Le disequazioni fratte sono disequazioni nelle quali l’incognita compare al denominatore di una frazione algebrica. La loro risoluzione si basa quasi interamente sullo studio del segno: non basta infatti capire quando un’espressione si annulla, ma occorre anche stabilire in quali intervalli numeratore e denominatore assumono segni concordi oppure discordi.
Indice
- Idea fondamentale dello studio del segno
- Condizioni di esistenza
- Punti critici e suddivisione della retta
- Come costruire la tabella dei segni
- Molteplicità degli zeri
- Esempio completo guidato
- Errori più comuni
Idea fondamentale dello studio del segno
Consideriamo una disequazione del tipo:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \]
Il segno della frazione dipende contemporaneamente dal segno del numeratore e da quello del denominatore.
Una frazione è positiva quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno; è invece negativa quando possiedono segni opposti.
In formule:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}>0 \]
quando:
\[ \begin{cases} P(x)>0 \\ Q(x)>0 \end{cases} \quad \text{oppure} \quad \begin{cases} P(x)<0 \\ Q(x)<0 \end{cases} \]
Analogamente:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)}<0 \]
quando i segni sono discordi.
Tutta la teoria delle disequazioni fratte nasce precisamente da questa osservazione.
Condizioni di esistenza
Prima di studiare il segno della frazione occorre stabilire per quali valori l’espressione è definita.
Poiché una frazione non può avere denominatore nullo, deve sempre valere:
\[ Q(x)\neq0 \]
I valori che annullano il denominatore prendono il nome di:
- valori non ammessi;
- punti di esclusione;
- condizioni di esistenza.
Tali valori non possono mai appartenere alla soluzione finale, anche quando eventuali semplificazioni sembrano eliminarli.
Per esempio:
\[ \frac{x^2-4}{x-2} \]
si può scrivere come:
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 \]
ma:
\[ x=2 \]
resta comunque escluso, perché annullava il denominatore dell’espressione iniziale.
Punti critici e suddivisione della retta
I valori che possono produrre un cambiamento di segno sono detti punti critici.
Essi comprendono:
- gli zeri del numeratore;
- gli zeri del denominatore.
Consideriamo per esempio:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3} \]
I punti critici sono:
\[ -2,\quad1,\quad3 \]
Tali valori suddividono la retta reale in intervalli:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,1),\quad(1,3),\quad(3,+\infty) \]
All’interno di ciascun intervallo il segno dei fattori rimane costante. Un polinomio può infatti cambiare segno soltanto attraversando uno dei propri zeri.
Come costruire la tabella dei segni
La tabella dei segni nasce direttamente dalla fattorizzazione della frazione.
Per prima cosa si scompongono numeratore e denominatore nei loro fattori elementari. Successivamente si individuano tutti i punti critici e li si dispone sulla retta reale in ordine crescente.
A questo punto si studia il segno di ciascun fattore nei vari intervalli determinati dai punti critici.
Consideriamo:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
| Intervallo | \((-\infty,-2)\) | \((-2,1)\) | \((1,3)\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-3\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Frazione | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Una volta noto il segno di ciascun fattore, il comportamento della frazione emerge immediatamente: il prodotto di segni concordi produce valori positivi, mentre segni discordi producono valori negativi.
Poiché la disequazione richiede:
\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}>0 \]
si scelgono gli intervalli nei quali la riga finale risulta positiva:
\[ (-2,1)\cup(3,+\infty) \]
Molteplicità degli zeri
Quando un fattore compare elevato a una potenza, il comportamento del segno dipende dalla molteplicità dello zero.
Se la molteplicità è dispari, il fattore attraversa realmente lo zero e cambia segno.
Per esempio:
\[ (x-1)^3 \]
è negativo per:
\[ x<1 \]
ed è positivo per:
\[ x>1 \]
Una molteplicità pari, invece, non produce alcun cambiamento di segno.
Infatti:
\[ (x-1)^2\geq0 \]
per ogni valore reale di \(x\).
Geometricamente, uno zero di molteplicità dispari attraversa l’asse, mentre uno zero di molteplicità pari produce soltanto un contatto con esso.
Esempio completo guidato
Risolviamo la disequazione:
\[ \frac{x^2-4x}{x+2}\geq0 \]
Lo scopo è determinare per quali valori di \(x\) la frazione risulta positiva oppure nulla.
Per farlo dobbiamo:
- fattorizzare il numeratore;
- determinare le condizioni di esistenza;
- individuare i punti critici;
- costruire la tabella dei segni.
Fattorizzazione
Il numeratore possiede il fattore comune \(x\):
\[ x^2-4x=x(x-4) \]
La disequazione diventa quindi:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
In questa forma il segno della frazione può essere studiato separatamente sui singoli fattori:
\[ x,\qquad x-4,\qquad x+2 \]
Condizioni di esistenza
Il denominatore non può annullarsi:
\[ x+2\neq0 \]
dunque:
\[ x\neq-2 \]
Questo valore dovrà essere escluso dalla soluzione finale, indipendentemente dal segno della frazione.
Punti critici
I punti critici sono i valori che annullano numeratore oppure denominatore.
In questo caso:
\[ x=0,\qquad x=4,\qquad x=-2 \]
Ordinandoli sulla retta reale otteniamo:
\[ -2,\quad0,\quad4 \]
Tali punti suddividono la retta nei seguenti intervalli:
\[ (-\infty,-2),\quad(-2,0),\quad(0,4),\quad(4,+\infty) \]
All’interno di ciascun intervallo il segno di ogni fattore rimane costante.
Studio del segno
Analizziamo ora il comportamento dei singoli fattori.
Il fattore:
\[ x \]
è negativo per \(x<0\) e positivo per \(x>0\).
Il fattore:
\[ x-4 \]
è negativo per \(x<4\) e positivo per \(x>4\).
Infine:
\[ x+2 \]
è negativo per \(x<-2\) e positivo per \(x>-2\).
Riportiamo tutto nella tabella dei segni:
| Intervallo | \((-\infty,-2)\) | \((-2,0)\) | \((0,4)\) | \((4,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-4\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Frazione | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
La riga finale si ottiene moltiplicando i segni dei singoli fattori.
Per esempio, nell’intervallo:
\[ (-2,0) \]
abbiamo:
\[ (-)\cdot(-)\cdot(+)=+ \]
quindi la frazione risulta positiva.
Negli intervalli:
\[ (-\infty,-2) \quad\text{e}\quad (0,4) \]
il prodotto dei segni è invece negativo.
Determinazione della soluzione
La disequazione richiede:
\[ \frac{x(x-4)}{x+2}\geq0 \]
quindi dobbiamo scegliere gli intervalli nei quali la frazione è positiva oppure nulla.
Dalla tabella otteniamo:
\[ (-2,0) \quad\text{e}\quad (4,+\infty) \]
Poiché compare il simbolo:
\[ \geq \]
devono essere inclusi anche gli zeri del numeratore:
\[ x=0,\qquad x=4 \]
Il valore:
\[ x=-2 \]
resta invece escluso perché annulla il denominatore.
La soluzione finale è quindi:
\[ (-2,0]\cup[4,+\infty) \]
Errori più comuni
Dimenticare le condizioni di esistenza
È l’errore più frequente. Gli zeri del denominatore devono sempre essere esclusi.
Cambiare il verso della disequazione in modo scorretto
Non è possibile moltiplicare una disequazione per un’espressione contenente l’incognita senza conoscere il segno di tale espressione.
Eliminare valori esclusi durante la semplificazione
Anche dopo avere semplificato fattori comuni, i valori che annullavano il denominatore originario rimangono proibiti.
Dimenticare gli zeri del numeratore
Nelle disequazioni con:
\[ \geq \quad\text{oppure}\quad \leq \]
gli zeri del numeratore devono essere inclusi quando ammissibili.
Le disequazioni fratte mostrano con grande chiarezza come il comportamento di una funzione razionale dipenda dalla distribuzione dei suoi zeri e dei suoi punti di non definizione.
Lo studio del segno trasforma così un problema apparentemente complicato in un’analisi ordinata degli intervalli della retta reale.
Una corretta fattorizzazione, insieme a una tabella dei segni costruita con rigore, permette di affrontare anche disequazioni molto articolate in modo sistematico, elegante e sicuro.