Esercizi svolti sulle disequazioni di secondo grado: impara a trovare le radici dell'equazione associata, studiare il segno della parabola e scrivere correttamente l'insieme soluzione. Una raccolta progressiva con passaggi guidati, casi particolari e sistemi di disequazioni quadratiche.
Esercizio 1 — livello ★★☆☆☆
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Risultato
\[ x < -2 \quad \text{oppure} \quad x > 2 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
\[ x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \implies x_1=-2,\quad x_2=2 \]
Regola del segno
Il coefficiente di \(x^2\) è positivo: la parabola è rivolta verso l'alto e il polinomio è positivo all'esterno delle radici.
\[ x^2-4 > 0 \iff x < -2 \;\text{ oppure }\; x > 2 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,-2)\cup(2,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x < -2 \quad \text{oppure} \quad x > 2} \]
Esercizio 2 — livello ★★☆☆☆
\[ x^2 - 9 \leq 0 \]
Risultato
\[ -3 \leq x \leq 3 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)=0 \implies x_1=-3,\quad x_2=3 \]
Regola del segno
Parabola verso l'alto: il polinomio è negativo o nullo tra le radici.
\[ x^2-9 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = [-3,\,3] \]
Risultato
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 3} \]
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 > 0 \]
Risultato
\[ x < 2 \quad \text{oppure} \quad x > 3 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
Prodotto \(6\), somma \(-5\): si trova \(x_1=2\) e \(x_2=3\).
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Regola del segno
Parabola verso l'alto: positivo all'esterno delle radici.
\[ x^2-5x+6 > 0 \iff x < 2 \;\text{ oppure }\; x > 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x < 2 \quad \text{oppure} \quad x > 3} \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
\[ x^2 - 5x + 6 \leq 0 \]
Risultato
\[ 2 \leq x \leq 3 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \implies x_1=2,\quad x_2=3 \]
Regola del segno
Parabola verso l'alto: il polinomio è negativo o nullo tra le radici. Rispetto all'esercizio precedente cambia solo il verso della disuguaglianza.
\[ x^2-5x+6 \leq 0 \iff 2 \leq x \leq 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = [2,\,3] \]
Risultato
\[ \boxed{2 \leq x \leq 3} \]
Esercizio 5 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 7x + 12 > 0 \]
Risultato
\[ x < 3 \quad \text{oppure} \quad x > 4 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
Prodotto \(12\), somma \(-7\): si trovano \(x_1=3\) e \(x_2=4\).
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0 \]
Regola del segno
\[ x^2-7x+12 > 0 \iff x < 3 \;\text{ oppure }\; x > 4 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,3)\cup(4,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x < 3 \quad \text{oppure} \quad x > 4} \]
Esercizio 6 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 + x - 6 \leq 0 \]
Risultato
\[ -3 \leq x \leq 2 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
Prodotto \(-6\), somma \(1\): si trovano \(x_1=-3\) e \(x_2=2\).
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0 \]
Regola del segno
Parabola verso l'alto: negativo o nullo tra le radici.
\[ x^2+x-6 \leq 0 \iff -3 \leq x \leq 2 \]
Insieme soluzione
\[ S = [-3,\,2] \]
Risultato
\[ \boxed{-3 \leq x \leq 2} \]
Esercizio 7 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]
Risultato
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(sempre vera)} \]
Svolgimento
Riconoscimento del quadrato perfetto
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Analisi
Il quadrato di un numero reale è sempre non negativo: \((x-1)^2 \geq 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\). La disuguaglianza è soddisfatta da tutti i reali.
Insieme soluzione
\[ S = \mathbb{R} \]
Risultato
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Esercizio 8 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 1 < 0 \]
Risultato
Nessuna soluzione
Svolgimento
Riconoscimento del quadrato perfetto
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \]
Analisi
Il quadrato di un numero reale è sempre \(\geq 0\): non può mai essere strettamente negativo. La disuguaglianza è impossibile.
Insieme soluzione
\[ S = \emptyset \]
Risultato
\[ \boxed{\text{Nessuna soluzione}} \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 2x + 5 > 0 \]
Risultato
\[ x \in \mathbb{R} \quad \text{(sempre vera)} \]
Svolgimento
Calcolo del discriminante
\[ \Delta = 4 - 20 = -16 \]
Analisi
Poiché \(\Delta < 0\), il polinomio non ha radici reali. Con coefficiente di \(x^2\) positivo la parabola è interamente sopra l'asse \(x\): il polinomio è sempre positivo.
Insieme soluzione
\[ S = \mathbb{R} \]
Risultato
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}} \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
\[ x^2 - 4x + 5 \leq 0 \]
Risultato
Nessuna soluzione
Svolgimento
Calcolo del discriminante
\[ \Delta = 16 - 20 = -4 \]
Analisi
Poiché \(\Delta < 0\) e il coefficiente di \(x^2\) è positivo, la parabola è sempre sopra l'asse \(x\): il polinomio non è mai \(\leq 0\).
Insieme soluzione
\[ S = \emptyset \]
Risultato
\[ \boxed{\text{Nessuna soluzione}} \]
Esercizio 11 — livello ★★★★☆
\[ x^2 > 2x + 3 \]
Risultato
\[ x < -1 \quad \text{oppure} \quad x > 3 \]
Svolgimento
Riscrittura in forma standard
\[ x^2-2x-3 > 0 \]
Equazione associata e radici
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \implies x_1=-1,\quad x_2=3 \]
Regola del segno
Parabola verso l'alto: positivo all'esterno delle radici.
\[ x < -1 \;\text{ oppure }\; x > 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,-1)\cup(3,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x < -1 \quad \text{oppure} \quad x > 3} \]
Esercizio 12 — livello ★★★★☆
\[ 3x^2 - x - 2 \leq 0 \]
Risultato
\[ -\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
\[ \Delta = 1+24=25 \implies x = \frac{1\pm5}{6} \implies x_1=-\frac{2}{3},\quad x_2=1 \]
Fattorizzazione
\[ 3x^2-x-2=(3x+2)(x-1) \]
Verifica: \((3x+2)(x-1)=3x^2-3x+2x-2=3x^2-x-2\) ✓
Regola del segno
Coefficiente di \(x^2\) positivo: negativo o nullo tra le radici.
\[ -\frac{2}{3} \leq x \leq 1 \]
Insieme soluzione
\[ S = \left[-\frac{2}{3},\,1\right] \]
Risultato
\[ \boxed{-\dfrac{2}{3} \leq x \leq 1} \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
\[ -x^2 + 4x - 3 \geq 0 \]
Risultato
\[ 1 \leq x \leq 3 \]
Svolgimento
Cambio di segno
Si moltiplica per \(-1\): il coefficiente di \(x^2\) diventa positivo e il verso si inverte.
\[ x^2 - 4x + 3 \leq 0 \]
Equazione associata e radici
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1,\quad x_2=3 \]
Regola del segno
Negativo o nullo tra le radici: \(1 \leq x \leq 3\).
Insieme soluzione
\[ S = [1,\,3] \]
Risultato
\[ \boxed{1 \leq x \leq 3} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
\[ 2x^2 + 5x - 3 < 0 \]
Risultato
\[ -3 < x < \dfrac{1}{2} \]
Svolgimento
Equazione associata e radici
\[ \Delta = 25+24=49 \implies x = \frac{-5\pm7}{4} \implies x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{2} \]
Fattorizzazione
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3) \]
Regola del segno
Coefficiente di \(x^2\) positivo: strettamente negativo tra le radici.
\[ -3 < x < \frac{1}{2} \]
Insieme soluzione
\[ S = \left(-3,\,\frac{1}{2}\right) \]
Risultato
\[ \boxed{-3 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
\[ x^2 - 6x + 9 > 0 \]
Risultato
\[ x \in \mathbb{R}\setminus\{3\} \]
Svolgimento
Riconoscimento del quadrato perfetto
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Analisi
\(\Delta=0\): radice doppia in \(x=3\). La parabola è sempre \(\geq 0\) e si annulla solo in \(x=3\). Per la disuguaglianza stretta si esclude il punto di tangenza.
\[ (x-3)^2 > 0 \iff x \neq 3 \]
Insieme soluzione
\[ S = \mathbb{R}\setminus\{3\} = (-\infty,\,3)\cup(3,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}} \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
\[ x(x-4) \geq 5 \]
Risultato
\[ x \leq -1 \quad \text{oppure} \quad x \geq 5 \]
Svolgimento
Riscrittura in forma standard
\[ x^2-4x-5 \geq 0 \]
Equazione associata e radici
\[ \Delta = 16+20=36 \implies x = \frac{4\pm6}{2} \implies x_1=-1,\quad x_2=5 \]
Fattorizzazione
\[ x^2-4x-5=(x+1)(x-5) \]
Regola del segno
Positivo o nullo all'esterno delle radici: \(x \leq -1\) oppure \(x \geq 5\).
Verifica
\(x=5\): \(5\cdot1=5\geq5\) \(x=-1\): \((-1)(-5)=5\geq5\)
Risultato
\[ \boxed{x \leq -1 \quad \text{oppure} \quad x \geq 5} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2-5x+4 < 0 \\ x^2-4 > 0 \end{cases} \]
Risultato
\[ 2 < x < 4 \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) < 0 \implies 1 < x < 4 \]
Seconda disuguaglianza
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) > 0 \implies x < -2 \;\text{ oppure }\; x > 2 \]
Intersezione
Si intersecano \((1,\,4)\) con \((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\):
\[ (1 < x < 4)\;\cap\;(x > 2) \;=\; 2 < x < 4 \]
Insieme soluzione
\[ S = (2,\,4) \]
Risultato
\[ \boxed{2 < x < 4} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
\[ (x^2-4x+3)(x^2-x-2) \leq 0 \]
Risultato
\[ -1 \leq x \leq 1 \quad \text{oppure} \quad 2 \leq x \leq 3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \qquad x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Le radici del prodotto sono \(x=-1,\,1,\,2,\,3\).
Tavola dei segni di \((x-1)(x-3)(x-2)(x+1)\)
\(x < -1\): quattro fattori negativi \(\to\) prodotto \(> 0\)
\(-1 < x < 1\): tre negativi \(\to\) prodotto \(< 0\)
\(1 < x < 2\): due negativi \(\to\) prodotto \(> 0\)
\(2 < x < 3\): un negativo \(\to\) prodotto \(< 0\)
\(x > 3\): zero negativi \(\to\) prodotto \(> 0\)
Soluzione \(\leq 0\)
Il prodotto è negativo o nullo negli intervalli con segno \(-\) e nei punti di zero.
Insieme soluzione
\[ S = [-1,\,1]\cup[2,\,3] \]
Risultato
\[ \boxed{-1 \leq x \leq 1 \quad \text{oppure} \quad 2 \leq x \leq 3} \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x^2-5x+2 > 0 \\ x^2-x-2 < 0 \end{cases} \]
Risultato
\[ -1 < x < \dfrac{1}{2} \]
Svolgimento
Prima disuguaglianza
\[ \Delta=9 \implies x_1=\tfrac{1}{2},\; x_2=2 \qquad (2x-1)(x-2) > 0 \implies x < \frac{1}{2} \;\text{ oppure }\; x > 2 \]
Seconda disuguaglianza
\[ (x-2)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 2 \]
Intersezione
\[ \left(x < \tfrac{1}{2} \;\text{ oppure }\; x > 2\right)\cap\left(-1 < x < 2\right) = -1 < x < \frac{1}{2} \]
Insieme soluzione
\[ S = \left(-1,\,\tfrac{1}{2}\right) \]
Risultato
\[ \boxed{-1 < x < \dfrac{1}{2}} \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
\[ x(x-2) > x-2 \]
Risultato
\[ x < 1 \quad \text{oppure} \quad x > 2 \]
Svolgimento
Riscrittura in forma standard
\[ x(x-2)-(x-2) > 0 \]
Raccoglimento di \((x-2)\)
\[ (x-2)(x-1) > 0 \]
Radici e regola del segno
Radici: \(x=1\) e \(x=2\). Parabola verso l'alto: positivo all'esterno.
\[ x < 1 \;\text{ oppure }\; x > 2 \]
Verifica
\(x=0\): \(0 > -2\) \(x=3\): \(3 > 1\) \(x=1{,}5\): \(-0{,}75 > -0{,}5\) — falso, non è soluzione
Insieme soluzione
\[ S = (-\infty,\,1)\cup(2,\,+\infty) \]
Risultato
\[ \boxed{x < 1 \quad \text{oppure} \quad x > 2} \]