Le disequazioni fratte sono disequazioni nelle quali compare almeno una frazione algebrica contenente la variabile al denominatore. La loro risoluzione richiede particolare attenzione, perché non basta studiare il segno del numeratore: occorre considerare anche il segno del denominatore e le condizioni di esistenza della frazione.
In generale, una disequazione fratta ha forma:
\[ \frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0 \]
dove \(A(x)\) e \(B(x)\) sono polinomi e:
\[ B(x)\neq0 \]
Il principio fondamentale è il seguente: una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno, ed è negativa quando hanno segno opposto.
Indice
- Che cos'è una disequazione fratta
- Condizioni di esistenza
- Studio del segno di una frazione
- Metodo generale di risoluzione
- Disequazioni strette e larghe
- Zeri del numeratore e valori esclusi
- Fattorizzazione del numeratore e del denominatore
- Molteplicità delle radici e cambiamento di segno
- Semplificazione delle frazioni algebriche
- Disequazioni riconducibili a forma normale
- Disequazioni con valore assoluto
- Errori più comuni
Che cos'è una disequazione fratta
Una disequazione fratta è una disequazione nella quale compare almeno una frazione algebrica contenente la variabile al denominatore.
Esempi:
\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \]
\[ \frac{x^2-4}{x-3}\leq0 \]
\[ \frac{x+1}{x-2}\geq\frac{3}{x+4} \]
Poiché il denominatore può annullarsi, queste disequazioni non sono definite per tutti i valori reali.
Condizioni di esistenza
Prima di iniziare qualsiasi studio del segno occorre determinare le condizioni di esistenza.
Una frazione algebrica esiste solo quando il denominatore è diverso da zero.
Per esempio:
\[ \frac{x-1}{x+3} \]
esiste soltanto se:
\[ x+3\neq0 \]
cioè:
\[ x\neq-3 \]
Il valore \(x=-3\) dovrà essere escluso dalla soluzione finale, anche se durante i calcoli dovesse comparire come punto apparentemente valido.
Studio del segno di una frazione
Il segno di una frazione dipende simultaneamente dal numeratore e dal denominatore.
Valgono le regole:
| Numeratore | Denominatore | Frazione |
|---|---|---|
| \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Di conseguenza:
- la frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno;
- la frazione è negativa quando hanno segno opposto.
Metodo generale di risoluzione
La procedura standard per risolvere una disequazione fratta è la seguente.
1. Portare tutto a primo membro
La disequazione deve essere scritta nella forma:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0 \]
2. Determinare le condizioni di esistenza
Occorre imporre:
\[ Q(x)\neq0 \]
3. Scomporre numeratore e denominatore
Bisogna fattorizzare il più possibile.
Per esempio:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
4. Individuare punti critici
I punti critici sono:
- gli zeri del numeratore;
- gli zeri del denominatore.
Essi dividono la retta reale in intervalli.
5. Studiare il segno in ogni intervallo
Si costruisce la tabella dei segni oppure si studia il segno dei fattori.
6. Selezionare gli intervalli richiesti
Infine si scelgono gli intervalli in cui la frazione soddisfa la disequazione.
Disequazioni strette e larghe
È fondamentale distinguere:
- disequazioni strette: \[ >,\quad < \]
- disequazioni larghe: \[ \geq,\quad \leq \]
Nelle disequazioni larghe gli zeri del numeratore possono essere inclusi, perché rendono la frazione uguale a zero.
Invece gli zeri del denominatore non possono mai essere inclusi, perché annullano la frazione.
Zeri del numeratore e valori esclusi
Occorre distinguere attentamente:
- gli zeri del numeratore;
- gli zeri del denominatore.
Se:
\[ \frac{x-2}{x+1}\geq0 \]
allora:
- \(x=2\) annulla il numeratore e può essere incluso;
- \(x=-1\) annulla il denominatore e deve essere escluso.
Fattorizzazione del numeratore e del denominatore
La scomposizione è essenziale nello studio del segno.
Alcune tecniche fondamentali sono:
- raccoglimento a fattor comune;
- differenza di quadrati;
- trinomio caratteristico;
- raccoglimento parziale;
- regola di Ruffini.
Per esempio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
oppure:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Molteplicità delle radici e cambiamento di segno
Se un fattore compare con esponente pari, il segno non cambia attraversando lo zero.
Per esempio:
\[ (x-2)^2>0 \]
è positivo sia a sinistra sia a destra di \(x=2\).
Invece un fattore con esponente dispari produce cambiamento di segno.
Per esempio:
\[ (x-2)^3 \]
cambia segno attraversando \(x=2\).
Semplificazione delle frazioni algebriche
Talvolta numeratore e denominatore hanno fattori comuni.
Per esempio:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \]
può essere semplificata in:
\[ \frac{x-1}{x-3} \]
ma bisogna ricordare che:
\[ x\neq-2 \]
perché il fattore semplificato proveniva dal denominatore originario.
Questo è uno degli errori più frequenti nelle disequazioni fratte.
Disequazioni riconducibili a forma normale
Non tutte le disequazioni fratte si presentano immediatamente nella forma:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0 \]
In molti casi è necessario trasformare l'espressione mediante somme, differenze, prodotti o semplificazioni, fino a ottenere un'unica frazione algebrica confrontata con zero.
Per esempio, consideriamo:
\[ \frac{1}{x+1}-\frac{2}{x-3}>0 \]
Riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore:
\[ \frac{(x-3)-2(x+1)}{(x+1)(x-3)}>0 \]
Semplificando il numeratore otteniamo:
\[ \frac{x-3-2x-2}{(x+1)(x-3)}>0 \]
cioè:
\[ \frac{-x-5}{(x+1)(x-3)}>0 \]
A questo punto la disequazione è stata ricondotta alla forma normale e può essere risolta mediante lo studio del segno di numeratore e denominatore.
Disequazioni con valore assoluto
In alcune disequazioni compare il valore assoluto di una frazione:
\[ \left|\frac{x+1}{x-2}\right|<3 \]
In questi casi si utilizza la proprietà:
\[ |A| \]
ottenendo una doppia disequazione.
Dopo lo scioglimento del valore assoluto si procede normalmente con lo studio del segno.
Errori più comuni
Dimenticare le condizioni di esistenza
È l'errore più frequente.
Includere gli zeri del denominatore
I valori che annullano il denominatore devono sempre essere esclusi.
Cambiare il verso della disequazione moltiplicando
Nelle disequazioni fratte è pericoloso moltiplicare direttamente per il denominatore, perché il suo segno non è noto a priori.
Perdere punti esclusi durante le semplificazioni
Anche dopo la semplificazione, i valori esclusi iniziali restano esclusi.
Studiare male il segno dei fattori quadratici
Occorre distinguere:
- fattori sempre positivi;
- fattori che cambiano segno;
- fattori con radici doppie.
Le disequazioni fratte rappresentano una delle applicazioni più importanti dello studio del segno. La difficoltà principale non consiste nei calcoli, ma nella gestione rigorosa dei punti critici, delle condizioni di esistenza e della struttura dei fattori.
Una risoluzione corretta richiede sempre:
- fattorizzazione accurata;
- individuazione degli zeri;
- studio del segno nei vari intervalli;
- attenzione ai valori esclusi.
Con l'esercizio, il procedimento diventa progressivamente più naturale e permette di affrontare anche disequazioni razionali molto complesse.