Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita compare all’esponente. Esse costituiscono una delle applicazioni fondamentali delle proprietà delle funzioni esponenziali e richiedono particolare attenzione allo studio della monotonia.
La forma più semplice è:
\[ a^{f(x)} \gtrless a^{g(x)}, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
In questi casi il comportamento della disequazione dipende interamente dalla base \(a\):
- se \(a>1\), la funzione esponenziale è strettamente crescente;
- se \(0<a<1\), la funzione esponenziale è strettamente decrescente.
Di conseguenza:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u>v \qquad \text{se } a>1, \]
mentre:
\[ a^{u}>a^{v} \iff u<v \qquad \text{se } 0<a<1. \]
Questo è il principio centrale di tutta la teoria delle disequazioni esponenziali.
Indice
- Definizione di disequazione esponenziale
- Monotonia della funzione esponenziale
- Disequazioni elementari con la stessa base
- Caso \(a>1\)
- Caso \(0<a<1\)
- Riduzione alla stessa base
- Disequazioni riconducibili a un’esponenziale
- Metodo di sostituzione
- Disequazioni esponenziali fratte
- Sistemi di disequazioni esponenziali
- Esempi svolti
Definizione di disequazione esponenziale
Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui l’incognita compare nell’esponente di almeno una potenza.
Esempi:
\[ 2^x>8, \]
\[ 3^{2x-1}\le 9, \]
\[ \left(\frac12\right)^{x+1}>4. \]
Non tutte le disequazioni esponenziali si risolvono nello stesso modo. In alcuni casi basta confrontare gli esponenti; in altri occorre effettuare trasformazioni algebriche, raccoglimenti o sostituzioni.
Monotonia della funzione esponenziale
Consideriamo la funzione:
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\ a\neq 1. \]
Essa è:
- crescente se \(a>1\);
- decrescente se \(0<a<1\).
Questo fatto è fondamentale perché permette di passare dalla disequazione esponenziale a una disequazione tra esponenti.
Infatti:
\[ a^{u(x)} \gtrless a^{v(x)} \]
equivale a:
\[ u(x)\gtrless v(x) \]
se \(a>1\), mentre il verso si inverte se \(0<a<1\).
Disequazioni elementari con la stessa base
Consideriamo:
\[ 5^{2x-1}>5^3. \]
Poiché la base è maggiore di \(1\), possiamo confrontare direttamente gli esponenti:
\[ 2x-1>3. \]
Risolvendo:
\[ 2x>4 \]
\[ x>2. \]
Dunque:
\[ S=(2,+\infty). \]
Caso \(a>1\)
Se la base è maggiore di \(1\), la funzione esponenziale conserva l’ordine:
\[ a^u>a^v \iff u>v. \]
Esempio:
\[ 3^{x+2}\le 3^{2x-1}. \]
Confrontiamo gli esponenti:
\[ x+2\le 2x-1. \]
Quindi:
\[ 3\le x. \]
La soluzione è:
\[ S=[3,+\infty). \]
Caso \(0<a<1\)
Se invece:
\[ 0<a<1, \]
la funzione è decrescente e il verso della disequazione si inverte.
Per esempio:
\[ \left(\frac12\right)^{x-1}>\left(\frac12\right)^{2x+3}. \]
Poiché:
\[ 0<\frac12<1, \]
dobbiamo invertire il verso:
\[ x-1<2x+3. \]
Quindi:
\[ -4<x. \]
Pertanto:
\[ S=(-4,+\infty). \]
Riduzione alla stessa base
Spesso le basi sono diverse ma riconducibili a una base comune.
Consideriamo:
\[ 8^x>2^{x+1}. \]
Osserviamo che:
\[ 8=2^3. \]
Allora:
\[ (2^3)^x>2^{x+1}. \]
Applicando la proprietà :
\[ (a^m)^n=a^{mn}, \]
otteniamo:
\[ 2^{3x}>2^{x+1}. \]
Poiché \(2>1\):
\[ 3x>x+1. \]
Dunque:
\[ 2x>1 \]
\[ x>\frac12. \]
Disequazioni riconducibili a un’esponenziale
Talvolta occorre trasformare l’espressione prima di poter applicare la monotonia.
Per esempio:
\[ 2^{x+1}-2^x>4. \]
Raccogliamo \(2^x\):
\[ 2^x(2-1)>4. \]
cioè:
\[ 2^x>4. \]
Siccome:
\[ 4=2^2, \]
otteniamo:
\[ 2^x>2^2. \]
Quindi:
\[ x>2. \]
Metodo di sostituzione
Alcune disequazioni esponenziali assumono una forma polinomiale dopo una sostituzione.
Consideriamo:
\[ 2^{2x}-5\cdot 2^x+6>0. \]
Poniamo:
\[ t=2^x. \]
Poiché un’esponenziale è sempre positiva:
\[ t>0. \]
Inoltre:
\[ 2^{2x}=(2^x)^2=t^2. \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-5t+6>0. \]
Scomponiamo:
\[ (t-2)(t-3)>0. \]
Lo studio del segno fornisce:
\[ t<2 \quad \text{oppure} \quad t>3. \]
Sostituendo:
\[ 2^x<2 \quad \text{oppure} \quad 2^x>3. \]
La prima dà :
\[ x<1. \]
La seconda:
\[ x>\log_2 3. \]
Pertanto:
\[ S=(-\infty,1)\cup(\log_2 3,+\infty). \]
Disequazioni esponenziali fratte
Possono comparire anche espressioni razionali contenenti esponenziali.
Esempio:
\[ \frac{2^x-1}{2^x+3}>0. \]
Poniamo:
\[ t=2^x, \qquad t>0. \]
Otteniamo:
\[ \frac{t-1}{t+3}>0. \]
Poiché:
\[ t+3>0 \]
per ogni \(t>0\), basta imporre:
\[ t-1>0. \]
Quindi:
\[ t>1. \]
Tornando all’incognita:
\[ 2^x>1. \]
Siccome:
\[ 1=2^0, \]
si ha:
\[ x>0. \]
Sistemi di disequazioni esponenziali
Le disequazioni esponenziali possono comparire all’interno di sistemi.
Per esempio:
\[ \begin{cases} 2^x>4 \\ 3^x\le 27 \end{cases} \]
La prima disequazione fornisce:
\[ x>2. \]
La seconda:
\[ x\le 3. \]
Intersecando:
\[ S=(2,3]. \]
Esempi svolti
Esempio 1
Risolvere:
\[ 4^x\ge 16. \]
Scriviamo tutto in base \(2\):
\[ 4=2^2, \qquad 16=2^4. \]
Quindi:
\[ 2^{2x}\ge 2^4. \]
Poiché \(2>1\):
\[ 2x\ge 4. \]
Da cui:
\[ x\ge 2. \]
Pertanto:
\[ S=[2,+\infty). \]
Esempio 2
Risolvere:
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}<27. \]
Scriviamo tutto in base \(3\):
\[ \left(\frac13\right)^{2x-1}=3^{-(2x-1)}, \qquad 27=3^3. \]
Otteniamo:
\[ 3^{-2x+1}<3^3. \]
Poiché la base \(3\) è maggiore di \(1\):
\[ -2x+1<3. \]
Quindi:
\[ -2x<2 \]
\[ x>-1. \]
Dunque:
\[ S=(-1,+\infty). \]
Esempio 3
Risolvere:
\[ 3^{2x}-10\cdot 3^x+9\le 0. \]
Poniamo:
\[ t=3^x, \qquad t>0. \]
Otteniamo:
\[ t^2-10t+9\le 0. \]
Scomponiamo:
\[ (t-1)(t-9)\le 0. \]
Dallo studio del segno:
\[ 1\le t\le 9. \]
Tornando all’esponenziale:
\[ 1\le 3^x\le 9. \]
cioè:
\[ 3^0\le 3^x\le 3^2. \]
Essendo \(3>1\):
\[ 0\le x\le 2. \]
Pertanto:
\[ S=[0,2]. \]
Le disequazioni esponenziali si risolvono quindi sfruttando le proprietà fondamentali della funzione esponenziale: monotonia, confronto tra basi, trasformazioni algebriche e sostituzioni. Comprendere il comportamento della base è il punto essenziale per evitare errori nel verso della disequazione e costruire una risoluzione rigorosa e corretta.