In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulle disequazioni di grado superiore, ordinati per difficoltà crescente. Ogni esercizio mostra come scomporre il polinomio, individuare gli zeri, studiare il segno dei fattori e determinare correttamente l'insieme delle soluzioni.
Il principio fondamentale è sempre lo stesso: una disequazione polinomiale si risolve studiando il segno del polinomio. Quando il polinomio è scomposto in fattori, il segno complessivo si ottiene combinando il segno dei singoli fattori.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^3-x>0 \]
Soluzione
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Svolgimento
Scomponiamo il polinomio raccogliendo \(x\):
\[ x^3-x=x(x^2-1) \]
La differenza di quadrati \(x^2-1\) si scompone come:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Quindi la disequazione diventa:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Questi valori dividono la retta reale negli intervalli:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,+\infty) \]
Studiamo il segno del prodotto \(x(x-1)(x+1)\):
| Intervallo | Segno del prodotto |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(-\) |
| \((-1,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede che il prodotto sia positivo, cioè:
\[ x(x-1)(x+1)>0 \]
Selezioniamo quindi gli intervalli con segno positivo. Poiché la disequazione è stretta, gli zeri non si includono.
La soluzione è:
\[ x\in(-1,0)\cup(1,+\infty) \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^3-4x\leq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x\):
\[ x^3-4x=x(x^2-4) \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Otteniamo:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2 \]
Studiamo il segno del prodotto nei quattro intervalli determinati dagli zeri.
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede:
\[ x(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Dobbiamo quindi prendere gli intervalli in cui il prodotto è negativo oppure nullo.
Poiché la disequazione contiene il simbolo \(\leq\), includiamo anche gli zeri.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[0,2] \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^3-9x\geq 0 \]
Soluzione
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x\):
\[ x^3-9x=x(x^2-9) \]
Scomponiamo:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]
La disequazione diventa:
\[ x(x-3)(x+3)\geq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ -3,\qquad 0,\qquad 3 \]
Essendo tutti zeri semplici, il segno cambia attraversando ciascuno di essi.
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede il segno positivo o nullo.
Includiamo dunque gli zeri e prendiamo gli intervalli positivi:
\[ x\in[-3,0]\cup[3,+\infty) \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^3+2x^2-3x<0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x\):
\[ x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3) \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Quindi:
\[ x(x+3)(x-1)<0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-3,\qquad x=0,\qquad x=1 \]
Studiamo il segno:
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-3)\) | \(-\) |
| \((-3,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(-\) |
| \((1,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede che il prodotto sia negativo.
Poiché il simbolo è \(<\), gli zeri non si includono.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-3)\cup(0,1) \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-5x^2+4\leq 0 \]
Soluzione
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Svolgimento
La disequazione contiene solo potenze pari di \(x\). Poniamo:
\[ t=x^2 \]
Otteniamo:
\[ t^2-5t+4\leq 0 \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ t^2-5t+4=(t-1)(t-4) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-4)\leq 0 \]
Il prodotto è minore o uguale a zero quando:
\[ 1\leq t\leq 4 \]
Poiché \(t=x^2\), dobbiamo risolvere:
\[ 1\leq x^2\leq 4 \]
Questa doppia disequazione equivale a:
\[ |x|\geq 1 \qquad \text{e} \qquad |x|\leq 2 \]
Pertanto:
\[ x\in[-2,-1]\cup[1,2] \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-1>0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Svolgimento
Scomponiamo il polinomio come differenza di quadrati:
\[ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1) \]
Scomponiamo ancora:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Quindi:
\[ x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1) \]
Osserviamo che:
\[ x^2+1>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Dunque il segno del prodotto dipende solo da:
\[ (x-1)(x+1) \]
La disequazione diventa quindi equivalente a:
\[ (x-1)(x+1)>0 \]
Il prodotto è positivo esternamente agli zeri \(-1\) e \(1\):
\[ x<-1 \qquad \text{oppure} \qquad x>1 \]
Poiché la disequazione è stretta, gli zeri non si includono.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Svolgimento
Il polinomio è già scomposto in fattori:
\[ (x-2)^2(x+1)<0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=2 \qquad \text{e} \qquad x=-1 \]
La radice \(x=2\) ha molteplicità \(2\), quindi non produce cambiamento di segno.
Il fattore \((x-2)^2\) è sempre non negativo e si annulla solo per \(x=2\).
Per \(x\neq 2\), il suo segno è positivo. Quindi, fuori da \(x=2\), il segno del prodotto dipende dal fattore:
\[ x+1 \]
Abbiamo:
\[ x+1<0 \iff x<-1 \]
Inoltre, poiché la disequazione è stretta, gli zeri non si includono.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-1) \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Soluzione
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Svolgimento
La disequazione è:
\[ (x+2)^2(x-3)\geq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-2 \qquad \text{e} \qquad x=3 \]
Il fattore \((x+2)^2\) è un quadrato, quindi:
\[ (x+2)^2\geq 0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Esso è nullo solo per \(x=-2\), mentre è positivo per ogni \(x\neq -2\).
Per \(x\neq -2\), il segno del prodotto dipende quindi dal fattore:
\[ x-3 \]
Abbiamo:
\[ x-3\geq 0 \iff x\geq 3 \]
Inoltre il prodotto si annulla anche per \(x=-2\). Poiché la disequazione contiene il simbolo \(\geq\), dobbiamo includere anche tale valore.
La soluzione è:
\[ x\in\{-2\}\cup[3,+\infty) \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-6x^2+8>0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Svolgimento
La disequazione contiene solo potenze pari di \(x\). Poniamo:
\[ t=x^2 \]
Otteniamo:
\[ t^2-6t+8>0 \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ t^2-6t+8=(t-2)(t-4) \]
Quindi:
\[ (t-2)(t-4)>0 \]
Il prodotto è positivo esternamente agli zeri \(2\) e \(4\), dunque:
\[ t<2 \qquad \text{oppure} \qquad t>4 \]
Poiché \(t=x^2\), dobbiamo risolvere:
\[ x^2<2 \qquad \text{oppure} \qquad x^2>4 \]
La prima disequazione dà :
\[ -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} \]
La seconda disequazione dà :
\[ x<-2 \qquad \text{oppure} \qquad x>2 \]
Unendo i risultati, otteniamo:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cup(2,+\infty) \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-10x^2+9\geq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Svolgimento
Poniamo:
\[ t=x^2 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-10t+9\geq 0 \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ t^2-10t+9=(t-1)(t-9) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-9)\geq 0 \]
Il prodotto è non negativo quando:
\[ t\leq 1 \qquad \text{oppure} \qquad t\geq 9 \]
Poiché \(t=x^2\), otteniamo:
\[ x^2\leq 1 \qquad \text{oppure} \qquad x^2\geq 9 \]
Risolviamo:
\[ x^2\leq 1 \iff -1\leq x\leq 1 \]
e:
\[ x^2\geq 9 \iff x\leq -3 \quad \text{oppure} \quad x\geq 3 \]
Quindi la soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,+\infty) \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^3-3x^2-4x+12\geq 0 \]
Soluzione
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Svolgimento
Scomponiamo per raccoglimento parziale:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Raccogliamo il fattore comune \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Quindi la disequazione diventa:
\[ (x-3)(x-2)(x+2)\geq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-2,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Studiamo il segno del prodotto.
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede il segno positivo o nullo. Poiché il simbolo è \(\geq\), includiamo anche gli zeri.
La soluzione è:
\[ x\in[-2,2]\cup[3,+\infty) \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^3+3x^2-4\leq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,1] \]
Svolgimento
Cerchiamo una radice intera del polinomio:
\[ P(x)=x^3+3x^2-4 \]
Verifichiamo \(x=1\):
\[ P(1)=1+3-4=0 \]
Quindi \(x=1\) è una radice e \(x-1\) è un fattore del polinomio.
Dividendo \(x^3+3x^2+0x-4\) per \(x-1\), otteniamo:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4) \]
Il trinomio si scompone come quadrato perfetto:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Dunque:
\[ x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2 \]
La disequazione diventa:
\[ (x-1)(x+2)^2\leq 0 \]
Il fattore \((x+2)^2\) è sempre non negativo e si annulla solo per \(x=-2\).
Per \(x\neq -2\), il segno del prodotto dipende dal fattore \(x-1\).
Abbiamo:
\[ x-1\leq 0 \iff x\leq 1 \]
Tuttavia bisogna ragionare con attenzione: per \(x<1\) il fattore \(x-1\) è negativo, mentre \((x+2)^2\) è positivo, tranne nel punto \(x=-2\), dove il prodotto vale zero.
Inoltre per \(x=1\) il prodotto è nullo.
Perciò la disequazione è verificata per tutti i valori \(x\leq 1\).
La soluzione corretta è:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x\geq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Svolgimento
Scomponiamo raccogliendo \(x\):
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x^3-2x^2-x+2) \]
Scomponiamo il cubo per raccoglimento parziale:
\[ x^3-2x^2-x+2=x^2(x-2)-1(x-2) \]
Raccogliendo \(x-2\), otteniamo:
\[ x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1) \]
Scomponiamo:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Quindi:
\[ x^4-2x^3-x^2+2x=x(x-2)(x-1)(x+1) \]
La disequazione diventa:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ -1,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Studiamo il segno del prodotto.
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-1)\) | \(+\) |
| \((-1,0)\) | \(-\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
Attenzione: il segno della tabella va verificato con un valore di prova. Per esempio, per \(x=3\), tutti i fattori sono positivi, quindi il segno nell'ultimo intervallo è positivo. Poiché gli zeri sono tutti semplici, il segno cambia attraversando ciascuno di essi.
La disequazione richiede:
\[ x(x-2)(x-1)(x+1)\geq 0 \]
Dobbiamo quindi prendere gli intervalli con segno positivo o nullo.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[0,1]\cup[2,+\infty) \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2<0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x^2\):
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x^3-x^2-4x+4) \]
Scomponiamo il polinomio tra parentesi per raccoglimento parziale:
\[ x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1) \]
Raccogliendo \(x-1\), otteniamo:
\[ x^3-x^2-4x+4=(x-1)(x^2-4) \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Quindi:
\[ x^5-x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-1)(x-2)(x+2) \]
La disequazione diventa:
\[ x^2(x-1)(x-2)(x+2)<0 \]
Gli zeri sono:
\[ -2,\qquad 0,\qquad 1,\qquad 2 \]
Il valore \(x=0\) ha molteplicità \(2\), quindi il segno non cambia attraversando \(0\).
Gli altri zeri hanno molteplicità dispari, quindi il segno cambia attraversandoli.
Studiamo il segno del prodotto. Poiché \(x=0\) ha molteplicità pari, il segno non cambia attraversando \(0\). Attraversando invece gli zeri semplici \(-2\), \(1\) e \(2\), il segno cambia.
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(-\) |
| \((-2,0)\) | \(+\) |
| \((0,1)\) | \(+\) |
| \((1,2)\) | \(-\) |
| \((2,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede il segno negativo. Poiché il simbolo è \(<\), gli zeri non si includono.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,-2)\cup(1,2) \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,1] \]
Svolgimento
La disequazione è già scritta come prodotto di fattori:
\[ (x-1)^3(x+2)^2\leq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=1,\qquad x=-2 \]
La radice \(x=1\) ha molteplicità \(3\), quindi è di molteplicità dispari e il segno cambia attraversandola.
La radice \(x=-2\) ha molteplicità \(2\), quindi è di molteplicità pari e il segno non cambia attraversandola.
Osserviamo inoltre che:
\[ (x+2)^2\geq 0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Per \(x\neq -2\), questo fattore è positivo. Quindi, fuori dallo zero \(x=-2\), il segno del prodotto dipende dal fattore:
\[ (x-1)^3 \]
Poiché una potenza dispari conserva il segno della base, abbiamo:
\[ (x-1)^3<0 \iff x<1 \]
Inoltre, il prodotto si annulla per \(x=-2\) e per \(x=1\). Poiché la disequazione contiene il simbolo \(\leq\), gli zeri vanno inclusi.
Pertanto la soluzione è:
\[ x\in(-\infty,1] \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^6-7x^3+6>0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Svolgimento
Il polinomio contiene le potenze \(x^6\) e \(x^3\). Poniamo:
\[ t=x^3 \]
Allora:
\[ x^6=(x^3)^2=t^2 \]
La disequazione diventa:
\[ t^2-7t+6>0 \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ t^2-7t+6=(t-1)(t-6) \]
Quindi:
\[ (t-1)(t-6)>0 \]
Il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno, cioè:
\[ t<1 \qquad \text{oppure} \qquad t>6 \]
Tornando alla variabile \(x\), otteniamo:
\[ x^3<1 \qquad \text{oppure} \qquad x^3>6 \]
Poiché la funzione \(x\mapsto x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\), possiamo estrarre la radice cubica senza cambiare il verso delle disequazioni:
\[ x<1 \qquad \text{oppure} \qquad x>\sqrt[3]{6} \]
Poiché la disequazione è stretta, gli estremi non si includono.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,1)\cup(\sqrt[3]{6},+\infty) \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-16x^2<0 \]
Soluzione
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x^2\):
\[ x^4-16x^2=x^2(x^2-16) \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4) \]
La disequazione diventa:
\[ x^2(x-4)(x+4)<0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-4,\qquad x=0,\qquad x=4 \]
Il valore \(x=0\) è uno zero di molteplicità \(2\), perché proviene dal fattore \(x^2\). Quindi in \(x=0\) il segno non cambia.
Inoltre:
\[ x^2\geq 0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\), ed è positivo per \(x\neq 0\). Fuori da \(x=0\), il segno del prodotto dipende quindi da:
\[ (x-4)(x+4) \]
Il prodotto \((x-4)(x+4)\) è negativo tra le due radici:
\[ -4<x<4 \]
Tuttavia dobbiamo escludere \(x=0\), perché in quel punto il prodotto iniziale vale \(0\), mentre la disequazione richiede un valore strettamente negativo.
La soluzione è:
\[ x\in(-4,0)\cup(0,4) \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere la disequazione:
\[ (x^2-3x+2)(x^2+2x+5)\geq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Svolgimento
Studiamo separatamente i due fattori:
\[ x^2-3x+2 \qquad \text{e} \qquad x^2+2x+5 \]
Il primo trinomio si scompone facilmente:
\[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) \]
Consideriamo ora il secondo trinomio:
\[ x^2+2x+5 \]
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16 \]
Il discriminante è negativo e il coefficiente di \(x^2\) è positivo. Di conseguenza:
\[ x^2+2x+5>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
La disequazione diventa quindi equivalente a:
\[ (x-1)(x-2)\geq 0 \]
Il prodotto di due fattori lineari è non negativo esternamente agli zeri:
\[ x\leq 1 \qquad \text{oppure} \qquad x\geq 2 \]
Poiché il simbolo è \(\geq\), includiamo anche gli zeri.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,1]\cup[2,+\infty) \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Risolvere la disequazione:
\[ x^5-5x^4+6x^3\leq 0 \]
Soluzione
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x^3\):
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x^2-5x+6) \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Quindi:
\[ x^5-5x^4+6x^3=x^3(x-2)(x-3) \]
La disequazione diventa:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Lo zero \(x=0\) ha molteplicità \(3\), quindi è di molteplicità dispari e il segno cambia attraversandolo.
Anche \(x=2\) e \(x=3\) sono zeri semplici, quindi il segno cambia attraversando ciascuno di essi.
Studiamo il segno nei vari intervalli:
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede:
\[ x^3(x-2)(x-3)\leq 0 \]
Dobbiamo quindi prendere gli intervalli in cui il prodotto è negativo oppure nullo.
Poiché il simbolo è \(\leq\), includiamo anche gli zeri.
La soluzione è:
\[ x\in(-\infty,0]\cup[2,3] \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere la disequazione:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x\leq 0 \]
Soluzione
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]
Svolgimento
Raccogliamo \(x\):
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x^3-3x^2-4x+12) \]
Scomponiamo il polinomio cubico per raccoglimento parziale:
\[ x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3) \]
Raccogliamo il fattore comune \(x-3\):
\[ x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4) \]
Scomponiamo la differenza di quadrati:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Quindi:
\[ x^4-3x^3-4x^2+12x=x(x-3)(x-2)(x+2) \]
La disequazione diventa:
\[ x(x-3)(x-2)(x+2)\leq 0 \]
Gli zeri sono:
\[ x=-2,\qquad x=0,\qquad x=2,\qquad x=3 \]
Tutti gli zeri sono semplici, quindi il segno cambia attraversando ciascuno di essi.
Studiamo il segno del prodotto:
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \((-\infty,-2)\) | \(+\) |
| \((-2,0)\) | \(-\) |
| \((0,2)\) | \(+\) |
| \((2,3)\) | \(-\) |
| \((3,+\infty)\) | \(+\) |
La disequazione richiede il segno negativo o nullo.
Poiché il simbolo è \(\leq\), includiamo anche gli zeri.
La soluzione è:
\[ x\in[-2,0]\cup[2,3] \]