\ 1 \]
Se il divisore è \(x-a\), nello schema si utilizza il numero \(a\). Per esempio \(x-3\Rightarrow 3\), mentre \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
Ruffini Spiegato Passo Passo
Dividiamo \( P(x)=x^3-6x^2+11x-6 \) per \( x-1 \).
Poiché il divisore è \(x-1\), il numero da scrivere a sinistra nello schema è \(1\). Il polinomio è completo e i coefficienti sono:
\[ 1,\ -6,\ 11,\ -6 \]
Schema iniziale
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array} \]
Primo passaggio
Il primo coefficiente si abbassa senza modificarlo:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & & & \\ \hline & 1 & & & \end{array} \]
Secondo passaggio
Moltiplichiamo \(1\cdot 1=1\), scriviamo il risultato sotto il coefficiente successivo e sommiamo:
\[ -6+1=-5 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & & \\ \hline & 1 & -5 & & \end{array} \]
Terzo passaggio
Moltiplichiamo \(1\cdot(-5)=-5\), scriviamo il risultato sotto il coefficiente successivo e sommiamo:
\[ 11+(-5)=6 \]
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & \\ \hline & 1 & -5 & 6 & \end{array} \]
Quarto passaggio
Moltiplichiamo \(1\cdot 6=6\), scriviamo il risultato sotto l’ultimo coefficiente e sommiamo:
\[ -6+6=0 \]
Lo schema completo è:
\[ \begin{array}{r|rrr|r} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Interpretazione del risultato
I valori ottenuti nella riga inferiore, escluso l’ultimo, rappresentano i coefficienti del polinomio quoziente:
\[ Q(x)=x^2-5x+6 \]
L’ultimo valore è il resto della divisione:
\[ R=0 \]
Poiché il resto è nullo, la divisione è esatta:
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Errori Frequenti
1. Dimenticare i termini mancanti
Quando si usa la divisione lunga o Ruffini, il polinomio deve essere completo. Se manca una potenza di \(x\), bisogna inserire il coefficiente \(0\).
2. Sbagliare il segno nel divisore
Se il divisore è \(x-a\), nello schema di Ruffini si usa \(a\). Perciò \(x-3\Rightarrow 3\), mentre \(x+3=x-(-3)\Rightarrow -3\).
3. Fermarsi prima del tempo
Nella divisione lunga bisogna continuare finché il resto ha grado minore del divisore.
4. Confondere il resto con un termine del quoziente
Nello schema di Ruffini l’ultimo numero dell’ultima riga è il resto, non un coefficiente del quoziente. Per questo, nello schema, è utile separarlo con una linea verticale.
5. Applicare Ruffini a divisori non adatti
La regola di Ruffini, nella sua forma standard, si applica direttamente soltanto a divisori della forma \(x-a\). Per divisori come \(x^2+1\), bisogna usare la divisione lunga.
Esercizi con Soluzioni
Esercizio 1. Dividere \(x^2+5x+6\) per \(x+2\).
Soluzione. Poiché \(x+2=x-(-2)\), usiamo Ruffini con \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} -2 & 1 & 5 & 6 \\ & & -2 & -6 \\ \hline & 1 & 3 & 0 \end{array} \]
Quindi \(Q(x)=x+3\) e \(R=0\). Pertanto \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Esercizio 2. Dividere \(x^2+1\) per \(x-1\).
Soluzione. Completiamo il polinomio: \(x^2+1=x^2+0x+1\). Usiamo Ruffini con \(1\):
\[ \begin{array}{r|rr|r} 1 & 1 & 0 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 2 \end{array} \]
Quindi \(Q(x)=x+1\) e \(R=2\). Infatti \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\).
Esercizio 3. Usare il teorema del resto per determinare il resto della divisione di \(P(x)=x^3-4x+7\) per \(x-2\).
Soluzione. Il resto è \(P(2)\). Poiché \(P(x)=x^3+0x^2-4x+7\), abbiamo:
\[ P(2)=2^3+0\cdot 2^2-4\cdot 2+7=8-8+7=7 \]
Dunque il resto è \(7\).
Esercizio 4. Stabilire se \(x-3\) divide \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\).
Soluzione. Per il teorema del resto, \(x-3\) divide \(P(x)\) se e solo se \(P(3)=0\). Calcoliamo:
\[ P(3)=27-54+33-6=0 \]
Quindi \(x-3\mid P(x)\).
Esercizio 5. Dividere \(2x^3-x^2+4x-3\) per \(x+1\).
Soluzione. Poiché \(x+1=x-(-1)\), usiamo Ruffini con \(-1\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -1 & 2 & -1 & 4 & -3 \\ & & -2 & 3 & -7 \\ \hline & 2 & -3 & 7 & -10 \end{array} \]
Quindi \(Q(x)=2x^2-3x+7\) e \(R=-10\). Pertanto:
\[ 2x^3-x^2+4x-3=(x+1)(2x^2-3x+7)-10 \]
Esercizio 6. Determinare il valore di \(k\) affinché \(x-2\) divida \(P(x)=x^3+kx^2-4x+4\).
Soluzione. Deve essere \(P(2)=0\). Calcoliamo:
\[ P(2)=8+4k-8+4=4k+4 \]
Quindi \(4k+4=0\), da cui \(k=-1\).
Esercizio 7. Dividere \(x^4-1\) per \(x^2+1\).
Soluzione. Usiamo la divisione lunga, perché Ruffini non è applicabile direttamente. Completiamo il dividendo:
\[ x^4-1=x^4+0x^3+0x^2+0x-1 \]
Si ottiene:
\[ Q(x)=x^2-1,\qquad R(x)=0 \]
Pertanto:
\[ x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) \]
Esercizio 8. Dividere \(x^3-4x+1\) per \(x+2\) usando Ruffini.
Soluzione. Completiamo:
\[ x^3-4x+1=x^3+0x^2-4x+1 \]
Poiché \(x+2=x-(-2)\), usiamo Ruffini con \(-2\):
\[ \begin{array}{r|rrr|r} -2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ & & -2 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \]
Quindi \(Q(x)=x^2-2x\) e \(R=1\). Pertanto:
\[ x^3-4x+1=(x+2)(x^2-2x)+1 \]
Esercizio 9. Sia \(P(x)\) un polinomio. Dimostrare che \(x-a\) divide \(P(x)-P(a)\).
Soluzione. Consideriamo \(H(x)=P(x)-P(a)\). Per il teorema del resto, \(x-a\) divide \(H(x)\) se e solo se \(H(a)=0\). Ma:
\[ H(a)=P(a)-P(a)=0 \]
Quindi:
\[ x-a\mid P(x)-P(a) \]
Conclusione
La divisione tra polinomi è molto più di una procedura di calcolo. Attraverso la divisione lunga si comprende come un polinomio possa essere progressivamente ridotto eliminando i termini di grado più alto; attraverso la regola di Ruffini si vede come lo stesso procedimento possa essere abbreviato quando il divisore è della forma \(x-a\).
Il teorema della divisione euclidea garantisce che il quoziente e il resto esistono e sono unici. Il teorema del resto mostra poi che, nella divisione per \(x-a\), il resto è semplicemente \(P(a)\). Da qui nasce il legame fondamentale tra radici, fattori e divisibilità .
Per questo motivo, imparare correttamente la divisione tra polinomi significa comprendere uno dei meccanismi centrali dell’algebra: la possibilità di scomporre, analizzare e ricostruire i polinomi a partire dalla loro struttura interna.