Disequazioni Logaritmiche: Teoria, Metodo Risolutivo ed Esercizi Svolti

Una disequazione logaritmica è una disequazione in cui l'incognita compare come argomento di almeno un logaritmo. La risoluzione richiede, oltre alla padronanza del calcolo algebrico, una gestione rigorosa di due elementi distinti: le condizioni di esistenza, che definiscono il dominio della disequazione, e il verso della disuguaglianza, che dipende in modo cruciale dalla monotonia della funzione logaritmica rispetto alla sua base. Un errore sul verso — tanto comune quanto grave — produce insiemi soluzione errati anche a fronte di calcoli algebrici impeccabili.

Indice

• Richiami sulla Funzione Logaritmica e Monotonia
• Dominio di una Disequazione Logaritmica
• Disequazioni Logaritmiche Elementari
• Disequazioni con Somma o Differenza di Logaritmi
• Disequazioni con Confronto di Due Logaritmi
• Disequazioni con Logaritmi di Basi Diverse
• Disequazioni Risolubili per Sostituzione
• Schema Risolutivo Generale
• Esercizi Svolti
• Interpretazione Grafica

La risoluzione delle disequazioni logaritmiche dipende in modo diretto e ineludibile dalla monotonia della funzione logaritmica. È pertanto indispensabile richiamare con precisione questo aspetto prima di procedere.

Fissata una base \( a \in \mathbb{R} \) con \( a > 0 \) e \( a \neq 1 \), la funzione logaritmica \[ \log_a \colon (0, +\infty) \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad x \longmapsto \log_a x \] è strettamente monotona. Più precisamente:

• è strettamente crescente se \( a > 1 \): per ogni \( u, v \in (0, +\infty) \), \[ u < v \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a u < \log_a v; \]
• è strettamente decrescente se \( 0 < a < 1 \): per ogni \( u, v \in (0, +\infty) \), \[ u < v \quad \Longleftrightarrow \quad \log_a u > \log_a v. \]

Questa dicotomia è il fondamento logico dell'intera teoria delle disequazioni logaritmiche. Quando la base è maggiore di uno, applicare la funzione logaritmica a entrambi i membri di una disuguaglianza conserva il verso; quando la base è compresa tra zero e uno, lo inverte. L'omissione di questo passaggio — invertire il verso quando si passa dall'argomento al logaritmo, o non invertirlo quando occorre — costituisce l'errore concettuale più frequente e produce insiemi soluzione sistematicamente errati.

Richiamiamo altresì che il dominio naturale del logaritmo è \( (0, +\infty) \): il logaritmo di un numero non positivo non è definito in \( \mathbb{R} \). Questa restrizione è la sorgente di tutte le condizioni di esistenza nelle disequazioni logaritmiche, e la sua gestione è trattata nella sezione seguente.

Il dominio di una disequazione logaritmica è l'insieme dei valori reali dell'incognita per i quali ogni espressione presente nella disequazione è ben definita. Per ciascun termine \( \log_a f_i(x) \), al variare di \( i \) nell'insieme degli indici \( I \) che indicizzano tutti i logaritmi presenti nella disequazione, occorre imporre: \[ f_i(x) > 0. \]

Il dominio della disequazione è l'intersezione di tutte queste condizioni: \[ \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \bigl\{ x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0 \bigr\}. \]

Regola fondamentale. L'insieme delle soluzioni della disequazione è un sottoinsieme di \( \mathcal{D} \). Ogni valore dell'incognita che soddisfa formalmente la disequazione algebrica ottenuta dopo le trasformazioni, ma che non appartiene a \( \mathcal{D} \), deve essere scartato.

A differenza di quanto accade per le equazioni — dove si verifica l'appartenenza di singoli valori a \( \mathcal{D} \) — nelle disequazioni occorre intersecare l'insieme delle soluzioni algebriche (tipicamente un intervallo o un'unione di intervalli) con \( \mathcal{D} \). Tale intersezione costituisce l'insieme delle soluzioni accettabili.

È metodologicamente imprescindibile determinare \( \mathcal{D} \) prima di qualsiasi manipolazione algebrica, in modo da avere sempre presente l'insieme entro cui le soluzioni devono essere cercate.

Una disequazione logaritmica si dice elementare se è riducibile alla forma canonica: \[ \log_a f(x) \;\square\; k, \qquad k \in \mathbb{R}, \] dove \( \square \) denota uno dei simboli \( >, \geq, <, \leq \). Il metodo risolutivo consiste nell'invertire la funzione logaritmica, tenendo conto della sua monotonia rispetto alla base \( a \).

Caso \( a > 1 \) (funzione crescente). Poiché \( \log_a \) è strettamente crescente, la disuguaglianza si conserva nell'inversione:

• \( \log_a f(x) > k \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^k \). Poiché \( a^k > 0 \), la condizione \( f(x) > a^k \) implica automaticamente \( f(x) > 0 \), e quindi le soluzioni di \( f(x) > a^k \) appartengono già al dominio.
• \( \log_a f(x) < k \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^k \). Poiché \( f(x) < a^k \) non implica \( f(x) > 0 \), occorre intersecare con il dominio, ottenendo la condizione equivalente \( 0 < f(x) < a^k \).

Caso \( 0 < a < 1 \) (funzione decrescente). Poiché \( \log_a \) è strettamente decrescente, la disuguaglianza si inverte nell'inversione:

• \( \log_a f(x) > k \;\Longleftrightarrow\; f(x) < a^k \). Poiché \( f(x) < a^k \) non implica \( f(x) > 0 \), occorre intersecare con il dominio, ottenendo \( 0 < f(x) < a^k \).
• \( \log_a f(x) < k \;\Longleftrightarrow\; f(x) > a^k \). Poiché \( a^k > 0 \), la condizione \( f(x) > a^k \) implica automaticamente \( f(x) > 0 \), e le soluzioni appartengono già al dominio.

Si noti la struttura duale: la condizione di dominio è automaticamente soddisfatta quando il verso della disuguaglianza (dopo l'inversione) è \( f(x) > a^k \), mentre richiede una verifica esplicita quando il verso è \( f(x) < a^k \). In quest'ultimo caso la condizione completa è \( 0 < f(x) < a^k \), che esprime la congiunzione del dominio con la disuguaglianza algebrica. Il medesimo schema vale per \( \geq \) e \( \leq \), con l'unica differenza che le disuguaglianze strette diventano larghe.

Esempio 1. Risolvere \( \log_3(2x - 1) > 2 \).

Dominio. \( 2x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. La base è \( a = 3 > 1 \): la funzione è crescente, la disuguaglianza si conserva. \[ 2x - 1 > 3^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 2x > 10 \quad \Longrightarrow \quad x > 5. \] Poiché \( 5 > \tfrac{1}{2} \), le soluzioni \( x > 5 \) sono già contenute in \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( (5, +\infty) \).

Esempio 2. Risolvere \( \log_3(2x - 1) < 2 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. Base \( a = 3 > 1 \), funzione crescente, disuguaglianza conservata: \[ 2x - 1 < 9 \quad \Longrightarrow \quad x < 5. \] Poiché \( 2x - 1 < 9 \) non garantisce \( 2x - 1 > 0 \), si interseca con \( \mathcal{D} \): \[ \frac{1}{2} < x < 5. \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(\tfrac{1}{2}, 5\bigr) \).

Esempio 3. Risolvere \( \log_{1/3}(x + 1) > 1 \).

Dominio. \( x + 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-1, +\infty) \).

Risoluzione. La base è \( a = \tfrac{1}{3} \), con \( 0 < a < 1 \): la funzione è decrescente, la disuguaglianza si inverte. \[ x + 1 < \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}. \] La condizione \( x + 1 < \tfrac{1}{3} \) non implica \( x + 1 > 0 \), pertanto si interseca con il dominio: \[ 0 < x + 1 < \frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad -1 < x < -\frac{2}{3}. \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(-1, -\tfrac{2}{3}\bigr) \).

Esempio 4. Risolvere \( \log_{1/2}(x - 3) < -2 \).

Dominio. \( x - 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (3, +\infty) \).

Risoluzione. Base \( a = \tfrac{1}{2} \), con \( 0 < a < 1 \): funzione decrescente, disuguaglianza invertita: \[ x - 3 > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 \quad \Longrightarrow \quad x > 7. \] Poiché \( x > 7 \) implica \( x - 3 > 0 \), le soluzioni appartengono già a \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( (7, +\infty) \).

Quando la disequazione contiene una somma o una differenza di logaritmi con la stessa base, si applicano le proprietà del prodotto e del quoziente per ricondurla a un unico logaritmo, riducendola alla forma elementare. Come già osservato, le condizioni di dominio devono essere imposte sugli argomenti originali, non sull'argomento del logaritmo risultante dalla fusione.

Avvertenza. La proprietà \( \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a[f(x)g(x)] \) è valida esclusivamente per \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) separatamente. Il prodotto \( f(x)g(x) \) può essere positivo anche quando entrambi i fattori sono negativi; in tal caso il logaritmo del prodotto sarebbe definito nell'equazione trasformata, ma i logaritmi dei singoli fattori non lo sarebbero nell'equazione originaria. Questa è la ragione per cui il dominio va determinato sugli argomenti originali.

Esempio 1. Risolvere \( \log_2 x + \log_2(x - 2) > 3 \).

Dominio. \( x > 0 \) e \( x - 2 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \).

Risoluzione. Applicando la proprietà del prodotto: \[ \log_2[x(x-2)] > 3. \] Base \( a = 2 > 1 \): disuguaglianza conservata. \[ x(x - 2) > 2^3 = 8 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 2x - 8 > 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) > 0. \] Il trinomio è positivo per \( x < -2 \) o \( x > 4 \). Intersecando con \( \mathcal{D} = (2, +\infty) \): \[ x > 4. \]

Insieme delle soluzioni: \( (4, +\infty) \).

Esempio 2. Risolvere \( \log_3(x + 5) - \log_3(x - 1) > 1 \).

Dominio. \( x + 5 > 0 \) e \( x - 1 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Risoluzione. Applicando la proprietà del quoziente: \[ \log_3\!\left(\frac{x+5}{x-1}\right) > 1. \] Base \( a = 3 > 1 \): disuguaglianza conservata. \[ \frac{x + 5}{x - 1} > 3. \] Poiché siamo nel dominio \( x > 1 \), si ha \( x - 1 > 0 \), quindi si può moltiplicare ambo i membri per \( x - 1 \) senza invertire il verso: \[ x + 5 > 3(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad x + 5 > 3x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 8 > 2x \quad \Longrightarrow \quad x < 4. \] Intersecando con \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \): \[ 1 < x < 4. \]

Insieme delle soluzioni: \( (1, 4) \).

Nota metodologica. Nell'esempio 2, la moltiplicazione per \( x - 1 \) è lecita — senza inversione del verso — soltanto perché si opera all'interno del dominio, dove \( x - 1 > 0 \) è garantito. Al di fuori del dominio tale operazione potrebbe richiedere la considerazione del segno del denominatore, complicando notevolmente il procedimento. Questo è un ulteriore argomento a favore della determinazione preliminare di \( \mathcal{D} \).

Se la disequazione è nella forma: \[ \log_a f(x) \;\square\; \log_a g(x), \] la stretta monotonia della funzione \( t \mapsto \log_a t \) su \( (0, +\infty) \) consente di eliminare il logaritmo, tenendo conto del verso secondo la base:

• Se \( a > 1 \) (funzione crescente): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow f(x) > g(x) \), subordinatamente alla condizione che entrambi gli argomenti siano positivi.
• Se \( 0 < a < 1 \) (funzione decrescente): \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \Longleftrightarrow f(x) < g(x) \), subordinatamente alle stesse condizioni di dominio.

In entrambi i casi, il metodo risolutivo è il seguente: si determina \( \mathcal{D} \) imponendo \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \), si elimina il logaritmo applicando la corrispondenza sopra indicata (con o senza inversione del verso), si risolvono le disuguaglianze algebriche risultanti e infine si interseca l'insieme ottenuto con \( \mathcal{D} \).

Osservazione logica. All'interno del dominio \( \mathcal{D} \), entrambe le condizioni \( f(x) > 0 \) e \( g(x) > 0 \) sono garantite per ipotesi. Pertanto, nell'operazione di inversione del logaritmo, non è necessario imporre condizioni di positività aggiuntive: esse sono già incorporate in \( \mathcal{D} \). L'intersezione finale con \( \mathcal{D} \) è dunque sufficiente per garantire la correttezza delle soluzioni.

Esempio 1. Risolvere \( \log_2(x + 3) > \log_2(2x - 1) \).

Dominio. \( x + 3 > 0 \) e \( 2x - 1 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. Base \( a = 2 > 1 \): disuguaglianza conservata. \[ x + 3 > 2x - 1 \quad \Longrightarrow \quad 4 > x \quad \Longrightarrow \quad x < 4. \] Intersecando con \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{1}{2}, +\infty\bigr) \): \[ \frac{1}{2} < x < 4. \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(\tfrac{1}{2}, 4\bigr) \).

Esempio 2. Risolvere \( \log_{1/2}(3 - x) > \log_{1/2}(x + 1) \).

Dominio. \( 3 - x > 0 \) e \( x + 1 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (-1, 3) \).

Risoluzione. Base \( a = \tfrac{1}{2} \), con \( 0 < a < 1 \): la funzione è decrescente, la disuguaglianza si inverte. \[ 3 - x < x + 1 \quad \Longrightarrow \quad 2 < 2x \quad \Longrightarrow \quad x > 1. \] Intersecando con \( \mathcal{D} = (-1, 3) \): \[ 1 < x < 3. \]

Insieme delle soluzioni: \( (1, 3) \).

Esempio 3. Risolvere \( \log_5(x^2 - 3x) \geq \log_5(x + 7) \).

Dominio. \( x^2 - 3x > 0 \) e \( x + 7 > 0 \). Fattorizzando: \( x(x - 3) > 0 \) se \( x < 0 \) o \( x > 3 \). La seconda condizione dà \( x > -7 \). Dunque \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \).

Risoluzione. Base \( a = 5 > 1 \): disuguaglianza conservata (con \( \geq \)). \[ x^2 - 3x \geq x + 7 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 4x - 7 \geq 0. \] Le radici del trinomio sono \( x = 2 \pm \sqrt{11} \). Il trinomio è non negativo per \( x \leq 2 - \sqrt{11} \) o \( x \geq 2 + \sqrt{11} \). Poiché \( 2 - \sqrt{11} \approx -1{,}32 \) e \( 2 + \sqrt{11} \approx 5{,}32 \), intersecando con \( \mathcal{D} = (-7, 0) \cup (3, +\infty) \): \[ \bigl(-7, 2 - \sqrt{11}\,\bigr] \cup \bigl[2 + \sqrt{11}, +\infty\bigr). \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(-7, 2 - \sqrt{11}\,\bigr] \cup \bigl[2 + \sqrt{11}, +\infty\bigr) \).

Quando una disequazione contiene logaritmi con basi diverse, non è possibile applicare direttamente il confronto né le proprietà operative. Il metodo standard consiste nel ricondurre tutti i logaritmi alla stessa base mediante la formula del cambiamento di base: \[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}, \] dove la base ausiliaria \( b \) viene scelta in modo da semplificare i calcoli. Le scelte più comuni sono \( b = 10 \) o \( b = e \); in molti casi conviene scegliere come base comune una di quelle già presenti nella disequazione.

Avvertenza. Quando si moltiplica o si divide ambo i membri della disuguaglianza per una quantità, occorre tenere conto del segno di tale quantità. In particolare, \( \log_b a \) ha segno determinato: è positivo se \( b \) e \( a \) sono entrambi maggiori di uno o entrambi minori di uno (concordi rispetto a 1), ed è negativo negli altri casi. Moltiplicare per una quantità negativa inverte il verso della disuguaglianza.

Esempio 1. Risolvere \( \log_2 x > \log_4(x + 2) \).

Dominio. \( x > 0 \) e \( x + 2 > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. Si riconduce \( \log_4(x+2) \) alla base 2: \[ \log_4(x + 2) = \frac{\log_2(x + 2)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(x + 2)}{2}. \] La disequazione diventa: \[ \log_2 x > \frac{\log_2(x+2)}{2}. \] Moltiplicando ambo i membri per 2 (positivo, verso conservato): \[ 2\log_2 x > \log_2(x + 2) \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x^2 > \log_2(x + 2). \] La scrittura \( 2\log_2 x = \log_2 x^2 \) è lecita perché nel dominio \( x > 0 \). Poiché la base 2 è maggiore di uno, si conserva il verso: \[ x^2 > x + 2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 2 > 0 \quad \Longrightarrow \quad (x - 2)(x + 1) > 0. \] Il trinomio è positivo per \( x < -1 \) o \( x > 2 \). Intersecando con \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ x > 2. \]

Insieme delle soluzioni: \( (2, +\infty) \).

Esempio 2. Risolvere \( \log_2 x + \log_4 x \leq 3 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. Si riconduce \( \log_4 x \) alla base 2: \[ \log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}. \] Ponendo \( t = \log_2 x \): \[ t + \frac{t}{2} \leq 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} \leq 3 \quad \Longrightarrow \quad t \leq 2. \] Tornando alla variabile originale: \( \log_2 x \leq 2 \Rightarrow x \leq 4 \). Intersecando con \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ 0 < x \leq 4. \]

Insieme delle soluzioni: \( (0, 4] \).

Una classe importante di disequazioni logaritmiche è quella in cui il logaritmo compare come argomento di un'espressione polinomiale. La forma tipica è: \[ P\!\bigl(\log_a f(x)\bigr) \;\square\; 0, \] dove \( P \) è un polinomio. Il metodo consiste nel porre \( t = \log_a f(x) \), risolvere la disequazione algebrica \( P(t) \;\square\; 0 \) in \( t \), determinando l'insieme di valori ammissibili per \( t \), e per ciascun intervallo risultante risolvere infine la corrispondente disequazione elementare \( \log_a f(x) \;\square\; t_k \).

Attenzione. La sostituzione \( t = \log_a f(x) \) trasferisce la disequazione nella variabile ausiliaria \( t \). Una volta risolta la disequazione in \( t \), ciascun intervallo ottenuto deve essere tradotto in una corrispondente condizione su \( x \). Così, un intervallo \( t \in [t_1, t_2] \) diventa la congiunzione delle due disequazioni elementari \( \log_a f(x) \geq t_1 \) e \( \log_a f(x) \leq t_2 \). Quando la soluzione in \( t \) è un'unione di intervalli, occorre trattare separatamente ciascun intervallo e unire gli insiemi soluzione ottenuti.

Esempio 1. Risolvere \( (\log_3 x)^2 - \log_3 x - 2 \geq 0 \).

Dominio. \( x > 0 \), dunque \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sostituzione. Sia \( t = \log_3 x \). La disequazione diventa: \[ t^2 - t - 2 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad (t - 2)(t + 1) \geq 0. \] Il trinomio è non negativo per \( t \leq -1 \) o \( t \geq 2 \).

Ritorno alla variabile originale.

• \( \log_3 x \leq -1 \): base \( 3 > 1 \), funzione crescente, verso conservato: \( x \leq 3^{-1} = \tfrac{1}{3} \). Intersecando con \( \mathcal{D} \): \( 0 < x \leq \tfrac{1}{3} \).
• \( \log_3 x \geq 2 \): \( x \geq 3^2 = 9 \). Già in \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(0, \tfrac{1}{3}\bigr] \cup [9, +\infty) \).

Esempio 2. Risolvere \( (\log_2 x)^2 - 4 < 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sostituzione. Sia \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 4 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t+2) < 0 \quad \Longrightarrow \quad -2 < t < 2. \]

Ritorno alla variabile originale. La condizione \( -2 < \log_2 x < 2 \) si decompone in: \[ \log_2 x > -2 \;\Rightarrow\; x > 2^{-2} = \tfrac{1}{4}, \qquad \log_2 x < 2 \;\Rightarrow\; x < 4. \] Intersecando con \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \): \[ \frac{1}{4} < x < 4. \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(\tfrac{1}{4}, 4\bigr) \).

Esempio 3. Risolvere \( 2(\log_5 x)^2 + 3\log_5 x - 2 < 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sostituzione. Sia \( t = \log_5 x \): \[ 2t^2 + 3t - 2 < 0 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}. \] Le radici sono \( t_1 = \tfrac{1}{2} \) e \( t_2 = -2 \). Il trinomio è negativo per \( -2 < t < \tfrac{1}{2} \).

Ritorno alla variabile originale. \[ -2 < \log_5 x < \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 5^{-2} < x < 5^{1/2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{25} < x < \sqrt{5}. \] Già in \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( \Bigl(\dfrac{1}{25}, \sqrt{5}\Bigr) \).

Il seguente schema costituisce un protocollo completo e rigoroso applicabile a qualsiasi tipo di disequazione logaritmica trattata in questa sede.

1. Determinazione del dominio. Per ogni logaritmo \( \log_a f_i(x) \) presente nella disequazione imporre \( f_i(x) > 0 \). Calcolare \( \mathcal{D} = \bigcap_{i \in I} \{x \in \mathbb{R} \mid f_i(x) > 0\} \).
2. Riconduzione alla stessa base (se necessario). Se sono presenti logaritmi con basi diverse, applicare la formula del cambiamento di base per uniformarli, tenendo conto del segno di \( \log_b a \) nelle successive operazioni sulle disuguaglianze.
3. Semplificazione mediante proprietà dei logaritmi. Applicare le proprietà di prodotto, quoziente e potenza — valide solo per argomenti positivi — per ridurre la disequazione a una delle forme canoniche: \( \log_a f(x) \,\square\, k \), oppure \( \log_a f(x) \,\square\, \log_a g(x) \), oppure \( P(\log_a f(x)) \,\square\, 0 \).
4. Eliminazione del logaritmo. Applicare la corrispondenza monotona: se \( a > 1 \) il verso si conserva; se \( 0 < a < 1 \) il verso si inverte. Per le forme polinomiali, applicare la sostituzione \( t = \log_a f(x) \) e risolvere la disequazione algebrica in \( t \).
5. Risoluzione della disequazione algebrica risultante. Determinare l'insieme delle soluzioni algebriche (tipicamente un intervallo o un'unione di intervalli).
6. Intersezione con il dominio. L'insieme delle soluzioni della disequazione logaritmica è l'intersezione tra le soluzioni algebriche e \( \mathcal{D} \). Verificare che la condizione di positività degli argomenti sia rispettata; scartare le parti esterne a \( \mathcal{D} \).
7. Scrittura dell'insieme delle soluzioni.

Esercizio 1. Risolvere \( \log_2(x + 3) \geq 4 \).

Dominio. \( x + 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-3, +\infty) \).

Risoluzione. Base \( 2 > 1 \): verso conservato. \( x + 3 \geq 2^4 = 16 \Rightarrow x \geq 13 \). Già in \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( [13, +\infty) \).

Esercizio 2. Risolvere \( \log_3 x + \log_3(x - 1) < 1 \).

Dominio. \( x > 0 \) e \( x - 1 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (1, +\infty) \).

Risoluzione. \[ \log_3[x(x-1)] < 1 \quad \Longrightarrow \quad x(x-1) < 3 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - x - 3 < 0. \] Le radici sono \( x = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \). Il trinomio è negativo per \( \dfrac{1 - \sqrt{13}}{2} < x < \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \). Intersecando con \( \mathcal{D} = (1, +\infty) \): \[ 1 < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}. \]

Insieme delle soluzioni: \( \Bigl(1,\, \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2}\Bigr) \).

Esercizio 3. Risolvere \( \log_5(x + 1) \geq \log_5(2x - 3) \).

Dominio. \( x + 1 > 0 \) e \( 2x - 3 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \).

Risoluzione. Base \( 5 > 1 \): verso conservato. \[ x + 1 \geq 2x - 3 \quad \Longrightarrow \quad 4 \geq x \quad \Longrightarrow \quad x \leq 4. \] Intersecando con \( \mathcal{D} = \bigl(\tfrac{3}{2}, +\infty\bigr) \): \[ \frac{3}{2} < x \leq 4. \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(\tfrac{3}{2},\, 4\bigr] \).

Esercizio 4. Risolvere \( \log_2(x - 1) + \log_2(x - 5) < 3 \).

Dominio. \( x - 1 > 0 \) e \( x - 5 > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (5, +\infty) \).

Risoluzione. \[ \log_2[(x-1)(x-5)] < 3 \quad \Longrightarrow \quad (x-1)(x-5) < 8. \] \[ x^2 - 6x + 5 < 8 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 6x - 3 < 0. \] Le radici sono \( x = 3 \pm 2\sqrt{3} \). Il trinomio è negativo per \( 3 - 2\sqrt{3} < x < 3 + 2\sqrt{3} \). Poiché \( 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46 \), intersecando con \( \mathcal{D} = (5, +\infty) \): \[ 5 < x < 3 + 2\sqrt{3}. \]

Insieme delle soluzioni: \( \bigl(5,\, 3 + 2\sqrt{3}\bigr) \).

Esercizio 5. Risolvere \( \log_{1/2}(x + 1) < \log_{1/2}(3 - x) \).

Dominio. \( x + 1 > 0 \) e \( 3 - x > 0 \Rightarrow \mathcal{D} = (-1, 3) \).

Risoluzione. Base \( \tfrac{1}{2} \), con \( 0 < a < 1 \): funzione decrescente, verso invertito. \[ x + 1 > 3 - x \quad \Longrightarrow \quad 2x > 2 \quad \Longrightarrow \quad x > 1. \] Intersecando con \( \mathcal{D} = (-1, 3) \): \[ 1 < x < 3. \]

Insieme delle soluzioni: \( (1, 3) \).

Esercizio 6. Risolvere \( (\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 6 < 0 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Sostituzione. Sia \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 5t + 6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad (t-2)(t-3) < 0 \quad \Longrightarrow \quad 2 < t < 3. \]

Ritorno alla variabile originale. \[ 2 < \log_2 x < 3 \quad \Longrightarrow \quad 4 < x < 8. \] Già in \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( (4, 8) \).

Esercizio 7. Risolvere \( \log_2 x + \log_4 x > 3 \).

Dominio. \( \mathcal{D} = (0, +\infty) \).

Risoluzione. \( \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{2} \). Sia \( t = \log_2 x \): \[ t + \frac{t}{2} > 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3t}{2} > 3 \quad \Longrightarrow \quad t > 2 \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x > 2 \quad \Longrightarrow \quad x > 4. \] Già in \( \mathcal{D} \).

Insieme delle soluzioni: \( (4, +\infty) \).

L'interpretazione grafica delle disequazioni logaritmiche fornisce una visione qualitativa dell'insieme soluzione, integrandosi con la trattazione analitica.

Risolvere la disequazione \( \log_a f(x) > k \) equivale geometricamente a determinare i valori dell'incognita per i quali il grafico di \( y = \log_a f(x) \) si trova al di sopra della retta orizzontale \( y = k \). Se \( a > 1 \), la funzione è crescente e il grafico supera la soglia \( y = k \) per argomenti sufficientemente grandi; se \( 0 < a < 1 \), la funzione è decrescente e supera la soglia per argomenti sufficientemente piccoli (e positivi). La distinzione grafica tra i due casi rende visivamente evidente il meccanismo dell'inversione del verso.

Risolvere \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \) equivale a trovare i valori dell'incognita per i quali il grafico di \( y = \log_a f(x) \) si trova al di sopra del grafico di \( y = \log_a g(x) \). Il verso della comparazione dipende dalla monotonia: se \( a > 1 \), il grafico di \( \log_a f(x) \) è più alto di quello di \( \log_a g(x) \) esattamente quando \( f(x) > g(x) \); se \( 0 < a < 1 \), il medesimo grafico è più alto esattamente quando \( f(x) < g(x) \), poiché la funzione logaritmica ordina inversamente i propri argomenti.

Per le disequazioni risolte per sostituzione, l'insieme soluzione in \( t \) corrisponde a una fascia orizzontale nel piano \( (x, t) \) con \( t = \log_a f(x) \); il ritorno alla variabile \( x \) consiste nel determinare la controimmagine di tale fascia tramite la funzione \( x \mapsto \log_a f(x) \), tenendo conto — ancora una volta — della monotonia rispetto alla base.

L'interpretazione grafica rende infine evidente il ruolo del dominio: i rami del grafico esistono soltanto per \( x \in \mathcal{D} \), e qualsiasi porzione di retta o di curva esterna a \( \mathcal{D} \) è semplicemente assente nel piano cartesiano. I valori esclusi non corrispondono ad alcun punto del grafico e non possono pertanto costituire soluzioni dell'originaria disequazione logaritmica.